上海市普陀区2021届高二上学期数学期末调研试卷

上海市普陀区2021届高二上学期数学期末调研试卷
一、选择题 1．已知集合{}2
230|P x x
x =
--?，{x |1x 4}Q =<<，则P Q ⋂=（ ）
A.{|13}x x -<<
B.{|34}x x <…
C.}{|4-3x x x ≥<或
D.}{|-13x x x <>或
2．同一总体的两个样本，甲样本的方差是ln2，乙样本的方差是1，则( ) A ．甲的样本容量比乙小 B ．甲的波动比乙大 C ．乙的波动比甲大
D ．乙的平均数比甲小
3．已知集合{}
2
|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )
A.A B ⋂=∅
B.B A ⊆
C.{}0,1A
B =
D.A B ⊆
4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为
36
55
，则空白处应填入的条件是（ ）
A ． i 9≤？
B ．i 6？≤
C ．i 9≥？
D ． i 8≤？
5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 （ ） A ．140种
B ．84种
C ．70种
D ．35种
6．命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得32x n ≤+”的否定形式是 A ．x R ∀∈，*n N ∃∈，使得32x n >+ B ．x R ∀∈，*n N ∀∈，使得32x n >+ C ．x R ∃∈，*n N ∃∈，使得32x n >+ D ．x R ∃∈，*n N ∀∈，使得32x n >+ 7．下列关于残差图的描述错误的是（ ） A ．残差图的横坐标可以是编号
B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量
C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 8．已知抛物线的焦点（
），则抛物线的标准方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若
11
2
a =
，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C.1[,2]2
D.1[,1]2
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，则S 6＝ A ．
92
B ．5
C ．－
92
D ．－5
11．若d =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n =（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A.垂直
B.平行
C.直线l 在平面α内
D.相交但不垂直
12．设集合，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13．设A =，B =
A __________
B （填入“>”或“<”）．
14．已知抛物线2
4y x =，焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线
AF 的斜率为PAF ∆的面积为________.
15．已知0x >，0y >，且211x y
+=，若2
22x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____．
16．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离大于该正方形边长的概率为________； 三、解答题 17．已知是等比数列，，且
成等差数列.
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列
的前项和．
18．已知向量．
（1）若，且，求满足
的概率．
（2）若
分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛
掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.
19．在四棱锥
中，
，
是
的中点，面
面
（1）证明：面； （2）若
，求二面角
的余弦值．
20．某公司的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y 与x 呈线性相关关系)：
根据上表提供的数据得到回归方程中的
（1）求；
（2）预测销售额为105万元时约需多少万元的广告费．
21．如图所示，以2为半径的半圆弧所在平面垂直于矩形所在平面，是圆弧上异于、的点.
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大为8时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 22．已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于，两点，交此抛物线于，两点，其中，在第一象限，，在第二象限.
(1)求该抛物线的方程；
(2)是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明
理由.
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一、选择题
13． .
14．
15．（-4，2）
16．1 5
三、解答题
17．(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：
（1）设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，可解得，从而可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式可得．
试题解析：
（1）设等比数列的公比为，
则，
∵成等差数列，
∴，即，
整理得，
∵，
∴，
∴．
（2）由（1）可得，
∴．
即数列的前项和．
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知得到满足的事件概率符合几何概型的概率，只要求出区域的面积比即可；
（2）符合古典概型概率的求法，只要列举出所有的事件和满足的事件，由古典概型概率公式解答．
【详解】
（1）用表示事件“”，即试验的全部结果所构成的区域为
，构成事件B的区域为，
如图所示，所以所求的概率为
(2)设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有
，
，共个，用A表示事件“”，即，则A包含的基本事件有，共3个，所以。

【点睛】
本题考查了两类概率的求法；古典概型的概率主要明确所有事件和所求事件的个数，由古典概型的概率公式解答；几何概型的概率求法要由具体的实验决定事件的测度是区域的长度还是面积或者体积，然后由概率公式解答，属于基础题．
19．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题
意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．
∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．
又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，
则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB
（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．
过D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在△ADC中，，连接AE，．
在Rt△GDH中，，
∴，
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值
法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，
∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．
如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．
可得，．
设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，
解得．
则，，．
设面PDC的一个法向量为，
由，取x0=1，得．
为面PAC的一个法向量，且，
设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，
则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
20．（1）（2）万元
【解析】
【分析】
（1）先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出的值；（2）由（1）可得线性回归方程，将代入所求的回归方程，可预测销售额为万元时所需的广告费.
【详解】
（1），
，
这组数据的样本中心点是，
，所以
把样本中心点代入得
解得，
(2)由（1）可得线性回归方程是，
当时，,
预测销售额为105万元时约需15万元的广告费.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21．（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面平面，可得平面，得，又，从而得到
平面利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由题意可知在圆弧的中点上且在、上取中点、，以点O为原点，OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求平
面SAD和平面SCD的法向量，然后利用向量的夹角公式进行运算即可.
【详解】
（1）由已知，平面平面，交线为，
且，平面
所以平面，故
是圆弧上异于、的点，且为直径，所以
又，所以平面
又平面，所以平面平面
（2）显然当四棱锥的体积最大时，在圆弧的中点上，
，所以
分别在、上取中点、，则可得、、三者两两垂直，
分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
，，
因为平面，可取是平面的一个法向量
设是平面的法向量
所以，
取，可得，，
设平面与平面所成的锐二面角大小为
则
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查利用空间向量解决二面角问题，考查空间想象能力和计算能力.
22．（1）抛物线的方程为（2）存在满足要求的直线，其方程为或
【解析】
试题分析：（1）圆方程可化为可化为圆心的坐标为，抛物线的方程为；（2）由等差数列性质可得
，再由，，
存在满足要求的直线，其方程为
或.
试题解析：
（1）可化为，
根据已知抛物线的方程为（）.
∵圆心的坐标为，∴，解得.
∴抛物线的方程为.
（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，∴.
∴.
由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，
设，，
由，得，，
故，.
∵
∴
由，解得.
∴存在满足要求的直线，其方程为或
【点睛】
本题解题关键有：
1利用数形结合思想求得，从而求得抛物线方程；
2利用转化化归思想求得，进而取得；
3利用设而不求法及弦长公式将上述条件坐标化.
4选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
已知曲线，，直线(是参数)
（1）求出曲线的参数方程，及直线的普通方程；
（2）为曲线上任意一点，为直线上任意一点，求的取值范围．
(1) ；(2) ．
【解析】
试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（
2）设则到直线的距离为
由，可得，进而可得
由此，可得，则的取值范围可求．试题解析：（1）曲线的普通方程为：
∴曲线的参数方程（为参数，）
直线的普通方程为：
（2）设
∴到直线的距离为
∵
∴
∴
∴
∴。