襄州区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

襄州区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知奇函数()f x 是[1,1]-上的增函数，且1(3)()(0)3
f t f t f +->，则t 的取值范围是（ ）
A 、1163t t ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭
B 、2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
C 、16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭
D 、2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
2． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
3． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
5． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
6． 设函数f （x ）在x 0处可导，则等于（ ）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
7． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.
9．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）
A． B．4 C． D．2
10．方程x=所表示的曲线是（）
A．双曲线B．椭圆
C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分
11．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）
A．B．
C．D．
12．若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（）
A．a＞B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
二、填空题
13．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=．
14．已知线性回归方程=9，则b=．
15．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量
与i的夹角，则++…+=．
16．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数； ③在x=2时，f （x ）取得极大值； ④在x=3时，f （x ）取得极小值． 其中正确的是 ．
17．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
18．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
三、解答题
19．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

20．如图，已知五面体ABCDE ，其中△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （Ⅰ）证明：AD ⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A ﹣BD ﹣C 所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE 的体积．
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD
CE ；
（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长
22．（本小题满分13分） 已知函数3
2
()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2
x ∈．
23．已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2分别在x 轴上，离心率为，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1，过A 、F 1作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．
24．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
襄州区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：函数的性质。

2．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
∴=2，
∴p=4．
故选D．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
4．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．
故答案为：C
6．【答案】C
【解析】解：=﹣=﹣f′（x0），故选C．
7．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．8．【答案】B
9．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
10．【答案】C
【解析】解：x=两边平方，可变为3y2﹣x2=1（x≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．11．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，
﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
12．【答案】B
【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，
设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，
在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，
要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，
则﹣1＜﹣a＜，
即﹣＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
又各项为正数，则q=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
14．【答案】4．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
15．【答案】．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【答案】③．
【解析】解：由y=f'（x）的图象可知，
x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f（x）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
17．【答案】A
【解析】
18．【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
DE DC BC BA =BC AB
=
，则2
4BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，1
2
BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，
∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以1
22
AD AB ==．
22．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
23．【答案】
【解析】解：（I ）由题意可得：，解得c=1，a=2，b 2
=3．
∴椭圆E 的方程为=1．
（II ）假设▱ABCD 能为菱形，则OA ⊥OB ，k OA •k OB =﹣1．
①当AB ⊥x 轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得： =1，解得y=
，
取A
，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD 不能为菱形．
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y=k （x+1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
联立
，化为：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2
﹣12=0，
∴x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=．
∴
k OA•k OB=====
，
假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
|AB|==．
点O到直线AB的距离d=．
∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB=
=2××=．
则S2==＜36，
∴S＜6．
因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．。