高中数学人教A版必修1课件：2.1.2.1指数函数的图象和性质
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名师点拨指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的结构特征:
(1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x.
(2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1.
(3)系数:ax的系数是1.
【做一做1】 已知函数y=a·2x与y=2x+b都是指数函数,则a+b的值
为(
)
A.2 B.1
C.0 D.不确定
解析:由指数函数的概念知a=1,b=0,故a+b=1.
1
正解:令 t=
,t∈(0,+∞),则原函数可化为 y=t2+t+1 =
1
x
; ⑤y=2 +1.
2
其中,指数函数的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由指数函数的概念知,①②⑤不是指数函数;③是指数函
数;④中函数可化为 y=
1
2
, 所以④是指数函数.
答案:B
-15-
第1课时
题型一
M 目标导航
指数函数的
图象和性质
题型二
UBIAODAOHANG
题型三
题型二
Z 知识梳理
)
A.R
B.[0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
答案:D
【做一做2-3】 若指数函数y=(a-2)x在R上是增函数,则实数a的取
值范围是
.
解析:由题意得a-2>1,故a>3.
答案:(3,+∞)
-8-
第1课时
指数函数的
图象和性质
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.对指数函数中底数取值范围的理解
剖析:(1)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,
当 x=
1
时无意义.
2
(2)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax是一个常量1,没有研究的必要性.
-13-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
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Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
反思判断一个函数是否为指数函数,只需判定其解析式是否符合
y=ax(a>0,且a≠1)这一结构,其具备的特点如下:
过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1
单调性
在 R 上是增函数
奇偶性
非奇非偶函数
在 R 上是减函数
-5-
第1课时
1
指数函数的
图象和性质
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D典例透析
IANLI TOUXI
2
归纳总结指数函数的性质可用如下口诀来记忆:
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
UBIAODAOHANG
题型三
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题型四
指数函数图象的应用
【例3】 若函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,试求点
P的坐标.
分析:利用指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)来确定.
的图象关于 y 轴对称.
-11-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
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题型四
题型一
判断指数函数
【例 1】 下列函数中,哪些是指数函数?
(1)y=(-8)x;(2)y= 2
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
求指数型函数的定义域、值域
【例 2】 求下列函数的定义域与值域.
(1)y=
1
2-4 ; (2)y=
2 -||
.
3
分析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数
y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,在定义域内可利用指数
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1,这样对于任何
x∈R,ax都有意义.
-9-
第1课时
指数函数的
图象和性质
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Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数a对函数图象的影响
这三个特点缺一不可.
-14-
第1课时
题型一
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指数函数的
图象和性质
题型二
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题型三
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IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 1】 下列函数:
①y=x ;②y=3·4 ;③y=
2
x
π
2
; ④y=
指数增减要看清,抓住底数不放松;
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
-6-
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1
指数函数的
图象和性质
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【例 4】 求函数 y=
1
4
+
1
2
+ 1 的值域.
1
错解:令 t=
, 则原函数可化为y=t2+t+1 =
2
1
3
3
即当t=− 时,ymin = , 故原函数的值域是 , + ∞
2
4
4
1 2
+
2
3
4
3
4
1
2
>
+ ≥ ,
.
错因分析:原函数的自变量 x 的取值范围是 R,换元后 t=
0, 而不是t∈R,错解中,t 的取值范围扩大了.
答案:B
-4-
第1课时
1
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指数函数的
图象和性质
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2
2.指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示:
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质 过定点
剖析:设y=f(x)=ax,则f(1)=a,即直线x=1与指数函数f(x)=ax图象交
点的纵坐标是底数a.如图①所示.
图①
图②
指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图②所示,则有
a>b>1>c>d>0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的
底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的
)
A.
1 1
,
9 3
B.[1,9]
C.[3,9]
解析:∵函数 f(x) =
= 3.∴f(x) = 3
+1
+1
D.[1,2]
的图象过点(0,3),∴f(0) =
0+1
=
.
当 x∈[0,3]时,得 1≤ + 1≤2,故 f(x)的值域为[3,9].
答案:C
-19-
第1课时
题型一
M 目标导航
底数a的大小,在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象底数
大的在上边,也可以说底数越大越靠近y轴.
-20-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
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Z 知识梳理
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D典例透析
IANLI TOUXI
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
解析:由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.
过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线
的交点的纵坐标即为各指数函数的底数,则1<d<c,b<a<1,从而可知
IANLI TOUXI
题型四
解:(1)中,底数-8<0,故不是指数函数.
(2)中,指数不是自变量x,故不是指数函数.
1
(3)中,∵a> , 且a≠1a-1)x是指数函数.
(4)中,3x的系数是2,而不是1,故不是指数函数.
综上所述,仅有(3)是指数函数.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
反思对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数:
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.
(2)值域问题应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做 2-1】 y=
3
4
的图象可能是(
)
答案:C
-7-
第1课时
1
指数函数的
图象和性质
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2
【做一做 2-2】 y=( 3)x 的值域是(
2.1.2
指数函数及其性质
-1-
第1课时
指数函数的图象和性质
-2-
第1课时
指数函数的
图象和性质
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IANLI TOUXI
1.理解指数函数的概念和意义,能画出指数函数图象的草图,会判
a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c.
答案:B
-22-
第1课时
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指数函数的
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题型四
题型四
易错点
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易混易错题
利用换元法时,忽视中间变量的取值范围
题型四
【变式训练3】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的
图象,则a,b,c,d与1的大小关系为(
)
A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a<b<1<d<c
-21-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
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底数由大变小,即底数大的在下边.
-10-
第1课时
指数函数的
图象和性质
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知识拓展当 a>0,且 a≠1 时,指数函数 y=a 与 y=
x
D典例透析
IANLI TOUXI
1
(或y=a-x)
-18-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
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题型四
【变式训练 2】 已知函数 f(x) = +1 (a>0,且 a≠1)的图象过点
(0,3),则当 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域为(
2 -1
;
1
2
(3)y=(2a-1) > , 且a≠1 ;
(4)y=2·3x.
分析:依据指数函数解析式满足的三个特征来判断.
-12-
第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
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D典例透析
断指数函数.
2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、
值域、定点问题.
-3-
第1课时
1
指数函数的
图象和性质
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IANLI TOUXI
2
1.指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.
解:令x-1=0,解得x=1,此时f(1)=a0+3=4,
即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4).
反思1.已知函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若
g(m)=0,则f(x)的图象恒过定点(m,k+b).
2.直线x=1与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象交点的纵坐标就是
(1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x.
(2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1.
(3)系数:ax的系数是1.
【做一做1】 已知函数y=a·2x与y=2x+b都是指数函数,则a+b的值
为(
)
A.2 B.1
C.0 D.不确定
解析:由指数函数的概念知a=1,b=0,故a+b=1.
1
正解:令 t=
,t∈(0,+∞),则原函数可化为 y=t2+t+1 =
1
x
; ⑤y=2 +1.
2
其中,指数函数的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由指数函数的概念知,①②⑤不是指数函数;③是指数函
数;④中函数可化为 y=
1
2
, 所以④是指数函数.
答案:B
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第1课时
题型一
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指数函数的
图象和性质
题型二
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题型三
题型二
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)
A.R
B.[0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
答案:D
【做一做2-3】 若指数函数y=(a-2)x在R上是增函数,则实数a的取
值范围是
.
解析:由题意得a-2>1,故a>3.
答案:(3,+∞)
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第1课时
指数函数的
图象和性质
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1.对指数函数中底数取值范围的理解
剖析:(1)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,
当 x=
1
时无意义.
2
(2)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax是一个常量1,没有研究的必要性.
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题型四
反思判断一个函数是否为指数函数,只需判定其解析式是否符合
y=ax(a>0,且a≠1)这一结构,其具备的特点如下:
过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1
单调性
在 R 上是增函数
奇偶性
非奇非偶函数
在 R 上是减函数
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1
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归纳总结指数函数的性质可用如下口诀来记忆:
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
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题型三
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题型四
指数函数图象的应用
【例3】 若函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,试求点
P的坐标.
分析:利用指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)来确定.
的图象关于 y 轴对称.
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题型一
判断指数函数
【例 1】 下列函数中,哪些是指数函数?
(1)y=(-8)x;(2)y= 2
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题型四
求指数型函数的定义域、值域
【例 2】 求下列函数的定义域与值域.
(1)y=
1
2-4 ; (2)y=
2 -||
.
3
分析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数
y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,在定义域内可利用指数
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1,这样对于任何
x∈R,ax都有意义.
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2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数a对函数图象的影响
这三个特点缺一不可.
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第1课时
题型一
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指数函数的
图象和性质
题型二
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题型三
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 1】 下列函数:
①y=x ;②y=3·4 ;③y=
2
x
π
2
; ④y=
指数增减要看清,抓住底数不放松;
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
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【例 4】 求函数 y=
1
4
+
1
2
+ 1 的值域.
1
错解:令 t=
, 则原函数可化为y=t2+t+1 =
2
1
3
3
即当t=− 时,ymin = , 故原函数的值域是 , + ∞
2
4
4
1 2
+
2
3
4
3
4
1
2
>
+ ≥ ,
.
错因分析:原函数的自变量 x 的取值范围是 R,换元后 t=
0, 而不是t∈R,错解中,t 的取值范围扩大了.
答案:B
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第1课时
1
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2
2.指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示:
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质 过定点
剖析:设y=f(x)=ax,则f(1)=a,即直线x=1与指数函数f(x)=ax图象交
点的纵坐标是底数a.如图①所示.
图①
图②
指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图②所示,则有
a>b>1>c>d>0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的
底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的
)
A.
1 1
,
9 3
B.[1,9]
C.[3,9]
解析:∵函数 f(x) =
= 3.∴f(x) = 3
+1
+1
D.[1,2]
的图象过点(0,3),∴f(0) =
0+1
=
.
当 x∈[0,3]时,得 1≤ + 1≤2,故 f(x)的值域为[3,9].
答案:C
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底数a的大小,在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象底数
大的在上边,也可以说底数越大越靠近y轴.
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第1课时
题型一
指数函数的
图象和性质
题型二
题型三
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D典例透析
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Z 知识梳理
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
解析:由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.
过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线
的交点的纵坐标即为各指数函数的底数,则1<d<c,b<a<1,从而可知
IANLI TOUXI
题型四
解:(1)中,底数-8<0,故不是指数函数.
(2)中,指数不是自变量x,故不是指数函数.
1
(3)中,∵a> , 且a≠1a-1)x是指数函数.
(4)中,3x的系数是2,而不是1,故不是指数函数.
综上所述,仅有(3)是指数函数.
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题型四
反思对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数:
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.
(2)值域问题应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
D典例透析
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2
【做一做 2-1】 y=
3
4
的图象可能是(
)
答案:C
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【做一做 2-2】 y=( 3)x 的值域是(
2.1.2
指数函数及其性质
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指数函数的图象和性质
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指数函数的
图象和性质
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HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.理解指数函数的概念和意义,能画出指数函数图象的草图,会判
a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c.
答案:B
-22-
第1课时
题型一
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题型四
题型四
易错点
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易混易错题
利用换元法时,忽视中间变量的取值范围
题型四
【变式训练3】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的
图象,则a,b,c,d与1的大小关系为(
)
A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a<b<1<d<c
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底数由大变小,即底数大的在下边.
-10-
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知识拓展当 a>0,且 a≠1 时,指数函数 y=a 与 y=
x
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1
(或y=a-x)
-18-
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【变式训练 2】 已知函数 f(x) = +1 (a>0,且 a≠1)的图象过点
(0,3),则当 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域为(
2 -1
;
1
2
(3)y=(2a-1) > , 且a≠1 ;
(4)y=2·3x.
分析:依据指数函数解析式满足的三个特征来判断.
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断指数函数.
2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、
值域、定点问题.
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1
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2
1.指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.
解:令x-1=0,解得x=1,此时f(1)=a0+3=4,
即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4).
反思1.已知函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若
g(m)=0,则f(x)的图象恒过定点(m,k+b).
2.直线x=1与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象交点的纵坐标就是