数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分 含解析.

预习导航
1．函数的极值
(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?
(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？
(3)极大值是否一定比极小值大？
(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？
提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．
(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．
(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．
2．求函数y＝f(x)极值的步骤
第1步：求导数f′(x)；
第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；
第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．
思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？
(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？
提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．
(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.
3．函数的最值
函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．
点拨函数极值与最值的联系与区别：
(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．
(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．
4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．
第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？
提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．
点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：
如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这
个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。