数学中的特殊化

特殊化在数学中的作用
培养数学思维能力是数学教学的核心，而概括能力是数学思维能力的基础。

根据学生数学思维发展水平和认知规律，以及数学知识的发生发展过程设计课堂教学过程，以问题引导学生学习，尽量采用“归纳式”。

让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，引导学生通过类比、推广、特殊化等思想活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法，让他们发表自己的见解，概括出数学中的结论，从而提高学生数学思维活动的水平。

数学思维要遵循辩证唯物主义的“从特殊到一般，再由一般到特殊”的规律。

著名数学家华罗庚先生说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”特殊化在数学中的应用很广，我从下述三个方面谈谈：
一 直接解答问题，常见于选择题和填空题。

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。

常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。

1、定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)<g(a)－g(-b);③f(a)－f(-b)>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)<g(b)－g(-a).其中成立的是（ ）
A. ①与④
B. ②与③
C. ①与③
D. ②与④
【解】令f(x)＝x ，g(x)＝|x|，a ＝2，b ＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确。

所以选C 。

【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确。

所以选C 。

2、如果n 是正偶数，则C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2-n n ＋C n
n ＝
A. 2n
B. 2n -1
C. 2n -2
D. (n －1)2
n -1
【解】用特值法：当n ＝2时，代入得C 0
2＋C 2
2＝2,排除答案A 、C ；当n ＝4时，代入得C
04
＋C 24＋C 4
4＝8,排除答案D 。

所以选B 。

【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2-n n ＋C n
n ＝2
n -1
，选B 。

3、过抛物线ｙ＝a ｘ2（ａ> 0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段FP 与FQ 的长分别是ｐ、ｑ，则
q
p 1
1+＝（ ）. A. 2ａ B. a 21 C. 4ａ D. a 4
讲解 由题意知，对任意的过抛物线焦点F 的直线，
q
p 1
1+的值都是a 的表示式，因
而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝
a 21，所以q p 11+=a
4
，故应选D. 2
1
15P Q y ∠+=2202224、已知、是椭圆3x +5y =1上满足POQ=90的两个动点，11
则
+等于OP OQ
834
A 、34
B 、8
C 、
D 、
15225
x 解：椭圆为13
03358⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=+=22取两特殊点P Q 0，即两个端点
511
则+OP OQ
2222222222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin E F x y x y x y x y x y αβαβαβθθθθθθ
θ∈∠+++=++ 02222205、已知、是二面角-a-棱上两点，点p ,且EPF=90记PE 、PF 与成角分别为x,y ，二面角-a-大小为.则( ) A 、sin B 、sin C 、sin
D 、sin 或sin 解：取=90（直二面角）便可产生结论
22022sin sin (90)
cos 1sin x y x x x x θ
+=+-+==222 显然sin sin =sin
当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。

近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右。

6、 有以下四个命题：①()；〉
3122≥+n n n
②()；1226422
≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n
③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π④凸
n 边形对角线的条数是
()()
().42
2≥-=
n n n n f
其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
析：先进行特殊验证0n n =时是否成立，再假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则
当n=k+1时命题也成立。

①当n=3时，13223+⨯>，不等式成立；
② 当n=1时，21122
++≠，但假设n=k 时等式成立，则
()()()()211122126422
2++++=++++=++⋅⋅⋅+++k k k k k k ；
③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则 ()()()[]；
ππ111-+=+=+k k f k f ④ ()()22444-≠
f ，假设()()2
2-=k k k f 成立，则
()()()()()[].2
21131-++≠
-+=+k k k k f k f
故应填②③.
二 寻求解题方向。

把复杂问题简单化、特殊化，分析探索问题的切入点，再回到原问题。

遵循“由一般到特殊，再由特殊到一般”的辩证法。

7、已知0(1,2,3,,)i x i n ≥= ，且
1
1n
i
i x
==∑
，求证：1
1n
i i x =≤≤∑
析：本题所含变量较多，不宜入手。

根据“化多为少”的原则，减少变量个数，使问题简单化。

当n=2时问题化为：已知12120,0,+=1x x x x ≥≥且
，求证：1≤
≤
证明：1201x x ≤≤+=
2
122
1212
x x x ∴≤++≤≤即
故1≤
上述证明过程启发我们探究原题的证明方向：
11
1
12
1
1
0(1,2,)0,1,2,.)02
(1)1
12
11i n
i i j i n i i i j n
n
i i x i n i j n i j n x n x n
n ≤<≤==≤<≤==≥=∴≤=≠∴≤-=-∴≤+≤≤≤≤∑∑∑∑
即 （故
说明：利用柯西不等式更简单。

8、平面上给定5个相异点，它们之间的最大距离与最小距离的比为λ，求证：λ≥2sin 0
54. 析：先考察5个点的特殊位置共线、正五边形，再看一般情况。

（1） 共线，设B 在A 、C 之间，则λ≥
{}
AC
min AB BC 、022sin 54≥≥
（2） 正五边形ABCDE 的顶点，λ=0000
00sin108sin 722cos36=2sin 54sin 36sin 36
AC AB === （3） 如果变动B 点，使0
108ABC ∠> ， λ则>2sin 0
54.
因为若5个点能形成正五边形，则至少有一个角不小于0
108， 不妨假设0
108ABC ∠≥，则
AC sin sin sin =2sin 2sin 54180AB sin 2cos sin
22
ABC
ABC ABC ABC
ABC ABC BAC
∠∠∠∠≥==≥∠-∠∠若5个点包为三角形或四边形，则至少在另外三点构成的三角形内（或边上），不妨设D 在三角形ABC 内或边上，则,,ADC BDC ADB ∠∠∠至少有一个不小于0
120，由上所证知结论成立
说明：7、8二题是奥赛题，有难度和深度。

三 探索解题途径。

利用特殊化可引导我们探索有效的解题途径，使我们顿悟。

9 设数列20111152,,,(2)2
n n n u u u u u u +-===-- 求证：[][]1(2(1))3
2
,n
n n u x x --=其中表示不超过的最大整数。

析：先计算i=1、2、3、4时，i u 的值，观察归纳得1
22,(2(1))3
n n
a
a n n n n u a -=+=--其中
然后用数学归纳法证明，再利用02
1n
a -<<即得。

证明略。