2019-2020学年重庆市两江育才中学九年级(上)第一次月考数学试卷

2019-2020学年重庆市两江育才中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在题后对应的括号内.
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1C．ax2+bx+c＝0D．2x2+＝1
2．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
3．估计﹣的计算结果应在下列哪两个自然数之间（）
A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7
4．下列一元二次方程中没有实数根是（）
A．x2+3x+4＝0B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣5＝0D．x2+2x﹣4＝0
5．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（）A．11B．13C．11或13D．11和13
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012B．2013C．2014D．2015
7．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0
8．下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（）颗．
A．32B．37C．22D．42
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分值对应如下表：
x……﹣2﹣1012……
y……﹣13﹣412﹣1……
则下列说法中错误的是（）
A．图象与y轴交点坐标为（0，1）
B．抛物线开口向下
C．图象与x轴有两个交点
D．函数的最大值为2
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）
A．2B．3C．D．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）
A．abc＞0
B．3a＞2b
C．m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）
D．4a﹣2b+c＜0
12．若整数a既使得关于x的分式方程+1＝有正整数解，又使得关于y的不等式组至少
有3个整数解，则符合条件的所有a之和为（）
A．6B．7C．11D．10
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上13．使代数式有意义的x的取值范围是．
14．一元二次方程x（x﹣2）＝0的根是．
15．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（4，0）与（2，0），则抛物线的对称轴为直线x＝．
16．二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴是x＝﹣2，若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数的图象上且x1＜x2＜﹣2，则y1y2（填＜或＞或＝）．
17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒．
18．某商店为促进销售，将A、B、C三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均配成本价为5元的包装袋，甲方式每袋含A糖果1千克，B糖果1千克，C糖果3千克，乙方式每袋含A糖果3千克，B糖果1千克，C糖果1千克，已知每千克C糖果比每千克A糖果成本价高2.5元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为55元，现甲、乙两种方式分别在成本价（含包装袋）基础上提价20%和35%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲、乙两种方式的销量之比为．
三、解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
19．（1）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
（2）计算．
20．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE∥BD交CB延长线于点E．求∠AEB的度数．
四、解答题
21．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各60名学生进行了垃极
分类相关知识的测试，并分别抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80
乙班15名学生测试成绩统计如下：《满分100分）
86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83
【整理数据】
（1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据
65.5～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5
组别
频数
甲224511
乙11a b20
在表中，a＝，b＝．
（2）补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图：
【分析数据】
（3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级平均数众数中位数方差
甲80x8047.6
乙8080y26.2
在表中：x＝，y＝．
（4）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学生有人．
（5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由．
22．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标？
（2）求出△BCD的面积是多少？
23．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；
（2）如表是y与x的几组对应值．
x…﹣2﹣1﹣01234…
y…242m…
表中m的值为；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：
（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是．24．“绿色苗圃基地”种植的某种树苗除了运往外地销售外，还可以让厂家亲自去苗圃基地购买，今年6月份该树
苗在外地、苗圃基地的销售价格分别是50元/棵、40元/棵，6月份一共销售了300棵，总销售金额为14000元．（1）今年6月份该树苗在外地、苗圃基地各销售了多少棵？
（2）7月份由于天气炎热，该树苗在苗圃基地的销售量在6月份的基础上下降了a%（a＜20），销售价相当于6份的．而运往外地销售的树苗，它的销售价格和销售量与6月份持平，这样7月份的总销售金额比6月份下降了%，求a的值．
五、解答题
25．如图，在正方形ABCD中，线段CE交四边形的边于点E，点H为BD的中点，BF、DG分别垂直CE于点F 和点G，连接HF、HG．
（1）若AB＝3，AE＝2EB，求BF的长：
（2）求证：FG＝FH．
26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大？当四边形AOPE面积最大时，在抛物线对称轴直线上找一点M，使得MB+MP的值最小，求M的坐标；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市两江育才中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在题后对应的括号内.
1．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、不是整式方程，故错误．
故选：A．
2．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选：B．
3．【解答】解：﹣＝4，
∵4＝，
∴5＜＜6，
故选：C．
4．【解答】解：A、△＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，方程没有实数根．
B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根．
C、△＝b2﹣4ac＝4+20＝24＞0，方程有两个不相等的实数根．
D、△＝b2﹣4ac＝4+16＝20，方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当x＝4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6＝13．
故选：B．
6．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
解得m2﹣m＝1．
∴m2﹣m+2014＝1+2014＝2015．
故选：D．
7．【解答】解：由题意知k≠0，△＝4+4k＞0
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
8．【解答】解：设第n个“山”字中有a n个棋子，
观察图形，可知：a1＝7，a2＝a1+5＝12，a3＝a1+5×2＝17，a4＝a1+5×3＝22，…，（可直接利用列举法，找出第⑥个“山”字中棋子颗数）
∴a n＝a1+5（n﹣1）＝5n+2（n为正整数），
∴a6＝5×6+2＝32．
故选：A．
9．【解答】解：A、由表格中的数据知，当x＝0时y＝1，即抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），故本选项不符合题意．
B、由表格中的数据知，当x＜1时，y随x的增大而增大，且抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），则该抛物线
开口方向向下，故本选项不符合题意．
C、由以上分析知，抛物线开口向下，则该抛物线与x轴有2个交点，故本选项不符合题意．
D、当对称轴位于x＝1与x＝2之间时，函数的最大值就不是2，故本选项符合题意．
故选：D．
10．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝＝＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝＝，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴GF＝5，
∴DF＝2，
∴CF＝＝＝2，
故选：A．
11．【解答】解：A．由函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，则b＜0，故abc＞0，故此选项正确，但不符合题意；
B．∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2b＝4a，
∵a＜0，b＜0，
∴3a＞2b，故此选项正确，但不符合题意；
C．∵b＝2a，代入m（am+b）﹣（a﹣b）得：
∴m（am+2a）﹣（a﹣2a），
＝am2+2am+a，
＝a（m+1）2，
∵a＜0，
∴a（m+1）2≤0，
∴m（am+b）﹣（a﹣b）≤0，
即m（am+b）≤a﹣b，故此选项正确，但不符合题意；
D．当x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c，得出y＝4a﹣2b+c，
利用图象与x轴交点右侧小于1，则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于﹣2，
故y＝4a﹣2b+c＞0，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
12．【解答】解：解分式方程+1＝，得：x＝，
∵分式方程的解为正整数，且x≠3，
∴a＝2，4，7，
解不等式组，得：＜y≤9，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴＜7，
a＜，
∴符合条件的所有整数a的和2+4＝6，
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上
13．【解答】解：∵代数式有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
14．【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
15．【解答】解：函数的对称轴为：x＝（4+2）＝3，故答案为：3．
16．【解答】解：∵y＝﹣x2+bx+c的对称轴是x＝﹣2，开口向下，∴当x＜﹣2时，y随着x的增大而增大，
∵x1＜x2＜﹣2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
17．【解答】解：设直线OA的解析式为y＝kx，
代入A（200，800）得800＝200k，
解得k＝4，
故直线OA的解析式为y＝4x，
设BC的解析式为y1＝k1x+b，由题意，得，解得：，
∴BC的解析式为y1＝2x+240，
当y＝y1时，4x＝2x+240，
解得：x＝120．
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为120．
18．【解答】解：∵两种方式均配成本价为5元的包装袋，甲方式每袋含A糖果1千克，B糖果1千克，C糖果3千克，乙方式每袋含A糖果3千克，B糖果1千克，C糖果1千克，已知每千克C糖果比每千克A糖果成本价高2.5元，
∴一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多：2.5×2＝5（元/袋），
∵甲种方式（含包装袋）每袋成本为55元，
∴乙种方式（含包装袋）每袋成本为50元，
设甲、乙两种方式各自的销量分别为x袋和y袋，根据题意得，
55×0.2x+50×0.35y＝30%（55x+50y），
整理得，5.5x＝2.5y，
∴x：y＝5：11．
故答案为：5：11．
三、解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
19．【解答】解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣0.5；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝．
20．【解答】解：∵AB＝BD，∠ABD＝20°，
∴∠ADB＝80°，
∵BD＝DC，
∴∠CBD＝40°，
∵AE∥BD，
∴∠AEB＝40°．
四、解答题
21．【解答】解：（1）乙班75.5～80.5分数段的学生数为4，80.5～85.5分数段的学生数为5，故a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（2）补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图如图所示，
（3）甲班15名学生测试成绩中85出现的次数最多，故x＝85；
把乙班学生测试成绩按从小到大排列为：67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，处在中间位置的数为80，故y＝80；
故答案为：85，80；
（4）60××100%＝40（人），
答：乙班60名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学生有40人；
故答案为：40；
（5）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，
∵甲班的方差＞乙班的方差，
∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．
22．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
函数的对称轴为：x＝1，点D（1，﹣4）；
（2）过点D作y轴的平行线交BC于点H，
将点BC的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点H（1，﹣2），则HD＝2，
△BCD的面积＝HD×OB＝2×3＝3．
23．【解答】解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是：全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）把x＝4代入y＝得，y＝＝，
∴m＝，
故答案为：；
（3）如图所示，
（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x
＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）由图象，得
0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．
24．【解答】解：（1）设今年6月份该树苗在外地销售了x棵，在苗圃基地各销售了（300﹣x）棵，由题意得，50x+40（300﹣x）＝14000
解得：x＝200
则300﹣x＝100
答：今年6月份该树苗在外地销售了200棵，在苗圃基地各销售了100棵．
（2）由题意得
（100﹣100×a%）（40×）+200×50＝14000×（1﹣%）
解得：a1＝10，a2＝120（a＜20，舍去）
答：a的值是10．
五、解答题
25．【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，AE＝2EB，
∴BC＝AB＝3，AE＝2，BE＝1，
∴在直角△BEC中，由勾股定理得到：CE＝＝＝，
则BE•BC＝CE•BF，
故BF＝＝＝；
（2）如图，FG＝HF．理由如下：
连接CH，
∵在△BFC与△CGD中，，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴BF＝CG，∠FBC＝∠DCG．
∵点H是BD的中点，
∴CH⊥BD，且HC＝BH＝DH，
∴∠HBC＝∠HCD＝45°，
∴∠FBH＝∠GHC．
∵在△HBF与△HCG中，，
∴△HBF≌△HCG（SAS），
∴FH＝GH，∠FHB＝∠GHC，
∴∠FHG＝∠BHC＝90°，
∴FG＝HF．
26．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，则与x轴另外一个交点坐标为（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即3a＝3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）∠AOB的平分线交线段AC于点E，则OE＝OA＝3，故点E（3，3），
四边形AOPE面积＝△AOE的面积+△OPE的面积，由于△AOE的面积是定值，
故四边形AOPE面积最大，只需要确定△OPE的面积最大即可，
过点P作y轴的平行线交OE于点H，设点P（m，m2﹣4m+3），则点H（m，m），S△OPE＝×PH×AE＝×（m﹣m2+4m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3），
∵﹣＜0，故△OPE的面积有最大值，即四边形AOPE面积最大，此时，m＝，故点P（P′）（，﹣），
连接AP′交抛物线对称轴于点M，则点M为所求，
将点AP′的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝0，即点M（2，0）；
（3）①当点P在一、四象限时，如下图，
过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线l于点R、S，
设：RP＝a，PS＝b，则a+b＝2，
∵∠OPR+∠ROP＝90°，∠OPR+∠FPS＝90°，∴∠FPS＝∠ROP，
∠PKO＝∠FSP＝90°，PO＝PF，∴△PKO≌△FSP（AAS），
则FS＝RP＝a，OR＝PS，
故点P（a，a﹣2），
将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝，
故点P的坐标为：（，）或（，）；
②当点P在第二象限时，
同理可设：点P（2﹣m，m），
同理可得点P（，）；
综上，点P的坐标为：（，）或（，）或（，）．。