课件7：2.2.4 平面与平面平行的性质

[新知应用] [题型一] 平面与平面平行的性质定理的理解 [例 1] 已知 a、b 表示直线，α、β、γ 表示平面，下列推理正确的是( ) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α 且 b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b [思路点拨] 根据线线平行、线面平行、面面平行的判定、性质定理 判断本题是有效的方法，另外要善于构造空间图形模型．
[解] (1)如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点， 此时DA11DC11＝1，连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点． 在△A1BC1 中，点 O、D1 分别为 A1B、A1C1 的中点，∴OD1∥BC1. 又∵OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1. ∴BC1∥平面 AB1D1 ∴DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.
4．已知平面 α∥平面 β，且夹在 α 和 β 间的两条线段相等，那么这 两条线段所在直线的位置关系是________．
解析：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1， 有以下三种情况：①AA1＝BB1，且 AA1∥BB1；②A1D＝A1B，且 A1D∩A1B ＝A1；③AD1＝A1B，且 AD1 与 A1B 是异面直线． 答案：平行、相交或异面
[规律方法] 条件不完备或结论不确定是探索性问题的基本特征， 解决这类问题，较少现成的套路和常规程序，常常需要我们先研究 特例，如几何的特殊图形或特殊位置，或者逆推分析，或者猜想结 论、发现目标，再给出证明或举出反例．
[变式训练] 3.如图，平面 α∥平面 β，A，C∈α，B，D∈β，点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且AEEB＝FCDF.求证：EF∥β.
4．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图： 直线与直线平行直 直线 线与 与平 平面 面平 平行 行的 的判 性定 质直线与平面平行 平 平面 面与 与平 平面 面平 平行 行的 的判 性定 质平面与平面与平面平行的性质平面与平面 平行的判定平面平行
二、两平面平行的判定定理与性质定理的关系与作用 1．两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行” 二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定 理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判 定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法． 2．证明线与线、线与面平行关系时要善于利用“已知”，沟通“未知” 之间的关系，常用作辅助线(或面)的手段来实现“平行关系”的转化．
3．下列命题中不正确的是( ) A．两个平面 α∥β，一条直线 a 平行于平面 α，则 a 一定平行于平面 β B．平面 α∥平面 β，则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所 在的平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 答案：A
(2)当 S 不在两平行平面之间时，如图，设两平行平面为 α、β. ∵AB∩CD＝S，则两相交直线可确定一个平面 γ. 则 γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，∴α∥β， ∴AC∥BD，∴CS＝103.5(cm)． ∴线段 CS 的长为 22.5 cm 或 103.5 cm. [规律方法] 由面面平行得到线线平行．把空间问题转化为平面问 题进行计算．
[变式训练] 2.如图所示，四边形 ABCD 所在的平面与平面 α 平行，且 四边形 ABCD 在平面 α 内的平行投影 A1B1C1D1 是一个平行四边形， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
解：因为平面 ABCD∥平面 α，平面 ABCD∩平面 AA1B1B＝AB， 平面 AA1B1B∩平面 α＝A1B1，所以 AB∥A1B1； 同理，C1D1∥CD. 由于四边形 A1B1C1D1 是平行四边形， 所以 A1B1∥C1D1，从而 AB∥CD. 同理，BC∥AD，所以四边形 ABCD 是平行四边形．
[解] (1)当 S 在两平行平面之间时， 如图，令两平行平面为 α、β. ∴AB∩CD＝S，则两相交直线可确定一个平面 γ， 则 γ∩α＝BD，γ∩β＝AC. ∵α∥β，由两平面平行性质定理知 AC∥BD， 从而可知△ACS∽△BDS. ABSS＝DCSS，即1289..94＝57.5C－S CS， ∴CS＝18.498×.537.5＝22.5(cm)．
(2)由已知，平面 BC1D∥平面 AB1D1， 且平面 A1BC1∩平面 BDC1＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O， 因此 BC1∥D1O，同理 AD1∥DC1. ∴DA11DC11＝AO1BO，DA11DC11＝DADC. 又∵AO1BO＝1，∴DADC＝1，即DADC＝1.
又 BH⊂β，EG⊄β， 所以 EG∥β. 因为 FG∥DH，DH⊂β，FG⊄β，所以 FG∥β. 因为 EG∩FG＝G，所以平面 EFG∥β. 又 EF⊂平面 EFG，所以 EF∥β.
本课结束
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[变式训练] 1．设平面 α∥平面 β，点 A∈α，点 B∈β，C 是 AB 的中 点，当 A，B 分别在平面 α，β 内运动时，那么所有的动点 C( ) A．不共面 B．当且仅当 A，B 分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当 A，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．共面 解析：由面面平行的性质定理，点 C 在过 AB 中点且平行于 α(或 β)的 平面内，故选 D. 答案：D
【新知导学】
[知识点] 平面与平面平行的性质定理
定理
面面平行的性质定理
文字 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交 ，那么
语言 它们的交线 互相平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号 语言
α∥β γ∩α＝a ⇒a∥b γ∩β＝b
图形 语言
[思考] 1．平面α、β，直线a，若α∥β，a⊂α，则a与β是什么关系？ 提示：a∥β. 2．平面α、β、γ，直线a、b，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b吗？ 提示：不一定．α∥β时，可得a∥b；α与β相交时，可得a∥b或a与b相交． 3．平面与平面平行的性质定理的实质是什么？ 提示：由面面平行得线线平行．
[题型二] 平面与平面平行的性质的应用 [例 2] 夹在两个平行平面间的两线段 AB、CD 相交于点 S，已知 AS＝ 18.9 cm，BS＝29.4 cm.CD＝57.5 cm，求线段 CS 的长． [思路点拨] 线段 AB 与 CD 的交点 S 可能在两平面之间，也可能不 在两平面之间，应就两种情况分别求解．
[题型三] 平行关系的综合应用 [例 3] 已知：如图，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D、D1 分别为 AC、 A1C1 上的点． (1)当DA11DC11的值等于何值时，BC1∥平面 AB1D1； (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求DADC的值． [思路点拨] 对此类探索性问题，我们不妨先取特殊点，然后再证 明即可．
解：(1)当 AB，CD 共面时， 因为 α∥β，且平面 ABDC∩平面 α＝AC， 平面 ABDC∩平面 β＝BD， 所以 AC∥BD. 所以四边形 ABDC 是梯形或平行四边形． 由AEEB＝FCDF，得 EF∥BD. 又 BD⊂β，EF⊄β，所以 EF∥β.
(2)当 AB，CD 异面时，作 AH∥CD 交 β 于点 H，如图因为 α∥β， 且平面 AHDC 与平面 α，β 的交线分别为 AC，HD， 则 AC∥HD，所以四边形 AHDC 为平行四边形． 作 FG∥DH 交 AH 于点 G，连接 EG， 于是FCDF＝GAGH. 因为AEEB＝FCDF，所以EABE＝GAGH. 从而 EG∥BH.
【预习自测】
1． a∥α，b∥β，α∥β，则 a 与 b 位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
答案：D
2．已知直线 a，b，平面 α，β， 下列命题正确的是( ) A．若 a∥α，b∥a，则 b∥α B．若 a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则 β∥α C．若 α∥β，b∥α，则 b∥β D．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β 解析：若 a∥α，b∥a，则 b∥α 或 b⊂α，故 A 错误；由面面平行的判定 定理知 B 错误；若 α∥β，b∥α，则 b∥β 或 b⊂β，故 C 错误．故选 D. 答案：D
[新知解读]
【讲练探究】
一、平面与平面平行的性质的理解
1．面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可．
2．定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平
行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
3．面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
[解析] A 中 α∩β＝a，b⊂α，a、b 可能平行也可能相交；B 中 α∩β＝a，a∥b， 则可能 b∥α 且 b∥β，也可能 b 在平面 α 或 β 内；C 中 a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α， 根据面面平行的性质定理，若加上条件 a∩b＝A，则 α∥β.∴应选 D. [答案] D [规律方法] 面面平行等各种平行关系本质一致，即无公共点，抓住此点，结 合长方体模型可迅速解决问题．
2.2.4 平面与平面平行的性质
【学习目标】
课时点睛
目标定位
1.理解平面与平面平行的性质定理 类比线面平行的性质，由
的含义． 平面与平面平行可得到什
2.能用三种语言(图形、文字、符 么性质呢？面面平行的性
号)准确描述定理内容． 质体现了哪两种平行关系
3.能利用定理证明空间的简单平行 的转化？
关系.