高中数学知识点总结集合不等式函数

上海教材高中数学知识点总结
一、集合与常用逻辑
1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ
子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈
B A B B A B
A A
B A ⊆⇔=⊆⇔=
注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题
5．充分必要条件
p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值
①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝
二、不等式
1．一元二次不等式解法
若0>a ，02
=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则
02<++c bx ax 解集),(βα
02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα
注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化
a x a a x <<-⇔<⇔22a x <
⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >
0)
()
(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）
⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()
><⎧⎨⎪⎩⎪0
（01<<a ）
3．基本不等式 ①ab b a 22
2≥+ ②若+
∈R b a ,，则
ab b
a ≥+2
注：用均值不等式ab b a 2≥+、2
)2
(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1．奇偶性
f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性
f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)
或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)
或
0)
()(2
121>--x x x f x f
f(x)减函数：？
注：①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性
T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T
）
4．二次函数
解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2
+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)
对称轴：a
b
x 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(a
b
-
-∞递减，),2[+∞-a b 递增 当a
b x 2-=，f(x)min a b a
c 442
-=
奇偶性：f(x)=ax 2
+bx+c 是偶函数⇔b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系
注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0
四、基本初等函数
1．指数式 )0(10≠=a a n n
a
a
1
=- m n m n
a a = 2．对数式
b N a =log N a b
=⇔（a>0,a ≠1）
N M MN a a a log log log +=
N M N
M a a a log log log -=
M n M a n a log log =
a b b m m a log log log =
a
b
lg lg =
n
a a
b b n log log =a
b log 1=
注：性质0
1
log=
a
1
log=
a
a
N
a N a=
log
常用对数N
N
10
log
lg=，1
5
lg
2
lg=
+
自然对数N
N
e
log
ln=，1
ln=
e
3．指数与对数函数y=a x与y=log a x
定义域、值域、过定点、单调性？
注：y=a x与y=log a x图象关于y=x对称（互为反函数）
4．幂函数1
2
1
3
2,
,
,-
=
=
=
=x
y
x
y
x
y
x
y
α
x
y=在第一象限图象如下：
五、函数图像与方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
)
(
)
(h
x
f
y
x
f
y+
=
→
=
伸缩：)
1
(
)
(x
f
y
x
f
y
ϖ
ϖ=
−
−
−
−
−
−
−
−→
−
=倍
来的
每一点的横坐标变为原
对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
y
x
-
-
=
−
−→
−
=
-
=
−→
−
=
-
=
−→
−
=
原点
轴
轴
注：α>101
<<
αα<0
)
(x f y =a
x =→直线)2(x a f y -=
翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，
并将下方部分沿x 轴翻折到上方
→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，
并将右边部分沿y 轴翻折到左边
3．零点定理
若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）
注：①
)(x f 零点：0)(=x f 的实根
②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？
六、三角函数
1．概念 第二象限角)2,2
2(πππ
π++k k (Z k ∈)
2．弧长 r l ⋅=
α 扇形面积lr S 2
1
=
3．定义 r y =
αsin r x =αcos x
y =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =
4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+
6．特殊角的三角函数值
α
6
π
4
π 3
π 2
π π
2
3π sin α
21 22 2
3 1
1-
cos α
1
23 2
2 21 0
1- 0
tg α
0 3
3 1
3
/ 0 /
7．同角1cos sin
22
=+αα
αα
α
tan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±
()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
倍角 αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
降幂cos 2
α=
22cos 1α+ sin 2
α=2
2cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin π
ααα+=
+
)6
sin(2cos sin 3π
ααα-=-
)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan b
a
=ϕ
8．三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx
图象
单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2
,2(ππ-增
注：Z k ∈ 9．解三角形
基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2
cos 2sin
C
B A =+ 正弦定理：
A a sin =
B b sin =C
c
sin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=
余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）
cos A =bc a c b 22
22-+（求角）
面积公式：S △＝
2
1
ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<
a 2＞
b 2+
c 2 ⇔ ∠A ＞2
π。