模型12双星多星模型(教师版含解析)-高考物理模型专题突破

12双星多星模型
1．(2020·河南高三月考)2020年发现的TOI —1338b 是一颗围绕TOI —1338双星系统转动的行星。

TOI —1338双星系统由质量约为1.2M 的TOI —1338A 和0.3M 的TOI —1338B 组成(M 为太阳质量)，双星的运动周期约为地球公转周期的
1
25。

则TOI —1338A 的线速度与TOI —1338B 线速度的比值以及双星间的距离分别是(AU 为天文单位，AU=日地平均距离)( )
A ．14
AU B ．14
C ．4
D ．4
【答案】B 【详解】
双星系统转动的角速度相等，根据v r ω=可得
11
22
v r v r = 设双星间的距离为L ，根据万有引力提供向心力公式得
221212212
1.20.3m m v v G M M L r r ==
联立解得
120.31
=1.24
r M r M = 又地球公转有
2
22()Mm G
mR R T
π= 解得地球公转周期
23
2
4R T GM
π=
双星的运动周期约为地球公转周期的
1
25，则有 22121122
222()()2525
m m G m r m r T T L
ππ== 解得双星间的距离为
=AU 5050
L R =
故选B 。

2．(2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考)若宇宙中某双星由质量相等的星体A 1和A 2构成，它们离其他天体很远，两星体在相互之间的万有引力作用下绕二者连线上某一点O 做匀速圆周运动。

由天文观察测到其运动的周期为T ，两星体之间的距离为r ，已知万有引力常量为G 。

由此可求出A 1和A 2的质量之和为( )
A ．23
2
4r GT
π B ．232
2r GT π C ．232
r GT
π D ．无法计算
【答案】A 【详解】
万有引力充当向心力
2
1211224m m G m r r T
π=
2
1222224m m G m r r T
π=
12r r r =+
解得
23
122
4r m m GT
π+= A 正确，BCD 错误。

故选A 。

3．(2020·山西大附中高二月考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。

设某双星系统A 、B 绕其连线上的某固定点O 点做匀速圆周运动，如图所示。

现测得两星球球心之间的距离为L ，运动周期为T ，已知万有引力常量为G 。

若AO >OB ，则( )
A ．星球A 的角速度一定大于星球
B 的角速度 B ．星球A 所受向心力大于星球B 所受向心力
C ．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大
D ．两星球的总质量等于23
2
4L GT
π 【答案】D 【详解】
A ．双星围绕同一点同轴转动，其角速度、周期相等，故A 错误；
B ．双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，故B 错误；
C ．双星AB 之间的万有引力提供向心力，有
2A B
A A 2
m m G
m R L ω= 2A B B B 2m m
G m R L
ω=
其中
2T
πω=
A B L R R =+
联立解得
()2233
A B A B 2244ππL m m R R GT GT
+=+=
解得
T =故当双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期也减小，故C 错误； D ．根据C 选项计算可得
23
A B 2
4L m m GT
π+= 故D 正确。

故选D 。

4．(2020·安徽省涡阳第一中学高三月考)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。

“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两颗星球之间的距离为L ，质量之比m 1∶m 2=3∶2，则可知( )
A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3
C ．m 1做圆周运动的半径为25L
D ．m 2做圆周运动的半径为5
L
【答案】C 【详解】
AB ．设两星的运动半径分别为r 1和r 2，由于两星的周期和角速度相同，根据两星之间的万有引力等于它们的向心力，即
m 1r 1ω2=m 2r 2ω2
可得
12:2:3r r =
根据v r ω=则有
21122
v v r r ==﹕﹕﹕3 选项AB 错误； CD ．根据
12:2:3r r =
而
r 1＋r 2=L
所以
12
5r L =
235r L =
C 正确，
D 错误。

故选C 。

5．(2020·广东珠海市第一中学高一期中)双星系统中两个星球 A 、B 的质量都是 m ，相距 L ，它们正围绕两
者连线上某一点做匀速圆周运动。

实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值
T 0，且0
1（）=<T
k k T ，于是有一人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球 C 的影响，并认为 C 位于 A 、B 的连线正中间，相对 A 、B 静止，则 A 、B 组成的双星系统周期理论值 T 0 及 C 的质量分别为( )
A
．22
14k m k + B
．2214k m k - C
．2π2
14k m k
+ D
．22214k m k - 【答案】D 【详解】
两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：
22122Mm
G
m r m r L
ωω== 可得
r 1=r 2 ①
两星绕连线的中点转动，则有：
2222042
m L
G m L T π=⋅⋅ ② 所以
02T =
③ 由于C 的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
2222242()2
m Mm L G G m L L T π+=⋅⋅
④ 又
T
k T = ⑤ 解③④⑤式得
2
2
14k M m k
-=
可知D 正确，ABC 错误。

故选D 。

6．(2020·山东高三月考)科学家麦耶(M ．Mayor )和奎洛兹(D ．Queloz )因对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。

他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

已知恒星与行星之间的距离为L ，恒星的质量为M 行星的质量为m ，引力常量为G 。

设行星做圆周运动的半径为r 、周期为T 、向心加速度为a 、弧线速度为v ，下列表达式不正确的是( ) A ．ML
r M m
=
+
B ．2
GM
a L =
C ．2T =
D ．v =
【答案】D 【详解】
恒星的质量为M ，行星的质量为m ，行星的轨道半径为r ，恒星的轨道半径为L -r ，双星系统具有相同的角速度和周期，恒星和行星间的万有引力提供向心力，有
()22
22244 GMm M L r m r L T T
ππ=-= 解得行星的轨道半径
ML
r M m
=
+
周期
2T =
向心加速度
2GM
a L
=
线速度
2r v M T π===故ABC 正确，不符合题意，D 不正确，符合题意。

故选D 。

7．三颗相同的质量都是M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上。

如果它们中的每一颗都在相互
的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是( )
A
B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C．它们运行的轨道半径为
2
L
D
【答案】B
【详解】
AB．根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为
F1=G
2
2 M L
方向沿着它们的连线。

其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为
F=2F1G
2
2 M L
方向指向圆心，故A错误，B正确；
C．由
r cos30°=
2
L 解得它们运行的轨道半径
r
=
3
L 故C错误；
D．由
2
2
M
L
=M
2
v
r
可得
v
故D错误。

故选B。

8．(2020·宁夏银川一中高三三模)明亮的天狼星是双星系统的一颗子星，另一颗子星是已经不再发光的白矮星，它们的环绕运转周期约为50年。

如图所示，现有α星和β星组成的双星系统“晃动”的周期为T(实际是环绕转动，不过人们往往只能看到它们晃动)，α星晃动的范围为α
D，β星晃动的范围为
β
D，则α星和β星的质量分别为( )
A．
()2
2
ααβ
2
2
a
D D D
M
GT
π+
=，
()2
2
βαβ
β2
2
D D D
M
GT
π+
=
B．
()2
2
βαβ
2
2
a
D D D
M
GT
π-
=，
()2
2
ααβ
2
2
D D D
M
GT
β
π-
=
C．
()2
2
βαβ
2
2
a
D D D
M
GT
π+
=，
()2
2
ααβ
2
2
D D D
M
GT
β
π+
=
D．
()2
2
βαβ
2
4
a
D D D
M
GT
π+
=，
()2
2
ααβ
2
4
D D D
M
GT
β
π+
=
【答案】C
由图知α星的轨道半径为
α
α2
D r =
β星的轨道半径为
ββ2
D r =
α星和β星之间的距离为
αβ
αβ2
D L r r D =+=
+
根据万有引力提供向心力，则有
22αβ
βα
αβ
2
2244GM M r r M M L T T
ππ== 联立解得
2222
βα2
2
4 (2)a r L D D D M GT
GT
ββππ+=
=
22
22ααβαβ22
4 (2)
D D D r L M GT GT
ππ+== 故C 正确，A 、B 、D 错误； 故选C 。

9．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。

双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星中心间距离为L ，两颗星的轨道半径之差为∆r ，且轨道半径大小关系满足r a >r b ，则( )
A ．a 星做圆周运动的线速度大小为)
L r T
π+∆（
B ．a 、 b 两颗星的质量之比为
L r L r +∆-∆
C ．b 星做圆周运动的周期为
L r
T L r
-∆+∆ D ．如果双星的总质量一定，双星间距若变大，则它们转动周期将变小
【详解】
C ．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b 星的周期为T ，故C 错误； A ．题意可知
r a +r b =L r a -r b =△r
解得
2a L r
r +＝
2b L r
r -＝ 则a 星的线速度大小为
2()
a a r r v T T
L ππ+=
＝
选项A 正确；
B ．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有
m a r a ω2＝m b r b ω2
解得质量之比为
a b m L r m L r
-=+ 选项B 错误； D ．根据
222
a a a
b b b
m m G
m r m r L
ωω=＝ 解得
23
23
2
4()a b L G m m L T
πω+== 则如果双星的总质量一定，双星间距若变大，则它们转动周期将变大，选项D 错误。

故选A 。

10．(2020·湖南衡阳市八中高三月考)深空中，某行星X 绕恒星Y 逆时针方向公转，卫星Z 绕X 逆时针方向运行，X 轨道与Z 轨道在同一平面内。

如图，某时刻Z 、X 和Y 在同一直线上，经过时间t ，Z 、X 和Y
再次在同一直线上(相对位置的顺序不变)。

已知Z 绕X 做匀速圆周运动的周期为T ，X 绕Y 做匀速圆周运动的周期大于T ，X 与Y 间的距离为r ，则Y 的质量为( )
A ．232
224()r t T Gt T π-
B ．232224()r t T Gt T π+
C ．232
4r Gt
π D ．23
2
4r GT
π 【答案】A 【详解】
在0~t 时间内X 公转的角度设为θ，则Z 绕X 转过的角度为
2π+θ
X 公转的周期
2T t
π
θ'=
Z 绕X 运行的周期
22T t
ππθ=
+ 得
tT
T t T
'=
- 设Y 的质量为M ，X 的质量为m ，由Y 对X 的万有引力提供向心力有
2
2
2(
)Mm G m r T r π='
解得
23222
4r t T M Gt T
π-=
（）
选项A 正确，BCD 错误。

故选A 。

11．(2020·全国高一课时练习)某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。

一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。

如果两颗小星间的万有引力为F ，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F ，则下列说法不正确的是( )
A ．每颗小星受到3个万有引力作用
B ．每颗小星受到的万有引力为92F ⎛⎫
+ ⎪
⎪
⎝⎭
C ．母星的质量是每颗小星质量的3倍
D ．小星围绕母星做圆周运动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等 【答案】B 【详解】
A ．根据万有引力定律可知，任意两颗星之间都存在万有引力作用，故四颗星中任一颗星都受到另外三颗星的万有引力作用，故A 正确；
BC ．假设每颗小星的质量为m ，母星的质量为M ，等边三角形的边长为a ，则小星绕母星运动轨道半径为
3
r a =
根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为
2
2m F G a
=
母星与任意一颗小星间的万有引力为
2
9Mm
F G
r = 联立得
3M m =
根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为
)
2
222cos309m Mm
F G G F a r
'=+=
︒
故B 错误，C 正确；
D ．三小星围绕母星做圆周运动，小星的质量相同、半径相同、所受万有引力相同，根据万有引力提供圆周运动的向心力可知，它们做圆周运动的周期、角速度、线速度大小相等，故D 正确。

故选B 。

12．(2020·全国高三专题练习)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m ,半径均为R ,四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上.已知引力常量为G .关于四星系统,下列说法错误的是( ) A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B ．四颗星的轨道半径均为
2
a
C ．四颗星表面的重力加速度均为2
Gm
R
D ．四颗星的周期均为2π【答案】B 【详解】
四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，，选项A 正确B 错误；四颗星的轨道半径均为a ，
选项A 正确B 错误；由Gmm’/R 2= m’g 可知四颗星表面的重力加速度均为g= Gm /R 2，选项C 正确；由G +2 G
cos45°=m
a
，解得四颗星的周期均为T=22(42)a
a
Gm
π+,选项D
正确
13．(2020·江苏高三月考)2020年7月21日将发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。

此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。

地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。

则( )
A ．地球绕太阳运转的向心加速度大于土星绕太阳运转的向心加速度
B ．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C ．2019年没有出现土星冲日现象
D ．土星冲日现象下一次出现的时间是2021年 【答案】AD
【详解】
A ．地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有
2224Mm G mr r T
π=
解得
T =
可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小。

又
2Mm
G
ma r = 解得
22
1
GM a r r =
∝
可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A 正确； B ．由万有引力提供向心力有
2
2Mm v G m r r
= 解得
v =
知土星的运行速度比地球的小，选项B 错误； CD ．设1T =地年，则
=29.5T 土年，
出现土星冲日现象则有
()2πt ωω-⋅=地土
得距下一次土星冲日所需时间
22 1.0422t T T ππ
ππωω=
=≈--地土
地土
年 选项C 错误、D 正确。

故选AD 。

14．(2020·邵东县第一中学高二期末)若某双星系统A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，已知A 星和B 星的质量分别为m 1和m 2，相距为d ，下列说法正确的是( )
A ．A 星的轨道半径为
1
12
m d m m +
B ．A 星和B 星的动量大小之比为1∶1
C ．A 星和B 星的动能大小之比为m 1：m 2
D ．A 星和B 星的速度大小之比为m 2：m 1 【答案】BD 【详解】
A ．根据万有引力做向心力可得
222212
122
=A B Gm m m r m r d
ωω= 又有
A B d r r =+
则有
212A m r d m m =
+，1
12
B m r d m m =+
故A 错误；
BCD ．由于两星的角速度相等，则A 星和B 星的线速度之比
2
1
A A
B B v r m v r m == 由公式p mv =可知，A 星和B 星的动量大小之比
121A A
B B
p m v P m v == 动能之比为
212k 1222k 211212()12
A
A B
B m v E m m m
E m m m m v ==⨯= 故BD 正确，C 错误。

15．(2020·河南高一期末)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位.如图所示，质量均为M 的P 、O 、S 三颗星位于同一直线上P 、S 两颗星围绕中央星O 在同一半径为R 的圆轨道上做匀速圆周运动，已知万有引力常量为G ，忽略其他星体对它们的引力作用，则( )
A ．P 星和S 星的角速度相同
B ．P 星和S 星的线速度相同
C ．P 、O 、S 三颗星所受合外力大小相等
D ．P
【答案】A 【详解】
AB ．由于P 、S 位于同一轨道上，P 、S 的角速度相同，由v=ωR 可知，P 、S 两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项B 错误，A 正确；
C ．S 星所受合外力为0，O 、P 对S 星的万有引力的合力
222
222
5(2)4s GM GM GM F R R R =+=
P 星所受合外力与之大小相等，方向相反，而O 星所受合外力大小为0，选项C 错误； D ．由
22
2
2544GM M R R T
π= 解得
T =
则D 错误； 故选A 。

16．(2020·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高一月考)天文观测是研究天体运动的主要方法。

某天文学家经长期观测发现，宇宙中存在一些三星系统和双星系统，这些系统远离其他星体，其他星体对它们的万有引力可忽略。

若组成三星系统和双星系统的单个星体质量都是m ，相邻两个星体之间的距离都是L ，则下列说法正确的是( )
A ．若三星系统的三个星体排列在一条直线上，则两侧的星体一定绕中间的星体做匀速圆周运动，其运
动周期为4πB ．若三星系统的三个星体排列在一等边三角形的三个顶点上，则三个星体做匀速圆周运动的半径为L
C ．双星系统的运动周期为2π
D ．双星系统做匀速圆周运动的轨迹半径为L 【答案】AC 【详解】
A ．对三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力
222
2224π(2)Gm Gm m L L L T
+= 解得
4πT =故A 正确；
B ．另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，根据几何关系可知三个星体做匀速圆周运动的半径为
3
r L =
故B 错误； CD ．双星系统有
2212214πm G m r r T = 22
22224πm G m r r T
= 且
12r r L +=
联立解得
2T π= 双星系统做匀速圆周运动的轨迹半径为2
L
，故C 正确，D 错误。

故选AC 。

17．(2020·黑龙江哈尔滨三中高一月考)太空中存在离其他恒星很远、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统A ——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统B ——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则
A ．三星系统A
外侧两颗星体运动的角速度大小为ω=
B ．三星系统A
外侧两颗星体运动的线速度大小为v =
C ．三星系统B
的运动周期为4T π=
D ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L = 【答案】ACD 【详解】
对三星系统A ：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；其中边上
的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力：22222
(2)Gm Gm v m R R R +=，解得：v =
所以2π4πR T v =
=，2πT ω===
A 外侧的两颗星作匀速圆周
运动的周期和三星系统B 每颗星作匀速圆周运动的周期相等，故：4πT T ='=，另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛
顿第二定律得：2
222π2cos302cos30Gm L m L T ︒︒⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由于两种系统的运动周期相同，即4πT =
解得：L ，故ACD 正确． 18．(2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考)在天文观测中，观测到质量相等的三颗星始终位于边长为L 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动，如图所示。

已知引力常量为G ，不计其他星球对它们的影响。

(1)求每颗星的质量m ；
(2)若三颗星两两之间的距离均增大为原来的2倍，求三颗星稳定运动时的线速度大小v 。

【答案】(1)232
43L m GT π=；(2
)3L
v T
= 【详解】
(1)由受力分析可知，三颗星要稳定的运动，每颗星受到的合力一定指向圆心，由几何关系可知，轨道半径
1r =
它们两两之间的万有引力大小
2
2m F G L
=
每颗星的向心力由另两颗星对它的万有引力的合力提供，则
2
1242cos30F m r T
π︒=
解得
23
2
43L m GT
π= (2)由万有引力提供向心力可知
2
24m r T
π= 可知
2T =
又
2
2
2r v T π=
，212r r = 解得
v =
19．(2020·湖南长沙·雅礼中学高三月考)如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分
别在O 的两侧。

引力常数为G 。

(1)求两星球做圆周运动的周期。

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。

已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg 。

求T 2与T 1两者平方之比。

(结果保留3位小数)
【答案】(1)2T =(2)1.01
【详解】
试题分析：(1)A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力大小相等，且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期，因此有：22m r M R r R L ωω=+=， 联立解得：m M
R L r L m M m M
=
=++，
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得：2224Mm M
G m L L T m M π=⋅+
化简得：2T =
(2)将地月看成双星，由(1)得1 2T =将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：2
224Mm G m L L T
π=
化简得：22T =
所以两种周期的平方比值为：2422
2224
1 5.98107.3510() 1.0125.9810
T M m T M +⨯+⨯===⨯ 考点：考查了万有引力定律的应用 【点睛】
这是一个双星的问题，A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力， A 和B 有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题。

20．(2020·湖南高一期末)我国将于2020年首次探测火星，火星与地球的环境非常相近，很有可能成为人类的第二家园。

已知火星的质量为m ，太阳质量为M ，且M
m >，万有引力常量为G ，太阳、火星均
可视为质量分布均匀的球体，不考虑火星自转。

为简化问题，研究太阳与火星系统时可忽略其他星体的作用，只考虑两者之间的引力作用。

(1)通常我们认为太阳静止不动，火星绕太阳做匀速圆周运动。

已知火星绕太阳运动的轨道半径为r ，请据此模型求火星的运行周期1T 。

(2)事实上太阳因火星的吸引不可能静止，但二者并没有因为引力相互靠近，而是保持间距r 不变。

请由此构建一个太阳与火星系统的运动模型，据此模型求火星的运行周期2T 与1T 的比值；并说明通常认为太阳静止不动的合理性。

【答案】(1
)12T =；(2)见解析
【详解】
(1)对火星，万有引力提供向心力，有
2221
4Mm G mr r T π= 解得
12T = ①
(2)太阳与火星构成“双星”模型，即二者都围绕它们连线上的某一定点O 做周期相同的匀速圆周运动，设火星的运行半径为1r ，太阳的运行半径为2r ，对火星有
2
1222
4Mm G mr r T π= ②
对太阳有
2
2222
4Mm G Mr r T π= ③ 半径关系为
12r r r += ④
联立①②③④式可得
21T T =
⑤ 联立②③④式可得
2m
r r M m
=
+⑥
一方面，因M
m >，太阳质量比火星质量大很多倍，由⑤式得
2
1
1T T ≈ 可见运行周期几乎相等； 另一方面，由于M
m >，太阳质量比火星质量大很多倍，由⑥式得
20r ≈
即太阳几乎与定点O 位置重合，所以通常认为太阳静止不动是合理的。

21．(2020·湖北高一期末)2020年3月天文学家通过中国“天眼”——500米口径球面射电望远镜(FAST )在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统，并通过观测认证，该双星系统由一颗脉冲星和一颗白矮星组成。

若该脉冲星质量为m 1，白矮星质量为m 2，两星间距为l ，已知万有引力常量为G 。

求： (1)该双星系统的转动周期；
(2)该脉冲星与白矮星线速度大小之和。

【答案】
(1)2
【详解】
(1)对质量为m 1的脉冲星有
2
1211
22m m G m r l T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
对质量为m 2的白矮星有
2
1222
22m m G m r l T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
12r r l +=
解得
2T =(2)速度大小之和
v =v 1+v 2
1
12r v T π=
2
22v T r π= 解得
v =
22．(2020·山东烟台·高一期末)黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大、体积极小的天体。

黑洞的引力很大，连光都无法逃脱，因此它无法用天文望远镜直接观察。

天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX -3天体系统，该系统只观测到一颗可见星球。

如果该系统是这颗可见星球与一黑洞组成的双星系统，如图所示，可见星球与黑洞在引力作用下绕二者之间连线上的某一点O 做匀速圆周运动，可见星球、黑洞和O 三点始终共线，已知该可见星球绕O 点做速率为v 、运行周期为T 的匀速圆周运动，可见星球和黑洞的质量分别为m 和M ，求可见星球与黑洞之间的距离。

【答案】()
2πTv M m L M
+=
【详解】
设可见星球与黑洞做匀速圆周运动的半径分别为R 、R′，由题意可知可见星球与黑洞的运转周期均为T ，则
2R
T v
π=
2
2()F m R T π=可见 22()F M R T
π
='黑洞
由牛顿第三定律可知
F 可见=F 黑洞
可见星球与黑洞之间的距离
L R R =+'
得
()
2πTv M m L M
+=
23．(2020·江西南昌二中高二期末)2019年1月3日，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，并通过“鹊桥”中继卫星传回了世界上第一张近距离拍摄月球背面的图片。

此次任务实现了人类探测器首次在月球背面软着陆、首次在月球背面通过中继卫星与地球通讯，因而开启了人类探索月球的新篇章，同时也激励着同学去探索月球的奥秘∶
(1)若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5 天(图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)。

求：月球绕地球转一周所用的时间T (因月球总是一面朝向地球，故T 恰是月球自转周期)。

(提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法， 一年以365天计算)。

(2)探测器在月球背面着陆的难度要比在月球正面着陆大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮挡，着陆前探测器将无法和地球之间实现通讯。

2018年5月，我国发射了一颗名为“鹊桥”的中继卫星，在地球和月球背面的探测器之间搭了一个“桥”，从而有效地解决了通讯的问题。

为了实现通讯和节约能量，“鹊桥”的理想位置就是围绕“地-月”系统的一个拉格朗日点运动，如图2所示。

所谓“地-月”系统的拉格朗日点是指空间中的某个点，在该点放置一个质量很小的天体，该天体仅在地球和月球的万有引力作用下保持与地球和月球的相对位置不变。

设地球质量为M ，月球质量为m ，地球中心和月球中心间的距离为L ，月球绕地心运动，图2中所示的拉格朗日点到月球球心的距离为r 。

推导并写出r 与M 、m 和L 之间的关系式。

【答案】(1) 27.3天；(2)()()22
3
m M M L r r L L r +=++ 【详解】
(1)地球绕太阳公转的角速度
2365
πω=
从上次满月到下次满月地球公转了θ角，用了29.5天，所以有
2295365
t π
θω==
⨯. 月球在两满月之间转过(2)πθ+，用了29.5天，所以月球每天的角速度
229.5
πθ
ω+'=
根据周期公式2T π
ω=
'
(即月球360︒除以每天角速度所花的时间)得 2229.5
T ππθ=
+ 因为2295365
π
θ=
⨯.，所以可得 27.3T =天
(2)设在图中的拉格朗日点有一质量为m '的物体()m m '<<则月球对其的万有引力
12mm F G
r
'
= 地球对其的万有引力2F 为
22
()GMm F L r '
=
+
质量为m '的物体以地球为中心做圆周运动，向心力由F 1和F 2的合力提供，设圆周运动的角速度为ω，则有
()212F F m L r ω'+=+
根据以上三式可得
()
()222m M G
G L r r L r ω+=++ 月球绕地球做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力有
2
2Mm G
m L L
ω= 联立以上两式得
()()223m M M L r r L
L r +=++ 24．(2020·浙江)如图所示，地球和月球实际上也是一个双星伴绕的天体系统，它们绕着连线上的一个共同的圆心O ，保持距离不变在做圆周运动。

科学研究发现：在地球A 为圆心，地球到月球B 的距离为半径的圆周上，与地球和月球等距离的地方C 处，如果建立一个空间站，空间站会成为地、月双星系统的人造卫星。

设地球质量为M ，月球质量为m ，地、月之间的距离为L 。

求 (1)共同的圆心O 到地球的距离r 1； (2)地、月系统的周期T
(3)空间站所受引力的合力方向与地月连线的交点O ʹ与地球的距离r 1ʹ以及周期T ʹ。

【答案】(1)1m r L M m =+；(2)2；(3)1m r L M m =
'+，2T '=【详解】。