高中数学第二章平面向量4平面向量的坐标课件北师大版必修4

探究三 向量共线的坐标运算 [典例 3] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它 们是同向还是反向？
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)． 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以k2－ k＋3＝ 2＝1－0λ，4λ， 解得 k＝λ＝－13. 当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行， 这时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， 因为 λ＝－13<0，所以 ka＋b 与 a－3b 反向．
A．－5
B.52
C．7
D．－12
解析：a＋b＝(－1,2)＋(λ，1)＝(λ－1,3)，由 a＋b 与 a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)
＝0，解得 λ＝－12.
答案：D
3．若向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x＝________.
解析：∵A(1,2)，B(3,2)， ∴A→B＝(2,0)． 又∵a＝A→B，即(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)， ∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0， 解得 x＝－1. 答案：－1
实数与向量积的坐标分别等于实 数与向量的相应坐标的 乘积
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B 一个向量的坐标等于其终点的相
有向线段的坐标表示 ＝O→B－O→A＝(x2，y2) －
应坐标减去始点的相应坐标
(x1，y1) ＝ (x2－x1，y2－y1)
3.向量平行的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
A．(3，－4)
B．(－3,4)
C．(3,0)
D．(－3，－4)
解析：2b＋a＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0＋3，－2＋2)＝(3,0)．
答案：C
3．已知向量 a＝(4,2)，向量 b＝(x,3)且 a∥b，则 x 等于________． 解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6. 答案：6
(1)当 a∥b 时，有 x1y2－x2y1＝0 . (2)当 a∥b 且 b 不平行于坐标轴，即 x2≠0，y2≠0 时，有
xx12＝yy12
.即若两个向量(与
坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则
它们平行．
[双基自测]
1．给出下列说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①② ④正确，故选 C. 答案：C
2．若向量 a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量 2b＋a 的坐标是( )
4 平面向量的坐标
考纲定位
重难突破
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 重点：1.平面向量坐标的定义及坐标表示．
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 2.平面向量坐标表示的向量运算．
乘运算． 难点：向量与坐标关系的理解.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
(2)因为 a＝A→B＝(1，－5)，b＝B→C＝(4,1)－(2，－2)＝(2,3)， 所以 ka－b＝k(1，－5)－(2,3)＝(k－2，－5k－3)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,3)＝(7,4)． 因为向量 ka－b 与 a＋3b 平行， 所以 7(－5k－3)－4(k－2)＝0，解得 k＝－13.
探究二 平面向量线性运算的坐标表示 [典例 2] (1)已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，则A→B＝________，A→C＝ ________，A→B＋A→C＝________，A→B－A→C＝________，2A→B＋12A→C＝________. (2)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)，则 a－2b＝________，(2a－b) －(b－2c)＝________.
(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算．要注意 三角形法则及平行四边形法则的应用．熟练掌握公式是解题的关键． (2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示．
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求点 M，N 的坐标及M→N的坐标．
(2)由 a＝(－1,2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)， 得 a－2b＝(－1,2)－2(2，－3) ＝(－1－4,2＋6)＝(－5,8)． (2a－b)－(b－2c)＝2a－2b＋2c＝2(a－b＋c) ＝2(－1－2－3,2＋3－2)＝2(－6,3)＝(－12,6)．
[答案] (1)(3，－1) (－3,2) (0,1) (6，－3) 92，－1 (2)(－5,8) (－12,6)
得x＝172， y＝2，
所以点 M 的坐标为172，2.12 分
[规范与警示] (1)在①处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因 解不出造成失分．在②处正确地运用了 AD 与 BC 交于点 M 的条件，否则无法继续求 解造成失分．在③处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否 则将功败垂成． (2)①解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求 出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题； ②解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的 坐标运算掌握不熟练将造成本题错解； ③在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量 相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证．
两平面向量共线的条件有以下两种形式： ①若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b(a≠0)的条件是 x1y2－x2y1＝0； ②若 a∥b(a≠0)，则 b＝λa(λ 为实数)．
3．设 A，B，C，D 为平面内的四点，且 A(1,3)，B(2，－2)，C(4,1)． (1)若A→B＝C→D，求 D 点的坐标； (2)设向量 a＝A→B，b＝B→C，若向量 ka－b 与 a＋3b 平行，求实数 k 的值． 解析：(1)设 D(x，y)． 因为A→B＝C→D，所以(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4,1)， 化为(1，－5)＝(x－4，y－1)， 所以xy－－14＝＝－1，5， 解得xy＝＝－5，4， 所以 D(5，－4)．
向量共线的应用 [典例] (本题满分 12 分)在△AOB 中，已知点 O(0,0)，A(0，5)，B(4,3)，O→C＝14O→A，O→D ＝12O→B，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标．
[解析] 设点 C 坐标为(xC，yC)， 因为点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)， 所以O→A＝(0,5)，O→B＝(4,3)． 因为O→C＝(xC，yC)＝14O→A＝0，54， 所以点 C0，54. 同理点 D2，32.①2 分 设点 M 的坐标为(x，y)， 则A→M＝(x，y－5)而A→D＝2，－72，
因为 A，M，D 三点共线，所以A→M与A→D共线．②
所以－72x－2(y－5)＝0，即 7x＋4y＝20.③6 分
而C→M＝x，y－54，C→B＝4－0，3－54＝4，74， 因为 C，M，B 三点共线，所以C→M与C→B共线．②
所以74x－4y－54＝0，即 7x－16y＝－20.③10 分
解77xx＋ －416y＝y＝2)，n＝(3,1)，则向量 2m－n 为( )
A．(－1,5)
B．(－1,7)
C．(－7,5)
D．(－7,7)
解析：2m－n＝2(－2,3)－(3,1)＝(－4,6)－(3,1)＝(－7,5)． 答案：C
2．已知向量 a＝(－1,2)，b＝(λ，1)．若 a＋b 与 a 平行，则 λ＝( )
1．已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A.求点 C，D 和C→D的坐标． 解析：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴A→B＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)， A→C＝13A→B＝(1,2)，D→A＝－13B→A＝13A→B＝(1,2)． 则O→C＝O→A＋A→C＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)， O→D＝O→A＋A→D＝O→A－D→A＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)． ∴C，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此C→D＝(－2，－4)．
2．平面向量线性运算的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
类别
坐标运算
向量的加法坐标表示 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)
向量的减法坐标表示 实数与向量 积坐标表示
a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝ (λx1，λy1)
语言表述 向量和与差的坐标分别等于各向 量相应坐标的 和与差
探究一 平面向量的坐标运算 [典例 1] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a－b,3a－4b 的坐标．
[解析] a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)； a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)； 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
1．向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思 想的运用及正确使用运算法则．
[解析] (1)因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)． 所以A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.
4．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)， M，N 分别为 DC，AB 的中点，求A→M，C→N的坐标，并判断A→M，C→N是 否共线． 解析：已知 A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)， 又因为 M，N 分别为 DC，AB 的中点， 所以，由中点坐标公式可得 M 点的坐标为(2.5，2.5)，N(1.5,0.5)． 所以A→M＝(2.5,2.5)，C→N＝(－2.5，－2.5)， 其坐标满足 2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0.所以，A→M，C→N共线．
解析：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴－－63mm＋＋n8n＝＝5，－5. 解得mn＝＝－－11.， (3)∵C→M＝O→M－O→C＝3c，∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)． 又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)． ∴M→N＝(9，－18)．
课时作业
[自主梳理] 1．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与 x 轴、y 轴方向相 同的两个单位向量 i，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向 量，以坐标原点 O 为起点作O→P＝a，由平面向量基本定理可 知，有且只有一对实数 x，y，使得O→P＝x i＋yj，因此 a＝ x i＋yj . 我们把实数对 (x，y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a＝ (x，y) .