陕西省西安市高新一中等五校2013届高三第一次联考数学文(附答案) (26)

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2013届第一次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=
A ．{|3x x -<<1}
B ．{|02}x x <<
C ．{-3，-2，-1，0,1）
D ．{-2，一1，0）
2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是
A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂α
B ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥α
C ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//β
D ．存在一个平面β，α//β且α//β
3．如果数列321121,
,,,,n n a a a a a a a -…是首项为1，公比为2-的等比数列，则a 5等于 A ．32 B ．64
C ．—32
D ．—64 4．设实数x ，y 满足11,11
x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则点（x,y ）在圆面2212x y +≤内部的概率为
A ．8π
B ．4π
C ． 34π
D ．2π 5．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若
122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是
A ．24y x =
B ．28y x =
C ．22y x =
D ．26y x =
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．226++ B ．2(12)6++
C ．23
D ．32262
++
7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序
框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入
A ．16?;1i p p i ≤=+-
B ．14?;1i p p i ≤=++
C ．15?;1i p p i ≤=++
D ．15?;i p p i ≤=+
8．已知函数()sin(2)f x A x ϕ=+的部分图象如图所示，则f （0）=
A ．12-
B ．—1
C ．32-
D ．—3
9．台风中，C,A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区
为危险区。

城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为
A ．0．5小时
B ．I 小时
C ．1．5小时
D ．2小时
10．以下有四种说法：
①若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 必为一真一假；
②若数列{}n a 的前n 项和为S n =n 2
+n+l ，n ∈N*，则2,n a n n =∈N* ③若实数t 满足()f t t =-，则称t 是函数f （x ）的一个次不动点．设函数f （x ）=Inx
与函数g （x ）=e x （其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则m=0 ④若定义在R 上的函数f （x ）满足(2)(1)f x f x +=--，则6为函数f （x ）的周期 以上四种说法，其中说法正确的是
A ．①③
B ．③④
C ．①②③
D ．①③④
第Ⅱ卷 （共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．设F 1、F 2是双曲线22
11620
x y -=的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 。

12．已知向量(1,2),(4,),,93x y a x b y a b =-=⊥+若则的最小值为 。

13．若函数3()63f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 。

14．对于大或等于2的正整数m 的n 次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律．若m 3（m ∈N*）的分解中最小的数是91，则m 的值为 。

15．（考生注意：请在卡列三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选讲）已知函数2()log (|21||2|)f x x x m =+++-．若关于x 的不等式
()1f x ≥的解集是R ，则m 的取值范围是
B ．（坐标系与参数方程）己知圆
C 的极坐标方程为
2cos 23sin ,ρθθ=+则圆心C 的一个极坐标为 。

C ．（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙
D 中，∠AOB=90°，D 为OB
的中点，AD 的延长线交⊙D 于点E ，则线段DE 的长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知平面上三点A （2，0），B （0，2），C （cos α，sin α）
（I ）若（OA OC +）2=7（O 为坐标原点），求向量OB 与OC 夹角θ的大小； （Ⅱ）若AC BC ⊥，求sin2α的值．
17．（本大题满分12分）
如图，在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点。

（I ）求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1；
（Ⅱ）若求三棱锥B 1一EFC 的体积为l ，求此正方体的棱长．
18．（本小题满分12分）
数列{}n b （n ∈N*）是递增的等比数列，且13135, 4.b b b b +==数列{n a }满足
2log 3.
n n a b =+
（I ）求数列{},{}n n b a 的通项公式： （Ⅱ）若212346,m a a a a a m +++≤求的最大值·
19．（本小题满分12分）
西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况，对在校就餐的1400名学生按5%比例进行问卷调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表所示（服务满意度为x ，价格满意度为y ）。

（I ）作出“价格满意度”的频率分布直方图； （II ）为改进食堂服务质量，现从x<3且y<3的五人中抽取两人征求意见，求至少有一
人的“服务满意度”为1的概率·
20．（本题满分13分）
已知32()2,()ln f x x ax x g x x x =+-+=
（I ）如果函数，（x ）的单调递减区间为1(,1)3
-，求函数f （x ）的解析式；
（II ）（Ⅱ）在（1）的条件下，求函数y=f （x ）的图像过点P （1，1）的切线方程； （III ）对一切的(0,),()22()x f x g x '∈+∞+≥恒成立，求实数a 的取值范围。

21．（本小题满分14分）设椭圆D ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112,BF F F =且AB ⊥AF 2．
（I ）求椭圆D 的离心率：
（II ）若过A 、B 、F 2三点的圆C 恰好与直线l ：330x y --=相切，求圆C 方程及椭
圆D 的方程；
（III ）若过点T （3，0）的直线与椭圆D 相交于两点M 、N ，设P 为椭圆上一点，且满足 OM ON tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 取值范围．。