2015届高考数学一轮课时规范练53《直线与圆锥曲线》(人教版)

课时规范练53直线与圆锥曲线
一、选择题
1.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是()
A.y2=12x
B.y2=8x
C.y2=6x
D.y2=4x
答案:B
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由弦长结合抛物线定义可得|AB|=x1+x2+p=8.
又由AB的中点到y轴的距离可得=2,代入上式可得p=4,故抛物线方程为y2=8x.
2.已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()
A.(0,1)
B.(0,5)
C.[1,5)∪(5,+∞)
D.[1,5)
答案:C
解析:直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆=1内部即可.
从而m≥1.又因为椭圆=1中m≠5,
所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).
3.已知椭圆C的方程为=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()
A.2
B.2
C.8
D.2
答案:B
解析:根据已知条件c=,
则点在椭圆=1(m>0)上,
∴=1,可得m=2.
4.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线P A,PB的斜率乘积k P A·k PB=,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
答案:D
解析:设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),
因为A,P在双曲线上,所以
两式相减,得k P A·k PB=,
所以e2=.
故e=.
5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为()
A.2
B.
C.
D.
答案:C
解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y,得x2+2tx+t2-1=0.
由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦长|AB|=.
6.(2013课标全国Ⅰ高考)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案:D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,
∴
①-②,得
=0,
即=-,
∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.
而=k AB=,∴.
又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为=1.故选D.
二、填空题
7.已知椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为.
答案:+x2=1
解析:∵椭圆=1的右顶点为A(1,0),
∴b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,
即1=2|x|=2b,a=2,
则椭圆方程为+x2=1.
8.已知点F(c,0)是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆F:(x-c)2+y2=c2相切,则双曲线C的离心率为.
答案:
解析:依题意得,圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c,即有b=c,c2=2b2=2(c2-a2),c2=2a2,,即双曲线C的离心率为.
9.若直线y=kx+2与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则实数k=.
答案:0或
解析:联立得k2x2+(4k-4)x+4=0.
当k=0时,此方程有唯一的根,满足题意;
当k≠0时,Δ=(4k-4)2-16k2=-32k+16=0,k=.
故k=0或k=均满足题意.
三、解答题
10.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.
解:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,
又∵∠KAF=∠AFK=60°,∴△AFK是正三角形.
联立方程组消去y,得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=.由题意得A(3,2),
∴△AKF的边长为4,面积为×42=4.
11.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,),(0,-)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,?此时||的值是多少?
解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为a=2的椭圆,它的短半轴长b==1,故曲线C的方程为x2+=1.
(2)由
消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,
Δ=(2k)2-4×(k2+4)×(-3)=16(k2+3)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由,得x1x2+y1y2=0.而y1y2=(kx1+1)·(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
于是x1x2+y1y2=-+1=.
由=0,得k=±,此时.
当k=±时,x1+x2=∓,x1x2=-.
||=,
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=+4×,
所以||=.
12.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则=1.
从而e2+=1.
由e=得b2==8,从而a2==16.
故该椭圆的标准方程为=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).
又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则
|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8
=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,
又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由对称性知P'(x1,- y1),故|PP'|2=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|
=.
当x0=±时,△PP'Q的面积S取到最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|=,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.。