天津市2019届中考数学复习《旋转问题》专项训练含答案

天津市2019年中考数学题型专项训练：旋转问题 1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,2),△A B O 为等边三角形,P 是x
轴上的一个动点(不与O 点重合),将线段A P 绕A 点按逆时针方向旋转60°,P 点的对应点为点Q . (Ⅰ)求点B 的坐标;
(Ⅱ)当点P 在x 轴负半轴运动时,求证:∠A B Q =90°;
(Ⅲ)连接O Q ,在点P 运动的过程中,当O Q 平行A B 时,求点P 的坐标.
第1题图
解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B C ⊥x 轴于点C ,
∵△A O B 为等边三角形,
且O A =2,
∴∠A O
B =60°,O B =O A =2,
∴∠B O C =30°,而∠O C B =90°,
(Ⅱ)∵△A P Q 、△A O B 均为等边三角形,
∴A P =A Q , A O =A B , ∠P A Q =∠O A B ,
∴∠P A O =∠Q A B ,
在△A P O 与△A Q B 中,AP AQ PAO QAB AO AB ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝, ∴△A P O ≌△A Q B ,
∴∠A B Q =∠A O P =90°;
(Ⅲ)当点P 在x 轴正半轴上时,
∵∠O A B
=60°,
∴将A P 绕点A 逆时针旋转60°时,点Q 在点B 上方,
∴O Q 和A B 必相交,
当点
P 在x 轴负半轴上时,点Q 在点B 的下方,
∵A B ∥O Q ,∠B Q O =90°,∠B O Q =∠A B O =60°.
在R t △B O Q 中,O B =2,∠O B Q =90°－∠B O Q =30°,
由(Ⅱ)可知,△A P O ≌△A Q B ,
图① 图②
第1题解图 2.在直角坐标系中,O A =C D ,O B =O D ,C D ⊥x 轴于D ,E 、F 分别是O B 、O D 中点,连接E F 交A C 于点G . (Ⅰ)如图①,若点A 的坐标为(－2,0),S △O C D =5,求点B 的坐标;
(Ⅱ)如图②,当O B =2O A 时,求证:点G 为A C 的中点;
(Ⅲ)如图③,当O B ＞2O A ,△A B O 绕原点O 顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
第2题图
解:(Ⅰ)∵A (－2,0),
∴O A =2,
∵C D ⊥O D ,C D =O A =2,
又∵S △O C D =5,
∴O D =5,
∴O B =O D =5,
∴B (0,5);
(Ⅱ)如解图①,连接E C 、A E 、C F .
∵O B =2O A ,C D =O A ,O D =O B ,
∵E B =E O ,O F =D F ,
∴O E ∥C D ,O E =C D ,
∴四边形O E C D 是平行四边形,
∴E C =O D ,
∵A F =O D =E C ,
∴E C =A F ,E C ∥A F ,
∴四边形A E C F 是平行四边形,
∴A G =C G ,即点G 为A C 的中点;
(Ⅲ)成立.
理由:如解图②,连接A E 、C F ,在F E 上取一点H ,使得C H =C F .
∵O B =O D ,O E =E B ,O F =D F ,
∴O E =D F ,∵∠A O E =∠F D C ,O A =C D ,
∴△A O E ≌△C D F ,
∴A E =C F =C H ,∠A E O =∠C F D ,
∵O E =O F ,
∴∠O E F =∠O F E ,
∵∠A
E
G =∠A E O ＋∠O E F ,∠C H G =180°－∠C H F =180°－∠C F H =180°－(180°－∠O F E －∠C F D )=∠O F E ＋∠C F D ,
∴∠A E G =∠C H G ,
∵∠A G E =∠C G H ,
∴△A E G ≌△C H G ,
∴A G =C G ,即点G 为A C 的中点.
图① 图②
第2题解图
3.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(－8,0),直线B C 经过点B (－8,6),C (0,6),将四边形O A B C 绕点O 按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A ′B ′C ′,此时边O A ′与边B C 交于点P ,边B ′C ′与B C 的延长线交于点Q ,连接A P .
(Ⅰ)求证:四边形O A B C 是矩形;
(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O =∠P O A ,求P 点坐标.
(Ⅲ)在旋转过程中,当P 为线段B Q 中点时,连接O Q ,求△O P Q 的面积.
第3题图
(Ⅰ)证明:∵点A 的坐标为(－8,0),点B (－8,6),C (0,6),
∴∠C O A =∠O A B =∠B =90°,
∴四边形O A B C 是矩形.
(Ⅱ)解:如解图①,过点P 作P E ⊥A O 于点E ,
∵∠P A O =∠P O A ,
∴P A =P O ,
∵P E ⊥A O ,
∴A E =E O =4,
∴P (－4,6);
(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,
CO CO OQ OQ
⎧⎨⎩＝＝, ∴R t △O C Q ≌R t △O C 'Q ,∴∠O Q C =∠O Q C ',
又∵O P ∥C 'Q ,
∵∠P O Q =∠O Q C ',
∴∠P O Q =∠P Q O ,∴P O =P Q ,
∵B P =Q P ,∴B P =O P =x ,
图① 图②
第3题解图
绕着点A顺时针旋转60°得到△A B′P′,连接P P′.
(Ⅰ)求点B′的坐标;
(Ⅱ)当△O P A与△A P B满足什么条件时,P O＋P A＋P B的值最小,并求出此最小值;
(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.
∴A B=2,∠B A O=30°,
∵将△A B P绕着点A顺时针旋转60°得到△A B′P′,
∴A B′=2,∠B′A O=90°,
(Ⅱ)由旋转可得,△A P P′是等边三角形,
∴P P′=P A,
又∵P′B′=P B,∴P O＋P A＋P B=P O＋P P′＋P′B′,
∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,P O＋P A＋P B的值最小,
∴当∠O P A=∠A P B=∠A P′B′=120°时,P O＋P A＋P B的值最小,
(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B绕着点O逆时针旋转60°得到△O B″P″,则∠B O B″=60°,O B″=O B=1
由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四点共线,
∴点P为O B′与A B″的交点,
图① 图②
第4题解图
5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠C O D=∠A B O=90°,∠O C D=45°,∠A O B=60°,且A O=C D=8.现将R t△A O B绕点O逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D分别与直线A B,O A交于点F,G.
(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B的坐标;
(Ⅱ)在旋转过程中,当G F=A F,求β的值;
(Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D=60°时,求直线A B的解析式.
第5题图
解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B H⊥x轴于点H,
在R t△A O B中,∠A O B=60°,O A=8,
当β=45°时,即∠B O C=45°,
∴O H=B H,
∴O H2＋B H2=42
(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在F A=F G(如解图④),
∴∠A=∠F G A=30°,
∴∠C O G=45°－30°=15°=∠A O M,
∴β=∠B O C=180°－15°－60°=105°,
∴当F G=A F时，β=105°;
(Ⅲ)①当点B 在第一象限时(如解图②),过点B 作B M ⊥O C 于点M ,∵∠B O D =60°,
∴∠B O C =30°,
②当点B 在第二象限时,(如解图③),
过点B 作 B E ⊥x 轴于点E ,过点A 作A H ⊥B E 于H ,
∵∠B O D =60°,
∴∠B O E =30°,
∴∠E
B O =60°,
∴∠A B H =30°
,
又∵O B =4,
∵∠B E O =∠A H
B =90°,∠A B H =∠B O E ,
∴△O B E ∽△B A
H ,
设直线A B 的解析式为y =k x ＋b ,
图① 图②
图③ 图④
第5题解图 6.如图.在平面直角坐标系中,点A
(3,0),B (0,－4),C 是x 轴上一动点,过C 作C D ∥A B 交y 轴于点D .
(Ⅱ)若以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的面积等于54,求点C
的坐标;
(Ⅲ)将△A O B 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到△A O ′B ′,设D 的坐标为(0,n ),当点D 落在△A O ′B ′内部(包括边界)时,求n 的取值范围.(直接写出答案即可)
第6题图
解:(Ⅰ)∵点A 的坐标是(3,0),B 的坐标是(0,
－4),
∴O A =3,O B =4.
∵C D ∥A B ,
∴△A O B ∽△C O D ,
(Ⅱ)设O C =3x ,则O D =4x ,
则A C =
3＋3x ,B D =4＋4x ,
当点C 在x 轴负半轴上时:
∵四边形A B C D 的面积是54,
解得:x =2或－4(舍去).
则点C 的坐标是(－6,0);
当点C 在x 轴的正半轴上时,
(Ⅲ)O ′的坐标是(3,3),
则O ′B ′与y 轴的交点坐标是(0,3);
则B ′的坐标是(－1,3).
设A B ′的解析式是y =k
x ＋b ,
根据题意得:303
k b k b ⎨⎩+-+⎧＝
＝,
第6题解图 7.如图,O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,O A =9,O C =15,将矩形纸片O A B C 绕O 点顺时针旋转90°得到矩形O A 1B 1C 1.将矩形O A 1B 1C 1折叠,使得点B 1落在x 轴上,并与x 轴上的点B 2重合,折痕为A 1D .
(Ⅰ)求点B 2的坐标;
(Ⅱ)求折痕A 1D 所在直线的解析式;
(Ⅲ)在x 轴上是否存在点P ,使得∠B P B 1为直角？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
第7题图
解:(Ⅰ)由条件知,B 2A 1=B 1A 1=B A =15,A 1O =B 1C 1=B C =9,
∴点B 2坐标为(12,0);
(Ⅱ)B 2C
1=15－12=3,D C 1=m ,则B 1D =9－m ,
∵B 1D =B 2D ,
解得m =4,
∴D 点的坐标为(15,4)
,
又∵A 1(0,9),
设折痕A 1D 所在直线的解析式为
y =k x ＋b (k ≠0),
∴9415b k b +⎧⎨⎩＝＝
, (Ⅲ)假设存在P 点,
∵∠B P A ＋∠B P B 1＋∠
B 1P
C 1=180°,∠B P B 1=90°,
∴∠B P A ＋∠B 1P C 1=90°,
∵∠B A P
=90°,∠A B P ＋∠B P A =90°,
∴∠A B P =∠B 1P C 1.
在△B A P 和△P C 1B 1中,111190ABP B PC BAP PC B ∠∠∠⎨⎩∠⎧︒
＝＝＝,
∴△B A P ∽△P C 1B 1.
∵A B =15,C 1B 1=9,A C 1=24,设P C 1的长为m ,
解得m 1=15或m 2=9.
经检验m 1=15或m 2=9是方程的两根,
当P C 1=15时,P 点坐标为(0,0);
当P C 1=9时,P 点坐标为(6,
0). 综上所述,P 点坐标为(0,0),(6,0).
第7题解图 8.如图,在平面直角坐标系中,已知△A O B 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的
一个动点,连接A P ,并把△A O P 绕着点A 按逆时针方向旋转
,使边A O 与A B 重合,得到△A B D .
(Ⅰ)求点B 的坐标及直线AB 的解析式;
(Ⅱ)当点P 运动到点(t ,0)时,试用含t 的式子表示点D 的坐标;
结果即可)
第8题图
解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B E ⊥y 轴于点
E ,作B
F ⊥x 轴于点F .
设直线A B 的解析式是y =k x ＋b (k ≠0),
(Ⅱ)∵△A B D 由△A O P 旋转得到,
∴△A B D ≌△A O P .∴A P =A D ,∠D A B =∠P A O .
∴∠D A P =∠B A O =60°,∴△A D
P 是等边三角形.
如解图②,过点D 作D H ⊥x 轴于点H ,延长E B 交D H 于点G ,则B G ⊥D H .
在R t △B D G 中,∠B G D =90°,∠D B G =60°,
(Ⅲ)存在.
讨论:
②∵当D在x轴上时,如解图③,
图① 图② 图③
第8题解图
9.在平面直角坐标系中,点A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点D,点E分别是A C,B C的中点,将△C D E绕点C逆时针旋转得到△C D′E′,旋转角为α,连接A D′,B E′.
(Ⅰ)如图①,若0°＜α＜90°,当A D′∥C E′时,求α的大小;
(Ⅱ)如图②,若90°＜α＜180°,当点D′落在线段B E′上时,求s i n∠C B E′的值; (Ⅲ)若直线A D′与直线B E′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.
第9题图
解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,
∵△C D′E′是△C D E旋转得到的,
∴∠D′C E′=90°,
∵A D′∥C E′,∴∠A D′C=∠D′C E′=90°,
在
∴α=60°;
(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,
∵C D′=C E
′,∠E′C D′=90°,
∴在Rt
(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,C D′为半径作⊙C,当B E′与⊙C相切时A P最长,则四边形C
D′P E′是正方形,作P H⊥A
B于H.
∵在Rt
如解图④中,当B E′与⊙C相切时A P最短
,则四边形C D′P E′是正方形,作
P H⊥A B于H.
图① 图②
图③ 图④
第9题解图 10.如图,在平面直角坐标系中,正方形A B C D 的顶点A
、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M 为A B 上一点,A M :B M =2:1,∠E M F 在A B 的下方以M 为中心旋转且∠E M F =45°,M E 交y 轴于点P ,M F 交x 轴
于点Q .
(Ⅰ)求点M 的坐标;
(Ⅱ)设A Q 的长为y ,
B P 的长为x .求y 与x 的函
数关系式;
(Ⅲ)当P 为O B 的中点时,求四边形O Q M P 的面积.
第10题图
解:(Ⅰ)∵正方形A B C
D 的顶点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3
,0)、(0,3)、
(－3,0)、(0,－3), ∴O A =O B =O C =O D =3,在R t △A O B 中由勾股定理,得
∵A M :B M =2:1,
作M G ⊥A C 于点G ,
∴M G ∥B D ,
∴△A M G ∽△A B O ,
∴M G =2,
∴A G =2,
∴O G =1,
∴M (1,2);
(Ⅱ)∵四边形A B C D 是正方形,且A C 、B D 是对角线,
∴∠1=∠5=45°,
∴∠3＋∠4=135°,
∵∠E M F =45°,
∴∠2＋∠4=135°,
∴∠2=∠3,有∠1=∠5,
(Ⅲ)∵P为O B的中点,
图① 图② 图③
第10题解图
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A.
10000x ﹣90005
x -=100 B.90005x -﹣10000x =100 C.100005x -﹣9000x =100 D.9000x ﹣100005x -=100 2．下列事件中，是随机事件的是( )
A ．任意抛一枚图钉，钉尖着地
B ．任意画一个三角形，其内角和是180o
C ．通常加热到100℃时，水沸腾
D ．太阳从东方升起 3．将抛物线y ＝﹣3x 2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A ．y ＝﹣3（x ﹣2）2+4
B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣2
C ．y ＝﹣3（x+2）2+4
D ．y ＝﹣3（x+2）2﹣2 4．下列计算正确（ ）
A ．222a b a b +=+（）
B ．235a a a ⋅=
C ．822a a a ÷=
D ．325a a a +=
5．已知1,3a b ==，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =
B ．3a b =-
C ．3b a =
D ．3b a =-.
6．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．34
7．下列关于统计与概率的知识说法正确的是（ ）
A ．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件
B ．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查
C ．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查
D ．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
8．有一张矩形ABCD 的纸片（AB ＜BC ），按如图所示的方式，在A ，C 两端截去两个矩形AEFG 和CE′F′G′，且AE ＝CE′，AG ＝CG′，再分别过EF ，FG ，E′F′，F′G′四边的中点，沿平行于原矩形各边的方向剪
裁，得到如图的阴影部分，分别记为L 1，L 2．若L 1的周长是矩形ABCD 的34
，L 2的周长是矩形ABCD 的35，则AE AG
的值为（ ）
A ．54
B ．85
C ．32
D ．209
9．如图，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将它折叠，使点D 与点B 重合，求折叠后DE 的长和EF 的长分别是（ ）
A ．5cm ，3cm
B ．5cm cm
C ．6cm cm
D ．5cm ，4cm
10．下列命题正确的是（ ）
A ．矩形对角线互相垂直
B ．方程214x x =的解为14x =
C ．六边形内角和为540°
D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
11．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )
A.线段BE
B.线段EF
C.线段CE
D.线段DE
12．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝8米，cos ∠PCA ＝45
，则PA 等于（ ）
A ．5米
B ．6米
C ．7.5米
D ．8米
二、填空题 13．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为2和1，若用阴影部分围成
一个圆锥，则该圆锥的底面半径为_____．
14．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．
15．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为________.
16．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P 是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
17．如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=6，点E，F分别是AB，BC边上沿某一方向运动的点，且DE=DF，当点E从A运动到B时，线段EF的中点O运动的路程为_____.
18．计算：⋅=_____．
三、解答题
19．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．
20．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．
（1）求证：△DAE ≌△CFE ；
（2）若AB ＝BC+AD ，求证：BE ⊥AF ；
（3）在（2）的条件下，若∠D ＝90°，AD AF ＝10，则点E 到AB 的距离是 ．（直接写出结果即可，不用写出演推过程）
21．甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往N 地，甲先出发一段时间后乙再出发．甲，乙两人到达N 地后均停止骑行，已知M ，N 两地相距1753
km ，设甲行驶的时间为x （h ），甲、乙两人之同的距离为y （km ），表示y 与x 函数关系的图象如图所示．请你解决以下问题：
（1）求线段BC 所在直线的函数表达式；
（2）分别求甲，乙的速度；
（3）填空：点A 的坐标是 ．
22．如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，红球，黄球，绿球，…，嘉琪依次在小球上标上数字1，2，3，4，5，6，…
尝试：左数第三个黄球上标的数字是 ；
应用：若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是什么？它左边共有多少个与它颜色相同的小球？ 发现：试用含n 的代数式表示左边第n 个黄球所标的数字．
23．计算：（﹣12
）21）0+|1﹣2| 24．如图，已知矩形ABCD 是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB ：AD ＝2：1．拴住小狗的绳子一端固定在点A 处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域．（小狗的大小不计）
（1）若拴小狗的绳子长度与AD 边长相等，请在图1中画出小狗在屋外可以活动的最大区域；
（2）若拴小狗的绳子长度与AB 边长相等，请在图2中画出小狗在屋外可以活动的最大区域．
25．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五，羊二，直金十二两.牛二，羊五，直金九两，牛羊各直金几何？”意思是：5头牛，2只羊共价值12两“金”.2头牛，5只羊共价值9两“金”.求每头牛，每只羊各价值多少两“金”？
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．43
14．90 15．62×104
1617．3或
18．-1
三、解答题
19．(1)见解析;(2)①120°；②45°
【解析】
【分析】
（1）由AAS 证明△CPM ≌△AOM ，得出PC=OA ，得出PC=OB ，即可得出结论；
（2）①证出OA=OP=PA ，得出△AOP 是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．
【详解】
（1）∵PC ∥AB ，
∴∠PCM ＝∠OAM ，∠CPM ＝∠AOM ．
∵点M 是OP 的中点，
∴OM ＝PM ，在△CPM 和△AOM 中，
PCM OAM CPM AOM PM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△CPM≌△AOM（AAS），
∴PC＝OA．
∵AB是半圆O的直径，
∴OA＝OB，
∴PC＝OB．
又PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形．
（2）①∵四边形AOCP是菱形，
∴OA＝PA，
∵OA＝OP，
∴OA＝OP＝PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝120°；
故答案为：120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP＝90°，
∵OP＝OB，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴∠ABP＝∠OPB＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3
【解析】
【分析】
（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点，可证明△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE=∠FBE，由勾股定理求DE的长，根据角平分线的性质即可得到结果．
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF，
∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝EC ，
∵在△ADE 与△FCE 中，
ADC ECF DE EC
AED CEF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）； （2）由（1）知△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ，AD ＝CF ， ∵AB ＝BC+AD ，
∴AB ＝BC+CF ，即AB ＝BF ， 在△ABE 与△FBE 中，
AB BF AE EF BE BE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△FBE （SSS ）， ∴∠AEB ＝∠FEB ＝90°， ∴BE ⊥AE ；
（3）在（2）的条件下有△ABE ≌△FBE ， ∴∠ABE ＝∠FBE ，
∴E 到BF 的距离等于E 到AB 的距离， 由（1）知△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝
1
2
AF ＝5， ∵∠D ＝90°， ∴DE
==
∴CE ＝DE
， ∵CE ⊥BF ，
∴点E 到AB
． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识．证明三角形全等是解题的关键． 21．（1）y ＝20x ﹣503；（2）甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ；（3）（1
3
，10）． 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC 所在直线的函数表达式； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度；
（3）由（2）的结论可以求得点A 的坐标并写出点A 表示的实际意义 【详解】
解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝kx+b （k≠0）， ∵5,06B ⎛⎫
⎪⎝⎭，340,23C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线BC 上， 5
063402
3k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得k 2050b 3=⎧⎪
⎨=-⎪⎩，
即线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝20x ﹣
50
3
； （2）设甲的速度为m km/h ，乙的速度为n km/h ，
515
63631340
m 2323n m n ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭
⎩，得3050m n =⎧⎨
=⎩， 故甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ， （3）点A 的纵坐标是：1
30103
⨯=， 即点A 的坐标为（1
3
，10）． 故答案为：（1
3
，10） 【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 22．尝试：8; 应用：这个小球的颜色是黄色，它左边共有33个与它颜色相同的小球；发现：左边第n 个黄球所标的数字是3n ﹣1． 【解析】 【分析】
尝试：根据题意可以得到左数第三个黄球上标的数字；
应用：根据题意，可知，每三个球一个循环，从而可以解答本题；
发现：根据题意，可以用含n 的代数式表示出左边第n 个黄球所标的数字． 【详解】 尝试：
由题意可得，左边第一个黄球的数字是2，则第三个黄球上标的数字是2+3+3＝8， 故答案为：8；
应用：∵101÷3＝33…2，
∴若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是黄色，它左边共有33个与它颜色相同的小球； 发现：由题意可得， 左边第一个黄球的数字是2，
左边第一个黄球的数字是2+3＝5， 左边第一个黄球的数字是2+3×2＝8， …
则左边第n 个黄球的数字是2+3(n ﹣1)＝3n ﹣1， 即左边第n 个黄球所标的数字是3n ﹣1． 【点睛】
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小球的变化规律．
23．14
【解析】 【分析】
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】
解：原式＝1
114
++
＝14
. 【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 24．（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】
（1）以A 为圆心，AD 为半径画弧即可解决问题．
（2）分别以A ，D 为圆心，AB ，AD 为半径画弧即可解决问题． 【详解】
解：（1）图1中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示；
（2）图2中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．每头牛价值2两“金”，每只羊价值1两“金”.
【解析】
【分析】
设每头牛价值x两“金”，每只羊价值y两“金”.由题意，得
5212,
259,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解方程组可得.
【详解】
设每头牛价值x两“金”，每只羊价值y两“金”.
由题意，得
5212,
259,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
2,
1.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：每头牛价值2两“金”，每只羊价值1两“金”.
【点睛】
考核知识点：二元一次方程组的应用.理解题意，列出方程是关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.
24
π
--
B.
24
π
- C.
14
2
π
+
D.
14
2
π
-
2．如图，已知点A （-6，0），B （2，0），点C 在直线y x =+ABC 是直角三角形的点C 的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ）
A.2
B.4
C.2
D.4
4．如图圆O 直径AB 上一点P ，AB ＝2，∠BAC ＝20°，D 是弧BC 中点，则PD+PC 的最小值为（ ）
A B ．1
C D
5．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和
的图象交于点和
点，点是轴上一点，连接
、
，则
的面积为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
6．关于x ，y 的方程组3245
1
x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足237x y +>，则m 的取值范围是（ ）
A ．14
m <-
B ．0m <
C ．13
m >
D ．7m >
7．某班学生到距学校12km 的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先出发，经过
1
2
h 后，其余同学乘汽车出发，由于____________，设自行车的速度为/xkm h ，则可得方程为12121
32
x x -=，根据此情境和所列方程，上题中______________中的内容应该是（ ） A ．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B ．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到12
h C ．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到1h
A
D ．汽车每小时比自行车多行驶3km ，结果同时到达.
8．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE-ED-DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2
．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（ ）
A.AD=BE=5cm
B.cos ∠ABE=
3
5
C.当0＜t≤5时，y ＝
25t 2 D.当t ＝294
秒时，△ABE ∽△QBP
9．如图是直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
10．如图，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE 交CD 于点F ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A ．
CF CE
CD BC
= B ．
CE EF
AD AF
= C ．
EF CE
CF AD
= D ．
AF CF
BC DF
= 11．1纳米=10－9
米，将50纳米用科学记数法表示为（ ） A ．50×10－9
米
B ．5×10－9
米
C ．0.5×10－9
米
D ．5×10－8
米
12．《流浪地球》作为第一部中国自己的科幻大片，票房已破46亿元（4600000000元），4600000000用科学记数法表示为（ ） A ．84610⨯ B ．84.610⨯
C ．90.4610⨯
D ．94.610⨯
二、填空题
13．已知一个等腰三角形的一个外角是110°，那么它的一个底角等于_____．
14．已知一元二次方程x 2
﹣4x ﹣3＝0的两根分别为m ，n ，则
11
m n
+的值为_____． 15．已知等腰三角形两边的长分别是4cm 和6cm ，则它的周长是________cm .
16．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，ABC ∠的平分线交线段DE 于点F ，若
12AB =，18BC =，则线段EF 的长为_______.
17．甲、乙两运动员在长为100m 的直道AB （A ，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点，若甲跑步的速度为5m/s ，乙跑步的速度为4m/s ，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为_____．
18．如图，E ，F 分别是矩形ABCD 边AD 、BC 上的点，且△ABG ，△DCH 的面积分别为12和18，则图中阴影部分的面积为___．
三、解答题
19．如图，AC 为∠BAM 平分线，AB ＝10，以AB 的长为直径作⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥AM 于点E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线． （2）若DE ＝4，求AD 的长．
20．先化简，再求值：222
42
442x x x x x x
--⋅-++，其中1x =. 21．如图（1）是一款手机支架，忽略支管的粗细，得到它的简化结构图如图（2）所示．已知支架底部支
架CD 平行于水平面，EF ⊥OE ，GF ⊥EF ，支架可绕点O 旋转，OE ＝20cm ，EF ＝cm ．如图（3）若将支架上部绕O 点逆时针旋转，当点G 落在直线CD 上时，测量得∠EOG ＝65°． （1）求FG 的长度（结果精确到0.1）；
（2）将支架由图（3）转到图（4）的位置，若此时F 、O 两点所在的直线恰好于CD 垂直，点F 的运动路线的长度称为点F 的路径长，求点F 的路径长．
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，1.73）
22．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ：∠DAB ＝1：2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC ＝1，tan ∠B ＝
1
2
，求∠CAD 的正弦值．
23．化简：2416222a a a a -⎛
⎫-+÷
⎪--⎝⎭
． 24．某电器城经销A 型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元． （1）问去年四月份每台A 型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B 型号彩电．已知A 型号彩电每台进货价为1800元，B 型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，
问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
25．如图，为了测量山坡上旗杆CD的高度，小明在点A处利用测角仪测得旗杆顶端D的仰角为37°，然后他沿着正对旗杆CD的方向前进17m到达B点处，此时测得旗杆顶部D和底端C的仰角分别为58°和30°，求旗杆CD的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
≈1.73）
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．70°或55°
14．-4 3
15．14或16
16．3
17．5
18．
三、解答题
19．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，即可证得DE＝DF＝4，在RT△ADF中利用射影定理求得AF，然后利用勾股定理求出AD．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
∵AC 为∠BAM 平分线，
∴∠BAC ＝∠MAC ，
∵OA ＝OD ，
∴∠BAC ＝∠ADO ，
∴∠MAC ＝∠ADO
∴AE ∥OD ，
∵DE ⊥AM ，
∴OD ⊥DE ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）连接BD ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，
∵AC 为∠BAM 平分线，DE ⊥AM ，
∴DF ＝DE ＝4，
∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴DF 2＝AF•BF，即42＝AF （10﹣AF ），
∴AF ＝8或AF ＝2（舍去）
∴AD ==
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、射影定理以及勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
20．1x +1. 【解析】
【分析】
根据分式的运算法则先化简，再代入求值.
【详解】 解：22242442x x x x x x
--⋅-++ 2(2)(2)2(2)(2)x x x x x x +--=
⋅-+ 1,x
=
当x 11
=． 【点睛】 考核知识点：二次根式的化简求值.掌握分式和二次根式运算法则是关键.
21．（1）FG 的长度约为3.8cm ；（2）
1709cm π 【解析】
【分析】
（1）作GM ⊥OE 可得矩形EFGM ，设FG ＝xcm ，可知EF ＝GM ＝cm ，OM ＝（20﹣x ）cm ，根据tan ∠EOG ＝GM OM
列方程可求得x 的值； （2）RT △EFO 中求出OF 的长及∠EOF 的度数，由∠EOG 度数可得旋转角∠FOF′度数，根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）如图，作GM ⊥OE 于点M ，
∵FE ⊥OE ，GF ⊥EF ，
∴四边形EFGM 为矩形，
设FG ＝xcm ，
∴EF ＝GM ＝cm ，FG ＝EM ＝xcm ，
∵OE ＝20cm ，
∴OM ＝（20﹣x ）cm ，
在RT △OGM 中，
∵∠EOG ＝65°，
∴tan ∠EOG ＝GM OM ，即20x
-＝tan65°， 解得：x≈3.8cm；
故FG 的长度约为3.8cm ．
（2）连接OF ，
在Rt △EFO 中，∵EF ＝，EO ＝20，
∴FO ＝40，tan ∠EOF ＝
EF BO ==， ∴∠EOF ＝60°，
∴∠FOG ＝∠EOG ﹣∠EOF ＝5°，
又∵∠GOF′＝90°，
∴∠FOF′＝85°，
∴点F在旋转过程中所形成的弧的长度为：8540170 1809
ππ
⋅⋅
=cm．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
22．（1）∠CAD＝18°；（2）∠CAD的正弦值为3
5
.
【解析】
【分析】
（1）由DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E，可得∠DAB＝∠DBA，则∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠DAB＝90°，而∠CAD：∠DAB＝1：2，则可求∠CAD的度数．
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝
1
2
AC
BC
=，可求得BC，从而利用勾股定理可求得AB的值，进而可
求得AE、DE的值，即可求得AD，而cos∠CAD＝AC
AD
，sin∠CAD CAD的正
弦值．
【详解】
（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2
∴∠DAB＝2∠CAD
在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴∠DAB＝∠DBA
∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝
1
2 AC
BC
=，
∴BC＝2
由勾股定理得，AB=∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴BE＝AE
∵∠DAE＝∠DBE
∴在Rt△ADE中
tan∠B＝tan∠DAE＝
1
2 DE
AE
=
∴DE
＝
4
∴由勾股定理得
5
4
AD===∴cos∠CAD＝
14
55
4
AC
AD
==
∴sin∠CAD
3
5
==
则∠CAD的正弦值为
3
5
.
【点睛】
本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．
23．
4
a
a+
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】
原式＝
()
()()
()
()()
2
244
22
2442444
a a a
a a a
a a a a a a a
---
--
⋅=⋅=
-+--+-+
．
【点睛】
此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
24．（1）去年四月份每台A型号彩电售价是2500元；（2）有4种进货方案，方案一：购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台，方案二：购进A种型号的彩电8台，B种型号彩电12台，方案三：购进A 种型号的彩电9台，B种型号彩电11台，方案四：购进A种型号的彩电10台，B种型号彩电10台；（3）在这批彩电全部卖出的前提下，购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台才能使电器城获利最大，最大利润是5300元．
【解析】
【分析】
（1）首先设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，再根据去年今年卖出的数量相同列出方程，即可得解；
（2）首先设电器城购进A种型号的彩电a台，再根据题意列出一元一次不等式组，解得即可；
（3）首先设获得利润为w元，再根据题意列出一次函数，即可判定当a＝7时，w取得最大值，此时w＝5300，即可得解.
【详解】
解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，
5000040000
500
x x
=
-
，
解得，x＝2500，
经检验，x ＝2500是原分式方程的解，
答：去年四月份每台A 型号彩电售价是2500元；
（2）设电器城购进A 种型号的彩电a 台，
()()180015002033000180015002032000a a a a ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩
， 解得，203
≤a≤10， ∵a 为整数，
∴a ＝7，8，9，10，
即共有4种进货方案，
方案一：购进A 种型号的彩电7台，B 种型号彩电13台，
方案二：购进A 种型号的彩电8台，B 种型号彩电12台，
方案三：购进A 种型号的彩电9台，B 种型号彩电11台，
方案四：购进A 种型号的彩电10台，B 种型号彩电10台；
（3）设获得利润为w 元，
w ＝（2500﹣500﹣1800）a+（1800﹣1500）（20﹣a ）＝﹣100a+6000，
∵a ＝7，8，9，10，
∴当a ＝7时，w 取得最大值，此时w ＝5300，
答：在这批彩电全部卖出的前提下，购进A 种型号的彩电7台，B 种型号彩电13台才能使电器城获利最大，最大利润是5300元．
【点睛】
此题主要考查利用一元一次方程解决实际问题,还有一次函数实际应用中的最大利润问题,关键是理解题意,找出关系式,即可解题.
25．旗杆CD 的高度15.4m ．
【解析】
【分析】
延长CD 与AB 延长线交于点M ，设DM ＝x ，即可得到AM ＝
43 x ，BM ＝58 x ，AM －BM ＝17，得到DM=24,然后得到BM 的值，即可解答
【详解】
解：延长CD 与AB 延长线交于点M ，
设DM ＝x ，
在Rt △ADM 中，∠A ＝37°，
∴tan37°＝
x AM ， ∴AM ＝43
x ； 在Rt △BDM 中，∠DBM ＝58°， ∴tan58°＝
x BM ，。