高中数学人教A版必修4课时达标检测(七)三角函数的诱导公式(二) Word版含解析
高中数学 课时跟踪检测(七)诱导公式(二)新人教A版必修4
课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 4．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin BD ．sinB ＋C2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错．∵B ＋C ＝π－A ，∴sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin π＋α.解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若si n(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23mB ．－32mC ．23m D ．32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C.4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B ．223C ．－23D ．23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos260°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin45°＋θcos 45°＋θ·sin45°－θcos45°－θ＝sin 45°＋θcos45°＋θ·sin[90°－45°＋θ]cos[90°－45°＋θ]＝sin 45°＋θcos 45°＋θcos 45°＋θsin 45°＋θ＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝265.8．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π，故cos β＝±32.。
高中数学三角函数的诱导公式(2)练习新课标人教A版必修4
1.3三角函数的诱导公式（第二课时）一、 提出问题：1. 诱导公式一 四分别反映了2()k k z πα+∈、πα+、α-、πα-与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是函数名_______ ，符号看_________.2. sin （90°－60°）与sin60°的值相等吗？相反吗？sin （90°－60°)与cos60°，cos （90°－60°）与sin60°的值分别有什么关系？据此，猜想: ______________________________二、解决问题：1. 若角α是任意角，则2πα-的终边与角α的终边关于_______对称。
2. 若角α的终边与单位圆的交点为P(x, y) , 则2πα-的终边与单位圆的交点为_________. 3. 根据三角函数定义，sin α=_____, cos α=_____, tan α=______ sin()2πα-=_____ = ______, cos()2πα-= _____ = _____ t a n ()2πα-=_____ = ______. 三、 归纳总结：1. 诱导公式五：sin()2πα-=_____ ， c o s ()2πα-= _____ tan()2πα-= _____ 2. 同法可得诱导公式六：sin()2πα+=_____ ， c o s ()2πα+= _____tan()2πα+= _____ 3. 用一句话概括这两组诱导公式：__________________________四、 趁热打铁： 1. 3sin()2πα-=_____ ， 3c o s ()2πα-= _____ 3sin()2πα+=_____ ， 3c o s ()2πα+= _____ 2. 已知2cos()63πα-=，求下列各式的值： ① sin()3πα+ ② 2sin()3πα- 3. 已知1sin(30)3α︒-= ，求1cos(60)tan(30)1sin(60)ααα︒++︒-+︒+的值. 4. 已知4sin()5πα+=(α是第四象限角)，求3cos()tan()sin()2ππααα++-++的值. 五、 能力提升：1. 化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2απαπαπαπαπαπαπαπ+++ 2. 已知1cos(75)3α︒+= ，且18090α-︒<<-︒，求cos(15)α︒-的值.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪训练7三角函数的诱导公式(第二课时)新人教A版必修4
课时跟踪训练(七)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 利用诱导公式化简求值1．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )[解析] f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ，A 错；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝－sin x ，B 错；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，C 对； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ，而－f (x )＝－sin x ，D 错．[答案] C2．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.[答案] C3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________. [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－13.[答案] －13题组二 利用诱导公式证明三角恒等式4．求证：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin 2α.[证明] 左边＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·[－sin(2π－α)]cos α＝sin αcos α[－(－sin α)]cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α ＝右边，故原式成立．5．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－tan α.[证明] 左边＝tan (－α)sin (－α)cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)(－sin α)cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． 即原等式成立．6．求证：sin (2π－θ)cos (π＋θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos (π－θ)sin (3π－θ)sin (－π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.[证明] 左边＝sin (－θ)·(－cos θ)·(－sin θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin (π－θ)·[－sin (π＋θ)]·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ·(cos θ)·(sin θ)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ＝右边即原等式成立．题组三 诱导公式的综合运用7．若f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] ∵f (α)＝sin α·cos α·cos α－cos αsin α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos π3＝－12. [答案] B8．化简sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)的结果为________．[解析]sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)＝sin (360°＋40°)[－sin (180°＋50°)]cos (720°＋90°＋40°)(－tan50°)＝sin40°sin50°sin40°tan50°＝sin50°sin50°cos50°＝cos50°.[答案] cos50°9．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________.[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝2sin θ又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin θ<0∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－45∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2sin θ＝－425. [答案] －425综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－53 B ．－23 C ．－13 D ．±23[解析] ∵cos(2π－α)＝cos α＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0 且sin α＝－1－cos 2α＝－23∴sin(π－α)＝sin α＝－23.[答案] B2．n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)的结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan αD ．tan nα[解析] 当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α 当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝sin[(2k ＋1)π＋α]cos[(2k ＋1)π＋α]＝sin[2k π＋(π＋α)]cos[2k π＋(π＋α)]＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α综上可得，原式＝tan α. [答案] C3．如果f (sin x )＝cos2x ，那么f (cos x )的值为( ) A ．－sin2x B ．sin2x C ．－cos2xD ．cos2x[解析] f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos(π－2x )＝－cos2x . [答案] C 二、填空题4．化简：sin (θ－5π)cos (3π－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin (θ－3π)·cos (8π－θ)sin (－θ－4π)＋sin(－θ)＝________.[解析] 原式＝sin (θ－π)cos (π－θ)·sin θsin (θ－π)·cos θ－sin θ＋sin(－θ) ＝sin θ－cos θ·cos θ－sin θ＋(－sin θ)＝1－sin θ [答案] 1－sin θ5．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝________.[解析] 原式＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝1 [答案] 1 三、解答题6．求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝2sin 2θ. [证明] 左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边． ∴原式成立．7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．[解] 原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.。
高一数学人教A版必修四教案：三角函数的诱导公式(二) Word版含答案
三角函數的誘導公式（二）一、教材分析（一）教材的地位與作用：1、本節課教學內容“誘導公式（二）、（三）、（四）”是人教版數學4，第一章1、3節內容，是學生已學習過的三角函數定義、同角三角函數基本關係式及誘導公式（一）等知識的延續和拓展，又是推導誘導公式（五）的理論依據。
2、求三角函數值是三角函數中的重要問題之一。
誘導公式是求三角函數值的基本方法。
誘導公式的重要作用是把求任意角的三角函數值問題轉化為求0°～90°角的三角函數值問題。
誘導公式的推導過程，體現了數學的數形結合和歸納轉化思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式。
這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大的意義。
（二）教學重點與難點：1、教學重點：誘導公式的推導及應用。
2、教學難點：相關角邊的幾何對稱關係及誘導公式結構特徵的認識。
二、教學目標1、知識與技能（1）識記誘導公式．（2）理解和掌握公式的內涵及結構特徵，會初步運用誘導公式求三角函數的值，並進行簡單三角函數式的化簡和證明．2、過程與方法（1）通過誘導公式的推導，培養學生的觀察力、分析歸納能力，領會數學的歸納轉化思想方法．（2）通過誘導公式的推導、分析公式的結構特徵，使學生體驗和理解從特殊到一般的數學歸納推理思維方式．（3）通過基礎訓練題組和能力訓練題組的練習，提高學生分析問題和解決問題的實踐能力．3、情感態度和價值觀（1）通過誘導公式的推導，培養學生主動探索、勇於發現的科學精神，培養學生的創新意識和創新精神．（2）通過歸納思維的訓練，培養學生踏實細緻、嚴謹科學的學習習慣，滲透從特殊到一般、把未知轉化為已知的辨證唯物主義思想．三、教學設想（一）、復習：誘導公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k誘導公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒誘導公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-誘導公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒對於五組誘導公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②這四組誘導公式可以概括為：符号。
高一数学必修四课时训练：1.3三角函数的诱导公式1.3(二)Word版含答案
3 cos 2π－ α＋ 2sin(2
－πα) 的值为 (
)
2m A ．－ 3
2m B. 3
3m C．－ 2
3m D. 2
5．已知 cos π2＋φ ＝ 23，且 |φ|＜ π2，则 tan φ等于 (
)
3 A ．－ 3
3 B. 3
C．－ 3
D. 3
6．已知
cos(75
＋°α)＝
1，则 3
sin(α－ 15°)＋ cos(105 °－ α)的值是
2． A
[ ∵ sin(3
＋πα)＝－
sin
α＝－
1，∴ 2
sin
α＝
1 2.
∴cos
7π 2 － α＝ cos
3 2π－ α＝－
cos
π 2－
α
＝－
sin
α＝－
1 2.]
3． A
[cos
π 4＋ α＝ sin
π2－
π4＋ α
＝ sin
π 4－ α＝－ sin
π α－4 ＝－
1 3.]
4． C
[∵ sin(
π2－ α ·cos 2π－
π2－ α
＝ sin
－ tan α·－ sin － π2－α cos
α·cos α － π2－ α
2
＝
sin α
－ sin π2－αcos π2－ α
＝－
sin2α cos α·sin
α＝－
sin cos
αα＝－
tan
α＝右边．
∴原等式成立．
12． 解 sin － π2－ α＝－ cos α，
sin
α－ 3π＋ cos π－ α＋ sin
人教版高中数学高一A版必修4 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)
课后训练1．已知sin α＝35，α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．35- B ．45- C ．45 D ．45± 2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．23a -B ．32a -C ．23aD ．32a 3．在△ABC 中，已知4sin 25A =，则cos 2B C +的值为( ) A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 4．化简ππcos sin 225π3πsin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．25．化简sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的结果是( )A ．89B ．892 C ．45 D ．4526．若f (x )＝πsin 2x α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且f (2 010)＝1，则f (2 012)＝__________． 7．已知ππcos 2sin 22αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 sin(π)cos(π)5π7π5cos 3sin 22αααα-++⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________． 8．已知π1sin 32α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π2πcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 9．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求 tan(435)sin(165)cos(195)sin(105)αααα︒-+-︒︒+⋅︒+的值． 10．已知f (α)＝3πsin(3π)cos(2π)sin 2cos(π)sin(π)ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----． (1)化简f (α)；(2)若α＝31π3-，求f (α)的值； (3)若π1cos 25α⎛⎫--= ⎪⎝⎭，α∈3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求f (α)的值．参考答案1答案：B 解析：sin π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝45=-． 2答案：B 解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝2a ， cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝32a -． 3答案：C 解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴π222B C A +=-， ∴π4cos cos sin 22225B C A A +⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． 4答案：B 解析：原式＝sin cos cos sin αααα--+＝－1． 5答案：B 解析：sin 289°＝cos 21°，sin 288°＝cos 22°，…，sin 246°＝cos 244°，sin 245°＝12， 所以原式＝sin 21°＋cos 21°＋sin 22°＋cos 22°＋…＋sin 244°＋cos 244°＋12＝44＋12＝892． 6答案：－1 解析：∵f (2 010)＝sin(1 005π＋α)＝－sin α＝1， ∴sin α＝－1．从而f (2 012)＝sin(1 006π＋α)＝sin α＝－1．7答案：17 解析：∵ππcos 2sin 22αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin α＝2cos α． 原式＝sin cos 2cos cos 15sin 3cos 10cos 3cos 7αααααααα--==--． 8答案：解：π2πcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝πππcos sin π233αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝ππ111sin sin 33224αα⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 9答案：解：原式 ＝tan(36075)sin(15)cos(18015)sin[180(75)]αααα︒+︒--+︒︒+︒+⋅︒+-︒ ＝tan(75)sin(15)cos(15)[sin(75)]αααα︒--+︒-︒+⋅--︒ ＝1sin(15)cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)ααααα+︒-+︒+⋅︒+︒+⋅︒+．∵α为锐角，∴0°＜α＜90°，∴15°＜α＋15°＜105°．又cos(15°＋α)＝35，∴sin(15°＋α)＝45， 故原式＝41553433365555-+=⨯⨯． 10答案：解：(1)f (α)＝(sin )cos (cos )(cos )sin ααααα-⋅⋅--⋅＝－cos α． (2) 31π31πcos 33f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5πcos 62π3⎛⎫--⨯+ ⎪⎝⎭＝5ππ1cos cos 332-=-=-． (3)∵π1cos 25α⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴sin α＝15-． 由α∈3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴cos α＝5-． ∴f (α)＝－cos α＝5．。
2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.3 三角函数的诱导公式(二) Word版含答案
明目标、知重点 1.把握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简洁的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与共性，培育由特殊到一般的数学推理意识和力气.3.连续体会学问的“发生”、“发觉”过程，培育争辩问题、发觉问题、解决问题的力气．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin_α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名转变，符号看象限”．[情境导学] 对形如π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如π2－α，π2＋α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究． 探究点一 诱导公式五思考1 如图，在直角三角形中，依据正弦、余弦的定义有 sin α＝a c ，cos α＝bc，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝b c ， cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝a c .依据上述结论，你有什么猜想？ 答 sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 思考2 若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？设角α与单位圆交于点P (x ，y )，则角π2－α终边与单位圆交于点P ′，写出点P ′的坐标．答 如图，角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，P ′(y ，x )．思考3 依据任意角三角函数的定义，π2－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ； sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝x ，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝y . 从而得诱导公式五sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 探究点二 诱导公式六思考1 依据π2＋α＝π2－(－α)，利用诱导公式三和诱导公式五你能得到什么结论？答 sin(π2＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－(－α)＝cos(－α)＝cos α； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(－α)＝sin(－α)＝－sin α. 思考2 依据π2＋α＝π－⎝⎛⎭⎫π2－α，利用诱导公式四和诱导公式五你能得到什么结论？ 答 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考3 你能依据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 答 sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α； sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α；cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α. 探究点三 诱导公式的理解、记忆与机敏应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名转变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不转变；当k 为奇数时，函数名转变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要留意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，留意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 例2 化简：sin (2π－α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫112π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫92π＋α.解 原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎡⎦⎤5π＋⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin (π－α)[－sin (π＋α)]sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin α[－(－sin α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α ＝－sin αcos α＝－tan α.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)留意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－32πcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋32π＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明 ∵左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. ∴左边＝右边，故原等式成立．例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值．解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特殊是角之间的关系，恰当地选择诱导公式． 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试推断△ABC 的外形． 解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233C.13 D ．－13 答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12 B.m 2＋12C.1－m 22 D ．－m 2＋12答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin [180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ， sin(180°＋α)sin(270°＋α) ＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α ＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22.3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______． 答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)·sin (－α＋32π)cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－sin αcos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－32π)＝cos ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.[呈重点、现规律]1．学习了本节学问后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有确定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要留意整体把握、机敏变通．一、基础过关1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15C.15D.25 答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin(π2＋α)＝cos α＝15. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13 B.13C ．－223 D.223答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 4．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m3C ．－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．在△ABC 中，下列表达式为常数的是________． ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(B ＋C )－cos A ； ③sin A ＋B 2cos C 2； ④cosB ＋C2cos A 2.答案 ③解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴sinA ＋B 2＝sin(π2－C 2)＝cos C2. ∴sin A ＋B 2cos C 2＝cosC2cos C 2＝1.6．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.7．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立． 二、力气提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9.cos (α＋π)·sin 2(α＋3π)tan (α＋4π)·tan (α－π)·sin 3(π2＋α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α＝－tan 2αtan 2α＝－1.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α ＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5·2＝－1335.三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又由于sin 2α＋cos 2α＝1, ④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，由于α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
2020高中人教A版数学必修4：第7课时 诱导公式一、二、三、四 Word版含解析
第7课时诱导公式一、二、三、四课时作业一、选择题1．sin2 015°＝( )A．sin35°B．－sin35°C．sin58°D．－sin58°答案：B解析：sin2 015°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝sin(180°＋35°)＝－sin35°.故选B.2．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A．1 B．2sin2αC．0 D．2答案：D解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.3．计算：cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°＝( )A．0 B．1C．－1 D．以上均不对答案：C解析：cos1°＋cos179°＝0，cos2°＋cos178°＝0，…，cos89°＋cos91°＝0，原式＝cos90°＋cos180°＝－1.4．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )A．cos C B．－cos CC．sin C D．－sin C答案：B解析：cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C5．tan(π＋α)＝－2，则sin－α－cosπ＋αsinπ－α＋cos－α的值为( )A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：B解析：sin－α－cosπ＋αsinπ－α＋cos－α＝－sinα＋cosαsinα＋cosα＝－tanα＋1tanα＋1又tan(π＋α)＝－2，tanα＝－2，∴原式＝3－1＝－3.6．已知f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案：D解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32. 二、填空题7.cos 2600°＝________.答案：12 解析：cos 2600°＝|cos120°|＝|－cos60°|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12. 8．化简函数式 sin 2500°＋sin 2770°－cos 21620°－x 的结果是________________．(其中x ∈(π，2π))．答案：－sin x解析：原式＝sin 2140°＋sin 250°－cos 21620°－x＝sin 240°＋cos 240°－cos 2x ＝1－cos 2x ＝sin 2x＝－sin x .9．已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．答案：{－2,2}解析：当k 为偶数时，由诱导公式得A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2 当k 为奇数时，则有A ＝sink π＋αsin α＋ cos k π＋αcos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2. 三、解答题10．求下列三角函数值：(1)sin(－1320°)；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π；(3)tan 176π. 解：(1)sin(－1320°)＝sin(－1440°＋120°)＝sin120°＝32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－8π－23π＝cos 23π＝－cos π3＝－12. (3)tan 176π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝tan 56π＝－tan π6＝－33. 11．化简下列各式：(1)sin 2π－α·cos π＋αcos π－α·sin 3π－α·sin －π－α； (2)cos α－πsin π－α·sin(α－2π)·cos(2π－α)； (3)cos 2(－α)－tan 360°＋αsin －α. 解：(1)原式＝－sin α·－cos α－cos α·sin α·sin α＝－1sin α； (2)原式＝－cos αsin α·(sin α)·cos α＝－cos 2α； (3)原式＝cos 2α＋tan αsin α＝cos 2α＋1cos α.。
高中数学人教A版必修4课时达标检测(七)三角函数的诱导公式(二) Word版含解析
课时达标检测（七）三角函数的诱导公式(二)一、选择题1．下列与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ B ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θC ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ D ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ答案：D2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24答案：A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为() A ．－23m B ．－32mC.23m D.32m答案：B4．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为( )A ．－13 B.13C ．－223 D.223答案：B5．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin CB ．cos(B ＋C )－cos AC ．sin 2A ＋B 2＋sin 2C2D ．sin A ＋B 2sin C2答案：C二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝________. 答案：2657．sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝________. 答案：18．已知tan(3π＋α)＝2，则 sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案：2三、解答题9．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求 tan (435°－α)＋sin (α－165°)cos (195°＋α)·sin (105°＋α)的值． 解：原式＝tan (360°＋75°－α)－sin (α＋15°)cos (180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]＝tan (75°－α)－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)·[－sin (α－75°)]＝sin (75°－α)cos (75°－α)[－cos (15°＋α)sin (75°－α)]－ sin (α＋15°)－cos (15°＋α)sin (75°－α)＝－1cos (15°＋α)·sin (15°＋α)＋ sin (α＋15°)cos (15°＋α)·cos (15°＋α). ∵α为锐角，即0°<α<90°，∴15°<α＋15°<105°，又cos(15°＋α)＝35，∴sin(15°＋α)＝45，∴原式＝－135×45＋4535×35＝536. 10．求证：cos (π－θ)cos θ[sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1]＋ cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝2sin 2θ. 证明：左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋ cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．11．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6； 当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
人教A版本必修4三角函数的诱导公式同步练习包括答案.docx
高一三角函数同步练习5（诱导公式）一、选择题1、对于诱导公式中的角α ，下列说法正确的是（）A ．α 一定是锐角B ． 0≤α ＜ 2πC ．α 一定是正角D ． α是使公式有意义的任意角19 的值等于（）2、 sin61 B ．1 3A ．2C ．23, 23、若 cos2 , 则 sin253 34 A ．B ．C ．5553 D ．2的值是（）4 D ．54、下列各式不正确的是（）A ． sin （ α ＋180°） =－ sin αB ． cos （－ α＋ β ） =－cos （ α － β）C ． sin （－ α － 360°） =－ sin αD ． cos （－ α － β） =cos （ α ＋β ）5、 sin 4 2 cos252 tan5的值是364A ．－3B ．333C ．－D ．44446、 1 2 sin(2) cos(2) 等于（）A ．sin2－ cos2B ．cos2－ sin2C ．±（ sin2－ cos2）D ． sin2+cos27、若 f (cos x)cos3x, 那么 f (sin 30 ) 的值为（）A ．0B ． 1C ．－ 1D ． 31 128、已知 sin的值为（），则2cos72 3B ． －22 3 2 3A ．C ．3D ．339、已知 sin(π+α )=3，则 sin(3π- α )值为（）42411C.33A.B. —2D. —22210、在△ ABC 中，若 sin( AB C )sin( A B C ) ，则△ ABC 必是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题1、 tan2010°的值为 ．2、已知 sin3，且是第四象限的角，则cos(2) 的值是．53、计算： cos （－ 2640°） +sin1665 °＝．4、计算： sin25cos25tan(25) ＝ ．6345、化简：cos(4 ) cos 2 ( ) sin 2 ( 3 )＝ _________． sin(4 ) sin(5) cos 2()3sincos2 ，则 tan＝ ．6、已知cos 94 sin、若 tana，则sin 5 cos 3＝ ________ ．7sin(2) cos() cos(11 )2 ) cos(8、化简：2 ＝ ________ ．) sin(9cos() sin(3) sin()129、若 cos 75为第三象限角，则cos 255sin 435的值是，3____．10、化简：1 2 sin 610 cos430 ＝ ．sin 250 cos790。
人教A版高中数学必修四课时提升作业(七) 1.3 三角函数的诱导公式(二)2 Word版含解析
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(七)三角函数的诱导公式(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·铜陵高一检测)已知sin=，α∈，则tanα等于( ) A.-2 B.2 C.- D.【解析】选A.因为sin=cosα=，且α∈，所以sinα=-=-，所以tanα==-2.2.若cos+sin(π+θ)=-m，则cos+2sin(6π-θ)的值是( ) A. B.- C.- D.【解题指南】先化简cos+sin(π+θ)=-m，得出sinθ的值，再化简cos+2sin(6π-θ)得到其与sinθ的关系，从而求解.【解析】选B.cos+sin(π+θ)=-sinθ-sinθ=-m，即sinθ=，所以cos+2sin(6π-θ)=-sinθ-2sinθ=-3sinθ=-.3.已知sin10°=k，则cos620°的值等于( )A.kB.-kC.±kD.不能确定【解析】选B.cos620°=cos260°=cos(180°+80°)=-cos80°=-sin10°=-k.4.已知f(sinx)=cos3x，则f(cos10°)的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选A.f(cos10°)=f(sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-. 【变式训练】(2014·朔州高一检测)若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)等于.【解析】f(sin15°)=f(cos(90°-15°))=f(cos75°)=cos150°=-.答案：-5.已知tanθ=2，则等于( )A.2B.-2C.0D.-1【解析】选B.原式====-2.6.已知sin(π-α)-cos(π+α)=，则sin+cos= ( )A.-B.C.±D.-【解析】选A.由已知得sinα+cosα=，两边平方得1+2sinαcosα=，所以2sinαcosα=-，而sin+cos=cosα-sinα，(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-=，又<α<π，得sinα>0，cosα<0，所以cosα-sinα=-.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·天水高一检测)已知角α的终边经过点P0(-3，-4)，则cos的值为.【解析】由题意知，cos=sinα==-.答案：-8.(2014·成都高一检测)已知tan(α-π)=，且α∈，则sin=. 【解析】tan(α-π)=⇒tanα=.又因为α∈，所以α为第三象限角，sin=cosα=-.答案：-9.(2014·天津高一检测)在△ABC中，sin=3sin(π-A)，且cosA=-cos(π-B)，则C=.【解题指南】将已知条件利用诱导公式化简后可得角A，角B，进而得角C. 【解析】由已知化简得cosA=3sinA.①cosA=cosB.②由①得tanA=，又因为0<A<π，所以A=，由②得cosB=·cos=，又因为0<B<π，所以B=，所以C=π-A-B=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知cosα=，且-<α<0，求的值.【解析】原式==tanα，因为cosα=，-<α<0，所以sinα=-=-，所以tanα==-2.11.已知角α的终边经过点P.(1)求sinα的值.(2)求的值.【解析】(1)P，所以sinα=-.(2)==，由三角函数定义知cosα=，故所求式子的值为. 【变式训练】化简：-.【解析】原式=-=sinα-(-sinα)=2sinα.一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知=2，则sin(θ-5π)·sinπ-θ等于( )A. B.± C. D.-【解析】选C.由=2，得tanθ=3，sin(θ-5π)·sin=sinθcosθ===.2.(2014·焦作高一检测)已知sin(π+α)=-，则cos等于( )A.-B.C.-D.【解题指南】利用诱导公式分别化简sin(π+α)与cos，然后再求值. 【解析】选A.sin(π+α)=-sinα=-，所以sinα=，cos=cos=-cos=-sinα=-.【举一反三】本题条件不变，求cos的值.【解析】cos=cos=-cos=sinα=.3.若sinα是5x2-7x-6=0的根，则= ( )A. B. C. D.【解析】选B.方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2，则sinα=-.原式==-=.4.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，-2cos2)，则α等于( )A.2B.-2C.2-D.-2【解析】选C.由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cosα，2sinα)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α=2-.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·邯郸高一检测)若cosα=，且α是第四象限角，则cos=. 【解析】因为cosα=，且α是第四象限角，所以sinα=-=-=-.所以cos=-sinα=.答案：6.(2014·广州高一检测)已知cos=，且-π<α<-，则cos=.【解析】cos=cos=sin，又-π<α<-，所以-π<+α<-，所以sin=-，所以cos=-.答案：-三、解答题(每小题12分，共24分)7.已知cos=，求sin+cos2-α的值.【解析】因为cos=，所以sin+cos2=sin+cos2=-cos+=-+=.8.已知sin(α+β)=1，求证：tan(2α+β)+tanβ=0.【证明】因为sin(α+β)=1，所以α+β=2kπ+，k∈Z，所以α=2kπ+-β，k∈Z，所以tan(2α+β)+tanβ=tan+tanβ=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0.即tan(2α+β)+tanβ=0.关闭Word文档返回原板块。
高中人教A版数学必修4：第7课时 诱导公式一、二、三、四 Word版含解析
第7课时 诱导公式一、二、三、四课时目标1.理解公式的推导过程．2 识记强化诱导公式：公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；课时作业一、选择题1．sin2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin58°D ．－sin58°答案：B解析：sin2 015°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝sin(180°＋35°)＝－sin35°.故选B.2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2答案：D解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．计算：cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．以上均不对答案：C解析：cos1°＋cos179°＝0，cos2°＋cos178°＝0，…，cos89°＋cos91°＝0，原式＝cos90°＋cos180°＝－1.4．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( )A ．cos CB ．－cos CC ．sin CD ．－sin C答案：B解析：cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C5．tan(π＋α)＝－2，则sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)的值为( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2答案：B解析：sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos αsin α＋cos α＝－tan α＋1tan α＋1又tan(π＋α)＝－2，tan α＝－2，∴原式＝3－1＝－3. 6．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32. 二、填空题7.cos 2600°＝________.答案：12解析：cos 2600°＝|cos120°|＝|－cos60°|＝⎪⎪⎪⎪－12＝12. 8．化简函数式sin 2500°＋sin 2770°－cos 2(1620°－x )的结果是________________．(其中x ∈(π，2π))． 答案：－sin x解析： 原式＝sin 2140°＋sin 250°－cos 2(1620°－x ) ＝sin 240°＋cos 240°－cos 2x ＝1－cos 2x ＝sin 2x ＝－sin x .9．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________． 答案：{－2,2} 解析：当k 为偶数时，由诱导公式得A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2 当k 为奇数时，则有A ＝sin (k π＋α)sin α＋ cos (k π＋α)cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2. 三、解答题10．求下列三角函数值：(1)sin(－1320°)；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－263π； (3)tan 176π. 解：(1)sin(－1320°)＝sin(－1440°＋120°)＝sin120°＝32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－263π＝cos ⎝⎛⎭⎫－8π－23π＝cos 23π＝－cos π3＝－12. (3)tan 176π＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋56π＝tan 56π＝－tan π6＝－33.11．化简下列各式： (1)sin (2π－α)·cos (π＋α)cos (π－α)·sin (3π－α)·sin (－π－α)； (2)cos (α－π)sin (π－α)·sin(α－2π)·cos(2π－α)； (3)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α). 解：(1)原式＝(－sin α)·(－cos α)(－cos α)·sin α·sin α＝－1sin α； (2)原式＝－cos αsin α·(sin α)·cos α＝－cos 2α； (3)原式＝cos 2α＋tan αsin α＝cos 2α＋1cos α.能力提升12．若k ∈Z ，则sin (k π－α)cos (k π＋α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝________ 答案：－1解析：若k 为偶数，则左边＝sin (－α)cos αsin (π＋α)cos (π－α)＝－sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝－1；若k 为奇数，则 左边＝sin (π－α)cos (π＋α)sin αcos (－α)＝sin α(－cos α)sin αcos α＝－1. 13．已知1＋tan α1－tan α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)的值． 解：∵1＋tan α1－tan α＝3＋2 2，∴tan α＝2＋2 24＋2 2＝22. ∴cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝cos 2αcos 2α＋sin 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23.。
2020年高中数学人教A版必修四课时训练：1.3 三角函数的诱导公式 1.3(二) Word版含答案
§1.3 三角函数的诱导公式(二)课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆 π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 36．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号 作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.]2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.]6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.]7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 8．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169. ①又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169，又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③sin α－cos α＝713， ④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教A版必修4：课时跟踪检测(七) 诱导公式(二) 含解析
课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若si n(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC ．23mD ．32m解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ， 即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( )A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223 B ．223 C ．－23D ．23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1. 答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.8．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β， ① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π，故cos β＝±32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时达标检测（七）三角函数的诱导公式(二)
一、选择题
1．下列与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2的值相等的式子为( )
A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ
B ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ
C ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ
D ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ
答案：D
2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α的值为( )
A ．－2 2
B ．2 2
C ．－2
4 D.2
4
答案：A
3．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π
2－α＋2sin(6π－α)的值为(
) A ．－2
3m B ．－3
2m C.2
3m D.3
2m
答案：B
4．已知sin(75°＋α)＝1
3，则cos(15°－α)的值为( )
A ．－13 B.1
3
C ．－22
3 D.22
3
答案：B
5．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( )
A ．sin(A ＋
B )＋sin C
B ．cos(B ＋
C )－cos A
C ．sin 2A ＋B 2＋sin 2C
2
D ．sin A ＋B 2sin C
2
答案：C
二、填空题
6．若cos α＝15
，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝________. 答案：265
7．sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭
⎫π6＋x ＝________. 答案：1
8．已知tan(3π＋α)＝2，
则 sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.
答案：2
三、解答题
9．已知cos(15°＋α)＝35
，α为锐角，求 tan (435°－α)＋sin (α－165°)cos (195°＋α)·sin (105°＋α)
的值． 解：原式＝tan (360°＋75°－α)－sin (α＋15°)cos (180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]
＝
tan (75°－α)－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)·[－sin (α－75°)] ＝sin (75°－α)cos (75°－α)[－cos (15°＋α)sin (75°－α)]
－ sin (α＋15°)－cos (15°＋α)sin (75°－α)
＝－1cos (15°＋α)·sin (15°＋α)
＋ sin (α＋15°)cos (15°＋α)·cos (15°＋α)
. ∵α为锐角，即0°<α<90°，
∴15°<α＋15°<105°，
又cos(15°＋α)＝35，∴sin(15°＋α)＝45， ∴原式＝－135×45＋4535×35
＝536. 10．求证：cos (π－θ)cos θ[sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1]＋
cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭
⎫3π2＋θ＝2sin 2θ. 证明：左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)
＋ cos θ－cos θcos θ＋cos θ
＝
11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ) ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ
＝右边．
11．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭
⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②
由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.
∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22
. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4
. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6
； 当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6
，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6
满足条件.。