高中数学：第二章章末检测

第二章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题:本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式叙述不正确的是( ）
A．若a＝λb,则a、b共线
B．若b＝3a(a为非零向量）,则a、b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝错误!a－2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
答案：C
解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．
2．已知向量a，b和实数λ,下列选项中错误的是( ）
A．|a|＝错误!B．|a·b|＝｜a|·｜b|
C．λ（a·b）＝λa·b D．|a·b|≤｜a|·｜b|
答案：B
解析：|a·b｜＝｜a｜·|b｜|cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝｜a|｜b｜，可知B是错误的．
3．已知点A（1，3)，B(4，－1),则与向量错误!同方向的单位向量为（)
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案:A
解析:错误!＝(3，－4）,则与其同方向的单位向量e＝错误!＝错误!(3，－4）＝错误!.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2错误!＋错误!＋错误!＝0,那么（）
A。

错误!＝错误!B。

错误!＝2错误!
C。

错误!＝3错误!D．2错误!＝错误!
答案:A
解析：由于2错误!＋错误!＋错误!＝0,则错误!＋错误!＝－2错误!＝2错误!。

所以错误!(错误!＋错误!)＝错误!,又D为BC边中点,
所以错误!＝错误!(错误!＋错误!)．所以错误!＝错误!.
5．若|a|＝1，｜b｜＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( ）
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案：C
解析:a·(b－a）＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2，cosθ＝错误!，θ∈［0，π]，故θ＝错误!。

6．若四边形ABCD满足:错误!＋错误!＝0，（错误!＋错误!)⊥错误!，则该四边形一定是（)
A．矩形B．菱形
C．正方形D．直角梯形
答案：B
解析:由错误!＋错误!＝0⇒错误!∥错误!且|错误!｜＝|错误!｜，即四边形ABCD是平行四边形，又(错误!＋错误!）⊥错误!⇒错误!⊥错误!,所以四边形ABCD是菱形．
7．给定两个向量a＝(2,1），b＝（－3，4)，若(a＋x b）⊥（a－b)，则x等于( )
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案:D
解析：a＋x b＝（2，1)＋(－3x，4x）＝(2－3x，1＋4x)，a－b＝（2,1)－(－3,4）＝（5,－3）,∵（a＋x b）⊥（a－b),∴（2－3x）·5＋(1＋4x)·(－3）＝0,∴x＝错误!.
8．如图所示，在重600N的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹
角分别为30°，60°，重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( ）
A．300 3N,300 错误!N B．150N，150N
C．300 错误!N，300N D．300N，300N
答案：C
解析：如图：作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°,∠OAC＝90°，｜错误!｜＝｜错误!|cos30°＝300 错误!N。

|OB错误!＝｜错误!｜sin30°＝300N。

9．已知向量a＝(1，2)，b4)，｜c|＝5,若（a＋b)·c ＝错误!,则a与c的夹角为( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
答案：C
解析:由条件知｜a|＝5，｜b｜＝2错误!，a＋b＝（－1，－2），∴｜a＋b|＝错误!,∵(a＋b)·c＝错误!,∴错误!×错误!·cosθ＝错误!，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°。

10．若向量错误!＝(1,－2），n＝(1,3），且n·错误!＝6，则n·错误!等于( ）
A．－8 B．9
C．－10 D．11
答案：D
解析:n·错误!＝1－6＝－5，n·错误!＝n·（错误!＋错误!)＝n·错误!＋
n·错误!＝6，∴n·错误!＝11。

11．在边长为1的正三角形ABC中，错误!＝错误!错误!,E是CA的中点,则错误!·错误!等于（)
A．－错误!B．－错误!
C．－错误!D．－错误!
答案：A
解析：建立如图所示的直角坐标系，则A错误!，B错误!，C错误!，依题意设D(x1,0)，E（x2，y2）,∵错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!(－1，0)，∴x1＝错误!.
∵E是CA的中点，∴错误!＝错误!错误!，又错误!＝错误!，∴x2＝－错误!,y2＝错误!。

∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!.故选A.
12．已知|a｜＝2 错误!，｜b｜＝3,a，b的夹角为错误!，如图所示，若错误!＝5a＋2b，错误!＝a－3b，且D为BC中点，则错误!的长度为( ）
A.错误!B。

错误!
C．7 D．8
答案：A
解析：错误!＝错误!(错误!＋错误!）＝错误!（5a＋2b＋a－3b）＝错误!（6a －b)
∴|错误!|2＝错误!(36a2－12ab＋b2)＝错误!.
∴|错误!｜＝错误!.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填
在题中横线上．
13．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3,则a·b＝________.
答案：3
解析:a·b＝2×3×错误!＝3.
14．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案：［0,1］
解析:∵b·（a－b)＝0，∴a·b＝b2,即|a|｜b|·cosθ＝｜b|2,当b≠0时，|b|＝｜a｜cosθ＝cosθ∈（0,1]，所以|b｜∈［0,1］．15．设向量a与b的夹角为α，且a＝(3，3)，2b－a＝（－1，1)，则cosα＝________.
答案：错误!
解析：设b＝(x，y)，则2b－a＝（2x－3，2y－3)＝
（－1,1），∴x＝1，y＝2，则b＝(1，2）,
cosα＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
16．关于平面向量a，b,c，有下列三个命题:
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1,k），b＝(－2，6),a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a｜＝｜b|＝｜a－b｜，则a与a ＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号)
答案：②
解析：①a与b的夹角为θ1，a与c的夹角为θ2。

a·b＝a·c，
有|a｜|b|cosθ1＝|a|｜c｜cosθ2，得不到b＝c,错误．
②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，
∵a∥b，∴b＝λa，得k＝－3.正确．
③设|a｜＝｜b｜＝｜a－b|＝m(m>0），
且a与a＋b的夹角为θ.
则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2，
∴2a·b＝m2.
a·（a＋b)＝a2＋a·b＝m2＋错误!＝错误!，
（a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2，
∴cosθ＝错误!＝错误!＝错误!。

∴θ＝30°。

∴③错误．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知｜a|＝4，｜b｜＝8,a与b的夹角是150°,计算：
（1)(a＋2b)·(2a－b)；
（2)｜4a－2b｜.
解：（1）（a＋2b)·（2a－b)
＝2a2＋3a·b－2b2
＝2|a｜2＋3|a|·|b|·cos150°－2｜b｜2
＝2×42＋3×4×8×错误!－2×82
＝－96－48 错误!。

(2）｜4a－2b｜＝4a－2b2
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝8(错误!＋错误!)
18．（12分)已知向量a＝(－3，2),b＝(2,1），c＝(3，－1)，t∈R，(1）求｜a＋t b|的最小值及相应的t值；
（2）若a－t b与c共线，求实数t的值．
解:(1）∵a＝(－3,2），b＝(2，1），c＝（3，－1),
∴a＋t b＝(－3，2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t），
∴|a ＋t b |＝错误!
＝错误!
＝错误!≥错误!＝错误!，
当且仅当t ＝错误!时取等号，即｜a ＋t b |的最小值为错误!，此时t ＝45。

（2)∵a －t b ＝（－3－2t ，2－t )，
又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1），
∴(－3－2t ）×(－1）－（2－t ）×3＝0，解得t ＝错误!。

19．(12分)已知a ＝(1，1）、b ＝（0,－2)，当k 为何值时，
(1)k a －b 与a ＋b 共线；
(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.
解：∵a ＝（1,1)，b ＝(0,－2)
∵k a －b ＝k (1,1)－（0，－2)＝（k ，k ＋2)
a ＋
b ＝(1,－1)
（1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －（k ＋2)＝0,即k ＝－1。

（2）要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°,
∵｜k a －b ｜＝错误!，
|a ＋b ｜＝错误!,
∴cos120°＝错误!
＝错误!＝－错误!。

即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±错误!。

20．(12分)已知向量错误!、错误!、错误!满足条件错误!＋错误!＋错误!＝0，｜错误!｜＝|错误!|＝|错误!｜＝1,求证：△P 1P 2P 3是正三角形．
证明：如图所示，设OD
→＝错误!＋错误!，由于错误!＋错误!＋错误!＝0，∴错误!＝－错误!，|错误!｜＝1，
∴｜错误!|＝1＝｜错误!|12
同理可得∠OP1P3＝30°,∴∠P3P1P2＝60°。

同理可得∠P2P3P1＝60°,
∴△P1P2P3为正三角形．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A（－1，－2)，B(2，3）,C （－2，－1)．
(1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
（2）设实数t满足（错误!－t错误!)·错误!＝0，求t的值．
解：（1)由题设知错误!＝(3，5)，错误!＝(－1,1）,则错误!＋错误!＝（2,6），错误!－错误!＝(4，4），
所以｜错误!＋错误!|＝2错误!,|错误!－错误!|＝4错误!，故所求的两条对角线的长分别为42，2错误!.
（2）由题设知错误!＝(－2，－1),错误!－t错误!＝（3＋2t，5＋t）．
由(错误!－t错误!）·错误!＝0，得(3＋2t，5＋t）·(－2,－1）＝0，
即5t＝－11，所以t＝－错误!.
22．（12分）设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f满足：对任意x∈D，均有f（x）＝λx(λ∈R且λ≠0）．
（1）若|a｜＝｜b|，且a、b不共线，试证明：［f(a)－f(b）］⊥(a＋b）；
(2)若A（1,2)，B（3，6),C（4，8)，且f(BC，→）＝错误!，求f(错误!)·错误!。

解：（1)证明:∵f(a)－f（b）＝λa－λb＝λ(a－b），
∴［f（a）－f（b）］·(a＋b）＝λ（a－b)（a＋b)＝λ（a2－b2）＝λ（｜a|2－｜b|2)＝0，
∴［f(a)－f（b)]⊥(a＋b)．
(2）由已知得错误!＝(2，4），错误!＝(1,2），错误!＝(3,6)．∵f（错误!)＝错误!，∴λ错误!＝错误!.
即λ（1，2）＝(2,4)，∴λ＝2。

∴f(错误!)·错误!＝（2错误!)·错误!＝(6,12)·(2，4）＝60.。