几种常见的正交曲线坐标系

2.3、曲线坐标
1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。

坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。

如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即
()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。

=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。

这就构成了三族曲面，
这三族曲面称为坐标曲面。

对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。

曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。

如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。

如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。

一般用()z y x ,,来表示。

如果用321,,e e e
表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。

这样的321,,e e e
称为坐标的基矢量。

一般地讲，i e
的方向是随空间位置的变化而变化的。

在直角坐标中坐标基矢量的方向
是不随空间位置变化的，习惯上用k j i
,,表示。

因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r
++=。

作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。

2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径
123112233123i i i i
r r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=
++==++=∂∂∂∂ 因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂ 与i e
平行，
设
i
i q r
H ∂∂=
则
()i i
e H q r
=∂∂
i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。

这样有
333222111e dq H e dq H e dq H r d
++= 令
111dq H ds =；222dq H ds =；333dq H ds =
则i ds 表示坐标变化i dq 时坐标曲线所变化的弧的长度。

对笛卡尔坐标系，梅拉系数1=i H ，k dz j dy i dx r d
++=
在正交曲线坐标系中面微元
3232321dq dq H H ds ds d ==σ； 3131312dq dq H H ds ds d ==σ 1212123dq dq H H ds ds d ==σ 体积微元
321321321dq dq dq H H H ds ds ds dv == 微元弧长的平方
2
3
23222221212dq H dq H dq H r d r d ds ++=⋅=
可以利用该式求拉梅系数i H 。

3）.两组坐标之间的变换关系 设一组坐标为i q ，基矢量
()i
i q H r
e ∂∂=
另一组坐标为'
i q ，基矢量
1e
3e
2e
3ds
2ds 1ds
图2.5、曲线坐标系
()()()()()()()j i
j j i j j i j i i e q H q H q H r q H q H q r q H q q H r
e '∂'∂=∂∂'∂'∂=∂∂'∂'∂='∂'∂=
'
由坐标变换的定义，
()()i
j
ij q H q H '∂'∂=β
即
'∂'∂=i
i j
j ij q H q H β 其中i 、j 不约定求和
特别地对直角坐标系()321,,x x x 到直角坐标系⎪⎭
⎫ ⎝
⎛'
''321,,x x x 的变换，则有
'∂∂=
i
j
ij x x β。

4）.几种常见的正交曲线坐标系 （1）.直角坐标系
空间点的坐标为()z y x ,,，矢径的表达式为k z j y i x r
++=，
坐标的取值范围：{}∞∞-=,x ，{}∞∞-=,y ，{}∞∞-=,z 。

坐标曲面为三个平面。

坐标曲线为三条直线。

梅拉系数1=x H ，1=y H ，1=z H 。

（2）.柱坐标系
(1)圆柱坐标系与直角坐标系； （2）圆柱坐标系 （3）微元六面体体
图2.6、圆柱坐标系
r z 1()
q 3()
q r
e e θ
z
e P r
P
θ
r
u r
e e θ
z u z
e r
空间点的坐标为(),,r z θ，矢径的表达式为cos sin r OP r i r j zk θθ==++，
r ：p 点到oz 轴的距离; θ：ozp 平面与oz 平面的夹角；
z ：p 点到oxy 平面的距离。

坐标的取值范围：[0,)r =∞，[0,2)θπ=，(,)z =-∞∞。

坐标曲面：
r =常数，以oz 为轴的圆柱面， θ=常数，以oz 为界的半平面，
z=常数，平行于oxy 的平面。

坐标曲线：
r ，由z 轴出发、垂直于z 轴的射线， θ，圆心在z 轴，平行于oxy 平面的圆周， z ，平行于oz 轴的直线。

由定义有
cos sin r i j r θθ∂=+∂；sin cos r r i r j θθθ∂=-+∂；k z
r
=∂∂ 梅拉系数为
1r r H r ∂==∂；r
H r ϕϕ
∂==∂；1=∂∂=
z r H z。

圆柱坐标系下的基矢量在直角坐标系下分解为：
cos sin sin cos r
r z
z r
e i j H r r e i j H r e k H z θ
θθθθθθ⎧∂==+⎪∂⎪⎪∂==-+⎨∂⎪⎪∂==⎪∂⎩
， 即cos sin 0sin cos 000
1r z i e e j e k θθθθθ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪
⎪⎪⎢
⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
，可以验证三个基矢量相互垂直，即圆柱坐标系为正交曲线坐标系。

cos sin 0sin cos 00
1θ
θβθ
θ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即为圆柱坐标系与直角坐标系下的变换矩阵。

(,,)i r z e e e e θ'=为圆柱坐标系下的基矢量，
(,,)i e i j k =为直角坐标系下的基矢量，则
i ij j e e β'=。

基矢量对坐标的导数：
cos sin sin cos r
r z
z r e i j H r r e i j H r e k H z θ
θθθθθθ⎧∂==+⎪∂⎪⎪∂==-+⎨∂⎪⎪∂==⎪∂⎩
坐标变换矩阵也可通过()()i
j
ij q H q H '∂'∂=
β给出。

直角坐标系中123,,q x q y q z →→→，
圆柱坐标系中123,,q r q q z θ→→→。

且有关系式cos ,sin ,x r y r z z θθ→==，因此
()()11111cos 1x x
r r
H q H q x
H q H q r βθ∂∂∂==
==''∂∂∂； ()()21211sin y y r r H q H q y H q H q r
βθ∂∂∂====''∂∂∂
()()3131101z z
r r
H q H q z
H q H q r β∂∂∂=
==
=''∂∂∂； ()()12121sin x x H q H q x H q H q r θθβθθ
∂∂∂====-''∂∂∂
()()2
2221cos y y
H q H q y
H q H q r θθβθθ∂∂∂=
===''∂∂∂； ()()323210z z H q H q z H q H q r θθβθ∂∂∂====''∂∂∂
()()1
313
10x x z z H q H q x
H q H q z β∂∂∂=
===''∂∂∂， ()()2323101y y z z
H q H q y H q H q z β∂∂∂====''∂∂∂
()()3333
111z z z z H q H q z
H q H q z
β∂∂∂=
=
==''∂∂∂
因此可得 cos sin 0sin cos 00
1θθβθθ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，与前述方法得到的结果相同。

有了坐标变换矩阵，我们可以通过坐标变换的方法得出矢量、张量在直角坐标系和圆柱坐标系下的分量关系。

若一个矢量（如速度）V ，在直角坐标系下，基矢量i e 是常矢量，不随坐标位置而改
变。

(,,)(,,)(,,)i i V x y z u v w u x y z e ==，而在圆柱坐标系下，i e 是空间的函数，因此
(,,)(,,)(,,)(,,)r z i i V r z u u u u r z e r z θθθθ==。

若将圆柱坐标系作为新坐标系，而直角坐标
系作为旧坐标系，则有关系式：
((,,)(,,)(,,)(),,,,)i i i i j i i j j j V V u r z u x y z e r z e e u r z u x y z e θθβθ'=→=→=，推导过程也可简写为i i i ij j j j i ij j u e u e u e u u ββ''''==→=，只是这里的j u 为,,x y z 的函数，而i u '为
,,r z θ的函数，从而可得出，矢量分量在直角坐标系与圆柱坐标系的关系式：
(,,)(,,ij i j u r z u x y z θβ=，即
cos sin 0(,,)sin cos 0(cos sin ,sin cos ,)(,,)0
1r z r r z u u u u u u u u u v w θθθθθθ
θ
θθθθ⎡⎤⎢⎥-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
而坐标变换矩阵
ij β满足i j j l i l ββδ=，即ij β为正交矩阵1
T ij ji ji βββ-==，因此
(,,)(,,)(,,)(,,T
i i i
j T
i j j i j i u r z u r z u r z u x y z
βθββθθ===，因此也可通过下面等式来计算：
c o s s i n
0c o s s i n 0c o s s i n c o s 0s i n c o s 0s i n c o s 0010
1T
r r r
r z z z
u u u u u v u u u u w u u u θθθθθθθθθθ
θθθθθθ--⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧
⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎢
⎥⎢⎥=-==+⎨⎬⎨⎬⎨
⎬⎨⎬⎢
⎥
⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣
⎦
⎩⎭⎣
⎦⎩⎭⎩
⎭
当然圆柱坐标系下的矢量分量也可以用直角坐标系下的分量表示，可以直接利用线性代数的知识由上式求出：
1
cos sin 0cos sin 0cos sin sin cos 0sin cos 0sin cos 00
100
1T
r z u u u u v u v v u v u w w w θθθθθθθθθθθθθ---+⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥===-+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣
⎦
⎩⎭⎣
⎦
⎩⎭⎩⎭
也可通过张量的方法求出：T
i i j j j ji i j ij i u e u e u e u e ββ''''===，i j ij ij j u u u ββ'→==即：
cos sin 0cos sin sin cos 0sin cos 00
1r z u u u v u v u v w w u θθ
θθθθθθθ+⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢
⎥=-=-+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
⎩⎭
二阶张量在不同的坐标系下，其分量是满足坐标变换关系的，如压力张量σ在直角坐标系下（旧坐标系）的分量(,,)ij ij x y z e σσ=，而在圆柱坐标系（新坐标系）下分量为：
(,,)(,,)ij ij r z e r z σσθθ''=，(,,)(,,)(,,)ij ij ij ij x y z e r z e r z σσσθθ''==，由坐标变换关系
式可得：
(,,)(,,)(,,)(,,)ij ij ij im jn mn mn mn ij im jn mn
r z e r z r z e x y z e σσθθσθββσσββσ''''===→=T im ij jn mi ij jn mn βσββσβσ''→==，即T βσβσ'=
cos sin 0cos sin 0sin cos 0sin cos 00
1001T
rr
r rz xx xy xz r z yx
yy yz zr
z zz zx zy zz θθθθθθθθ
σττθθσττθθτστθθτστττσττσ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即：
()1
cos 2cos 22sin 22xx rr rr r θθθθθσσσσθσθτθ=++-- ()1
cos 2cos 22sin 22
yy
rr rr r θθθθθσσσσθσθτθ=+-++ zz zz σσ=
()1
2cos 2sin 2sin 22
xy yx r rr θθθτττθσθσθ==
+- cos sin xz zx rz z θτττθτθ==-
cos sin yz zy z rz θτττθτθ==+
同样也可以通过坐标变换T
ij im jn mn im mn jn im mn nj σββσβσββσβ'===，求得
()1
cos 2cos 22sin 22rr xx yy xx yy xy σσσσθσθτθ=++-+ ()1
cos 2cos 22sin 22
xx yy xx yy xy θθ
σσσσθσθτθ=+-+- zz zz σσ=
()1
2cos 2sin 2sin 22
r r xy xx yy θθτττθσθσθ==
-+ cos sin rz zr xz yz τττθτθ==+
cos sin z z yz xz θθτττθτθ==-
5、在圆柱坐标系中，()()(),,,,,,r z z A A z e A z e A z e ρθθρθρθρθ=++为矢量，用以下方法证明A
的散度为1z
A A A A A divA z
ρρ
θρ
ρ
ρθ∂∂∂∇⋅==
+
+
+
∂∂∂ （1）、利用通量和散度的关系，用微元体的方法证明
（2）、利用拉梅系数和正交曲线坐标系下的散度公式得出。

(1) S
A ds divA dv
∂=
⎰，令微元体P 点的()()(),,,,,,r z z A A z e A z e A z e ρθθρθρθρθ=++。

则可近似认为垂直于微元体的左、前、下侧面的矢量A 的分量分别为
()()(),,,,,,,,
z
A z A z
A z ρθρθρθρθ。

因此： 过微元体左表面的通量：A ds A d dz ρρθ=；右表面的通量：
()A A ds A d d d dz ρρρρρθρ∂⎛⎫
=++ ⎪∂⎝⎭
过微元体前表面的通量：A ds A d dz θρ=；后表面的通量：A A ds dz d A d θθρθρρθ∂⎛∂⎫
=+
⎪⎝⎭
过微元体下表面的通量：z A ds A d d ρθρ=；上表面的通量：
z z A A ds A dz d d z ρθρ∂⎛⎫
=+ ⎪∂⎝⎭
2z
S
A A A dz d d d dz A d d dz A d d d d d dz z A ds z divA dv d d d d z
ρρθρρθρρρθρρθρρθρθρθρρθρ∂∂⎡⎤∂∂++++⎢⎥
∂∂⎣∂=∂⎦=
∂⎰
z A A A A z ρρ
θρθρρ
∂∂∂=+++
∂∂∂
（2）1322133121231231
A H H A H H A H H divA H H H q q q ⎡⎤∂∂∂=
++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
，
11H H ρ==，2H H θρ==，31z H H ==
1z z
A A A A A A A divA z z ρρρθθρρρρθρρρθ∂∂⎡⎤∂∂∂∂=++=+++
⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦
d θ
d ρθ
d ρdz
z
ρ
(,,)
P z ρθ
0r e r ∂=∂，sin cos r e i j e θθθθ∂=-+=∂，0r e
z ∂=∂ 0e r θ∂=∂，cos sin r e i j e θθθθ∂=--=-∂，0e
z θ∂=∂ 0z e r ∂=∂，0z e θ∂=∂，0z e
z
∂=∂
在圆柱坐标系中，任意矢量A 是空间(),,r z θ的函数，基矢量i e 在圆柱坐标系下已不是常量（方向随坐标而改变），(),,i e r z θ，从而任一个矢量A 在圆柱坐标系下可以写出其分量形式，即()()(),,,,,,i i r r z z A A r z A r z e r z A e A e A e θθθθθ===++，则
i i i i r z r z i i r z r z r z
r z Ae
A e A e A A e e A e A e e e A A A r r r r r r r r r r A A A
e e e r r r θθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==+=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂
i i i i r z r z i i r z r z r z r z r r
Ae
A e A e A A e e A e A e e e A A A A A A
e e e A e A e θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==+=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-∂∂∂
i i i i r z r z i i r z r z r z
r z Ae
A e A e A A e e A e A e e e A A A z z z z z z z z z z A A A
e e e z z z
θθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==+=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂
因此，在圆柱坐标系下：
()()()()()i
i r z
i i r z
r z r r z r z r
z r
z r r z r z r A A
A A
A e A e e e e H q H q H q H q H q A A
A e e e e r
r r e A A A A A A e e e A e A e e e e e r z
z z A A r r θ
θθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∇===++∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++
⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂⎛⎫
⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂=+∂∂r z
A A r z
θ∂++∂
也可以用如下基矢量对坐标的导数：
ρ()dx udydz x udydz ρ∂∂+ ()()()()()()()()()()()()()()j j j i i
j j i j i j j i i i i i i
r z r z r i i z i
r z i i i r z r
r r r r r z
r
A e e A A e A e e e e A A e H q H q H q H q H q A e A A e e A e A e A e H q H q H q H q H q H q A A A e e e A e A e A e r r z H q H q θθθθθθθθ∂∂∂∂∂
∇==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+++++∂∂∂∂∂()()()()()()()r
z r z
r r z z
z z
z r
z z z
r
z
r z r r r r r r z r z z r H q e e e A e A e
A e H q H q H q e e e A e A e A e H q H q H q A A A e e
A e A e A e r r z r z
e e A e A e A e r e r e r z A e θ
θθ
θθθθθθ
θθθθθ
θθθθθθθθ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂∂=
+++++∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂+∂∂∂∂()()11
()1z z z
z z z r z r r r z r
r z e e e A e A e r r z
A A A A e e A e e r r z r r A A A A r r z r
A r A r A r r z θθθθθθθθθθθθ∂∂∂++∂∂∂∂∂∂=++++-∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂⎡⎤∂=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
将速度u 在直角坐标系中分解，沿,,x y z 轴上的分量为,,u v w 。

微元控制体m 在dt 时间内， 沿x 轴方向流入的质量：udydzdt ρ 流出的质量：()udydzdt udydz dxdt x
ρρ∂
+∂ 净流出质量：
()u dxdydzdt x
ρ∂
∂
同样的，沿y 轴方向的净流出质量为()v dxdydzdt x ρ∂
∂ 沿z 轴方向的净流出质量为()w dxdydzdt x
ρ∂
∂
总净流出质量：u v w dxdydzdt x y z ρρρ⎛⎫
∂∂∂++
⎪∂∂∂⎝⎭
在o t 时刻，控制体质量为：dxdydz ρ 经过dt 时间后，质量为：()dxdydz dxdydz dt t ρρ∂
+
∂ dt 时间内的质量减少量为：()dxdydz dt dxdydzdt t t
ρ
ρ∂∂-=-
∂∂ 质量守恒：u v w dxdydzdt dxdydzdt t x y z ρ
ρρρ⎛⎫∂∂∂∂-
=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
0u v w
t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 令：123,,u u v u w u === 123,,x x y x z x === 则：
312123
0u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂
310i
i i
u t x ρρ=∂∂+=∂∂∑ 约定求和：
0i
i
u t x ρρ∂∂+=∂∂ 张量形式：
()0u t
ρ
ρ∂+∇⋅=∂（可压缩） 0t ρ∂=∂，00i
u x ρ∂=→∇⋅=∂（不可压缩）
在物理学中，物理定律（如F ma =）是不依赖于坐标系的选取的，其表现形式是物理
量应该满足某种张量形式的方程（即张量形式的控制方程）。

而在选取特定的坐标系后，其控制方程也就具体到某个坐标系，而由于坐标系选取的不同，其控制方程也不尽相同。

其中最主要用到的坐标系为笛卡尔坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

如质量守恒定律，应该满足的张量形式的方程（不依赖于坐标系）为：
()0u t ρ
ρ∂+∇⋅=∂
（即()V u V t
ρρ∂=-∇⋅⎡⎤⎣⎦∂体积
体积相当于微元体内质量的变化率等于微元体净流出的质量通量）。

其在直角坐标系下，形式为：
0u v w
t x y z ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂
而在圆柱坐标系下，其形式为：
10r z v v r v r t r r z θ
ρρρρθ
∂∂∂∂⎛⎫
+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
在球坐标系下，其具体形式为：
2110sin r r v v ctg v v v t r r r r r ϕϕθρρϕ
ρρρρϕϕθ∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂
再如动量方程（动量定理在微分形式下用拉格朗日描述得出）的张量形式方程（不依赖
于坐标系）为：
D u
u u u F D t
t ρ
ρρσ∂⎛⎫
=+⋅∇=+∇⋅
⎪∂⎝⎭
，相当于
V V ma F F ma a F ρ=⇒
=⇒合力加速度
单位体积合力体积体积
＝ 其在直角坐标系下的具体的分量形式为：
X 方向：yx xx zx x u u u u u v w F t
x y z x y z τστρρ∂⎛⎫
∂∂∂∂∂∂+++=+++
⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
Y 方向：xy yy zy y v v v v u v w F t x y z x y z τστρρ∂∂∂⎛⎫
∂∂∂∂+++=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
Z 方向：yz xz zz z w w w w u v w F t
x y z x y z ττσρρ∂⎛⎫∂∂∂∂∂∂+++=+++
⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
而在圆柱坐标系下，其形式为：
r
方
向
：
()()21r r
r r r r
r
r z
r
r r v v v v v v v v F t
r r z r r r z θθθθθσττρρσ
θθ∂∂⎡⎤
⎛⎫∂∂∂∂∂+++-=+++- ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
θ
方
向：
()()1r z r r z r r r v v v v v v v v v F t r r z r r r z θθθ
θθθθθθθθθττσρρτθθ∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫++++=++++⎢⎥
⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
Z 方向：()()1rz zz z z
z z z r z z r r v v v v v v v F t
r r z r r z θθτστρρθθ∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫+++=++++⎢⎥
⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
而在球坐标系下，其形式为：
r 方向： 2222sin sin 1[sin ()]sin r r r rr r v v r r dv r F r dt r r r ϕθϕθϕϕθθτϕτσϕρρϕσσϕϕθ⎛⎫+∂∂∂-=+++-+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭
φ方向：
222
sin sin 1[sin cos ]sin r r r dv v v r r v ctg F r r dt
r r r r ϕϕϕϕϕϕθθϕϕθθτϕσϕτϕρρτϕσϕϕϕθ∂∂∂⎛⎫+-=++++- ⎪∂∂∂⎝⎭
θ方向：
22
sin sin 1[sin cos ]sin r r r v v ctg r dv v v r r F r r dt r r r r θϕϕθθθθθθθθϕθϕτϕτϕσρρτϕτϕϕϕθ∂⎛⎫∂∂+-=++++- ⎪∂∂∂⎝⎭
当然还有能量守恒方程、本构方程（应力应变关系）等，在此不一一列出。

后续课程中
有介绍。

那么某个物理定律的方程在不同坐标系下显然是有关系的，如何写出张量形式下的方程
在不同坐标系下的具体分量形式？无论张量形式的控制方程多么复杂，总是由各项相加减组合而成的，只要能够写出每项在特定坐标系下的具体分量形式，则整个方程在某特定坐标系下的具体分量形式就可以给出。

显然，在学习张量知识之前，我们也可以由直角坐标系下的分量形式的方程，通过坐标变换关系，由链式求导法则得出另外一个坐标系下的具体形式，尽管有时很复杂。

下面以直角坐标系和圆柱坐标系下的连续性方程为例，通过坐标变换和求导的链式法则，将直角坐标系下的连续性方程转化为圆柱坐标系下的连续性方程。

θ r z 1()
q 2()q 3()
q r e e θ
z
e o
y
θ r
θ
z
z
e
(1)圆柱坐标系与直角坐标系； （2）圆柱坐标系
在直角坐标系下，质量守恒方程（连续性方程）为
0u v w t x y z ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂
其中密度ρ为标量，速度V 为矢量，在直角坐标系下密度用(),,,t x y z ρ来表示，速度
分量表示为： ()(,,,)(,,,),(,,,),(,,,)V t x y z u t x y z v t x y z w t x y z =。

在圆柱坐标系下密度用
()
,,,t r z ρθ来表示，速度分量表示为
()(,,,)(,,,),(,,,),(,,,)r z V t r z u t r z u t r z u t r z θθθθθ=。

标量不随坐标的变换而变换，而矢
量和张量的分量随坐标的变换而满足坐标变换关系。

因而 ()(),,,,,,t x y z t r z ρρθ=，
从圆柱坐标系与直角坐标系的矢量关系，可得：
(,,,)(,,,)cos (,,,)sin r u t x y z u t r z u t r z θθθθθ=-，可简写为cos sin r u u u θθθ=- (,,,)(,,,)sin (,,,)cos r v t x y z u t r z u t r z θθθθθ=+，可简写为sin cos r v u u θθθ=+ (,,,)(,,,)z w t x y z u t r z θ=，可简写为z w u =
也可以通过直角坐标系与圆柱坐标系的坐标变换关系得出，若j V 为直角坐标系，i V '为
圆柱坐标系。

j ij i V V β'=，其中cos sin 0sin cos 00
1ij θθβθ
θ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

即：cos sin 0sin cos 000
1r z u u v u w u θθ
θθθ
-⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢
⎥=⎨⎬⎨⎬⎢
⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭
在圆柱坐标系下，满足以下几何关系：
222r x y =+，tan y
x
θ=
；cos ,sin x r y r θθ== 22222cos r r x r x y r x x x r θ∂∂=+→=→==∂∂，同理sin r y
θ∂=∂ 2222111sin 1sin tan sec tan cos tan cos cos cos y y y x x x x x x x x r r θθθθ
θθθθθθθθ∂∂=
→=-=-=-→=-=-=-∂∂同理cos y r
θθ∂=∂
则直角坐标系下质量守恒方程
0u v w
t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂的每一项在圆柱坐标系下可分别表示为：
()()
,,,,,,t x y z t r z t t
ρρθ∂∂=∂∂
()()22sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin co s cos sin co i s n s c r r r r r r u u r u u u x r x x r r
u u u u r r
u u u u u u r r r u u r r θθθθθθρρρθρρθθθθρθθρθθθθθρρρρθθθθθρθθρθθρθθθρθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-=-
∂∂∂∂∂∂⎛⎫
=-----∂-∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭
∂=∂22sin sin os sin cos r r u r u u r r r
u θθ
ρθθθρθθρρθθ∂+∂∂+∂+
()()22cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos si s sin sin co i n n s c r r r r r r v v r v v v y r y y r r
u u u u r r u u u u u u r r r u u r r θθθθθθρρρθρρθθθθρθθρθθθ
θθρρρρθθθθθρθθρθθρθθθρθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂+=
+
∂∂∂∂∂∂⎛⎫
=++++-∂+∂+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂=∂22cos cos os sin cos r r u r u u r r r
u θθ
ρθθθρθθρρθθ∂-∂∂+∂+
z u w z z
ρρ∂∂=∂∂ 而在圆柱坐标系下，其形式为：
110111r r r z z u u r u r r r r u u u u t r z t r r z
r
θθρρρθθρρρρρρ∂∂∂∂∂∂+++∂∂+=+++=∂∂∂∂∂∂∂∂，即： 10r z u u r u r t r r z θ
ρρρρθ
∂∂∂∂⎛⎫
+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
对于球坐标系，显然更加复杂一些。

坐标曲线121,,q r q q θφ→→→
o
r 纬线
经线
1()q 2()
q ,r r
e u ,e u θθ
半径线 θ φ3()q ,e u φ
φ
(1)球坐标系与直角坐标系； （2）球坐标系
球坐标系中：2
2
2
2
r x y z =++，
θ=，arctan y
x φ=，
cos z r θ=，sin cos x r θφ=，sin sin y r θφ=
cos φ=
sin φ=
222222sin cos r r x r x y z r x x x r θφ∂∂=++⇒=⇒==∂∂，同理s i n s i n r y
θφ∂=∂，cos r
z
θ∂=∂ 2211
arctan tan sec tan y y y y x x x x x x x
φφφφφ∂=⇒=⇒=-=-=-∂， 2sin 1sin cos cos sin cos sin x r r φφφ
φφθφθ⎛⎫∂⇒
=-=- ⎪∂⎝⎭。

同理可得，cos sin y r φφθ∂=∂，0z φ∂=∂
2tan sec x θθθθ∂=⇒=
⇒==∂
21cos cos cos cos cos x r r θθφθφθ∂⇒
==∂。

同理可得，cos sin y r
θθφ∂=∂，sin z r θ
θ∂=-∂ 坐标变换关系：
sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos 0cos sin 0T
r r u u u v u u w u u θθφφθφθφθθφθφφθφθφθθφθφφφφ
θθ
⎧⎫⎧⎫
-⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢
⎥⎢
⎥=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬
⎢⎥
⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥--⎩⎭⎣⎦
⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
()sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin r u u r u u u u u x r x x x r r r
u u u r r r θφρρρφρθρρφρθφ
θφφθφθθφθφθφρθφρθφρφθφθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫
∂∂∂=-++- ⎪∂∂∂⎝
⎭
()cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin cos sin cos sin r v v r v v v v v y r y y y r r r u u u r r r θφρρρφρθρφρθφρθφφθθφθ
φθφθφρθφρθφρφθφθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫
∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂⎝⎭
()sin cos sin cos cos sin 0r w w r w w w w z r z z z r r
u u r r θρρρφρθρρθ
θφθθθθθρρθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛
⎫=--+ ⎪∂∂⎝⎭
此过程非常繁琐，可以借助Matlab 或Mathematica 软件来推导，如在Mathematica 软件中，
编制代码：
a=pur[r,ct,fa] Sin[ct] Cos[fa]+puc[r,ct,fa] Cos[ct] Cos[fa]-puf[r,ct,fa] Sin[fa]
da=Sin[ct] Cos[fa] D[a,r]-Sin[fa]/r/Sin[ct] D[a,fa]+Cos[ct] Cos[fa]/r D[a,ct]
b=pur[r,ct,fa] Sin[ct] Sin[fa]+puc[r,ct,fa] Cos[ct] Sin[fa]+puf[r,ct,fa] Cos[fa]
db=Sin[ct] Sin[fa] D[b,r]+Cos[fa]/r/Sin[ct] D[b,fa]+Cos[ct] Sin[fa]/r D[b,ct]
c=pur[r,ct,fa] Cos[ct] -puc[r,ct,fa] Sin[ct] dc=Cos[ct] D[c,r]-Sin[ct]/r D[c,ct] Expand[TrigReduce[da+db+dc]] 以上程序中()()[],,,,pur r,ct,fa r r u r u r ρθφρθφ→→都是的函数，D[a,r]表示a 对r 的偏导
数。

最后输出
u v w
x y z
ρρρ∂∂∂++
∂∂∂的结果为：
即：
2csc 1r r
u ctg u u u u r r r r r
φθθρθρρρρθφθ∂∂∂++++
∂∂∂，因此球坐标系下的连续性方程为：
2110sin r r v v ctg v v v t r r r r r ϕϕθρρϕρρρρϕϕθ∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂
可想而知，若是矢量形式和张量形式的控制方程，要想通过坐标变换的方法将直角坐标
系下的控制方程转换为圆柱坐标系或球坐标系或一般正交曲线坐标系下的形式是非常繁琐的。

若通过张量的知识，则较容易地得出不同坐标下的控制方程分量形式。

而且不用考虑几
何上的繁琐关系。

仍然以上面的连续性方程为例。

若已知直角坐标系下的连续性方程形式为：
0u v w
t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂，则其可以写成张量形式：
()0u t
ρ
ρ∂+∇⋅=∂，而其分量在不同坐标系下可以做如下推导。

显然，在直角坐标系中： 0i j j i
e u e t x ρρ∂∂+⋅=∂∂
()0j i j i u e e t x ρρ∂∂+=∂∂
i e 、j e 为正交向量，()0j ij i
u t
x ρρδ∂∂+
=∂∂
()0i i
u t x ρρ∂∂+=∂∂ 即：
()()()0u v w t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 一般正交曲线坐标系下：
()()0i j j i
e u e t H q ρρ∂∂+⋅=∂∂
()()0j j i j j i i i u e e e u e t H q H q ρρρ∂∂∂+⋅+⋅=∂∂∂
()0i j i ijk k i
u u e e t H q ρρρ∂∂++⋅Γ=∂∂
()0i j iji i
u u t H q ρρρ∂∂++Γ=∂∂
()1122330i i i i i i i i
u u u u t H q ρρρρρ∂∂++Γ+Γ+Γ=∂∂
[]31
21111212313112233
u u u u t H q H q H q ρρρρρ∂∂∂∂++++Γ+Γ+Γ∂∂∂∂ [][]212122232331312323330u u ρρ+Γ+Γ+Γ+Γ+Γ+Γ= 由于LnH αβαβαΓ=∂，得：
[]31
211213112233
u u u u LnH LnH t H q H q H q ρρρρρ∂∂∂∂++++∂+∂∂∂∂∂ [][]22123331320u LnH LnH u LnH LnH ρρ+∂+∂+∂+∂=
331221112233211
31111u H u u H u t H q H q H q H H q H H q ρρρρρ⎡⎤
∂∂∂∂∂∂+++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦ 31122312232213323311110H H H H u u H H q H H q H H q H H q ρρ⎡⎤⎡⎤
∂∂∂∂++++=⎢⎥⎢
⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦
33112
1221211211311221223223331233
1332330H H u u H u u u H u t H q H H q H H q H q H H q H H q u u u H H H q H H q H H q ρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂++++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦
⎡⎤∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂⎣⎦
整理可得：
()()()12321331212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
柱坐标系下，可以利用上式展开得
[]11213r z
u u u u LnH LnH t r r z
θρρρρρθ∂∂∂∂++++∂+∂∂∂∂∂ [][]22123331320u LnH LnH u LnH LnH ρρ+∂+∂+∂+∂=
1r z r u u u Lnr Ln u t r r z r
r θρρρρρθ∂∂∂∂∂∂⎡⎤
+++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦ 1110z Ln Ln Ln Lnr u u r r z z θρρθθ∂∂∂∂⎡⎤
⎡⎤
++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦
10r z r u u u u t r r z r
θρρρρρθ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂
()()()1110r z u r u u r t r r r r z
θρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ ()()()10r z u r u u r t r r z θρρρρθ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
若采用散度公式，则更容易给出结果。

一般正交曲线坐标系下散度为
2311321231231231
H H v H H v H H v v divv H H H q q q ⎡⎤∂∂∂∇⋅==
++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
可得一般正交曲线坐标系下：
()()()1232133121231231
0v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
在圆柱坐标系下，1231,,1r z H H H H r H H θ======，1q r →，2q θ→，3q z →，则柱坐标系下散度公式：
1r z v rv rv v divv r r z θθ∂∂∂⎡⎤∇⋅==++⎢⎥∂∂∂⎣⎦，代入
()0v t ρ
ρ∂+∇⋅=∂得： 10r z v rv rv t r r z θρρρρθ∂∂∂∂⎡⎤
+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
同理，在球坐标系下，r r v v e v e v e θθϕϕ=++，1,,sin r H H r H r ϕθϕ===，
123,,q r q q ϕθ===，可得球坐标系下其分量形式的动量方程：
22sin sin 10sin r v r v r v r t r r ϕθρϕρρϕρϕϕθ∂⎡⎤∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
（3）.球坐标系
(1)球坐标系与直角坐标系；（2）球坐标系 （3）微元体
图2.7、球坐标系
空间点的坐标为()φθ,,r ，坐标曲线为121,,q r q q θφ→→→，需要满足右手规则，因此
顺序不能改变。

矢径的表达式为k r j r i r r
θφθφθcos sin sin cos sin ++=
r ：p 点到o 点的距离；
θ：op 直线与oz 直线的夹角；
φ：ozp 平面与ozx 平面的夹角。

r 经线1()q ,r r
e u ,e u θθ
φ,e u φφ
φ
r r
e e θ
e φ
坐标的取值范围：[0,)r =∞，[0,)θπ=，[0,2)φπ= 坐标曲面：
=r 常数，以o 为心的球面，
=θ常数，以o 为顶点，oz 为轴的圆锥面，
=φ常数，以oz 为界的半平面。

坐标曲线
r ：由o 点发出的射线， θ：以o 为心，r 为半径的圆周，
φ：圆心在z 轴，平行于oxy 平面的圆周。

由定义有
k j i r r
θφθφθcos sin sin cos sin ++=∂∂ k r j r i r r
θφθφθθsin sin cos cos cos -+=∂∂ j r i r r
φθφθφ
cos sin sin sin +-=∂∂
因此拉梅系数分别为：
1=∂∂=r r H r ；r r
H =∂∂=θθ
；θφ
φsin r r H =∂∂= 。

球坐标系下的基矢量可用直角坐标系的基矢量表示为：
sin cos sin sin cos 1cos cos cos sin sin sin cos sin r r r r
e i j k H r r r r e i j k H r r r e i j H r θ
θφ
φθφθφθθφθφθθθφφφθφ⎧∂∂===++⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪===+-⎨∂∂⎪⎪∂∂===-+⎪∂∂⎪⎩
即：
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ
⎧⎫
⎧⎫⎡⎤⎪⎪
⎪⎪⎢
⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
可以验证三个基矢量相互垂直。

坐标变换矩阵（也可通过()()i
j
ij q H q H '∂'∂=
β求出）为：
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0θφθφθβθφ
θφ
θφ
φ
⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，即(),,i ij j e r e θϕβ= 因此，可以通过类似的方法求出球坐标系下矢量和张量的分量在直角坐标系的相互表达式。

如速度分量：()()()()(),,,,,,,,,,i i i i i ij j u r e r u x y z e u r u x y z θϕθϕθϕβ'''=→=
sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos 0sin cos r u u u v w u v u v w w u v u θφθφ
θφθθφθφθθφθφθθφθφθφφ
φφ⎧⎫++⎡⎤⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎢
⎥=-=+-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥--+⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
⎩⎭ sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos 0cos sin 0T
r r u u u v u u w u u θθφφθφ
θφθθφθφφθφθφθθφθφφφφ
θθ
⎧⎫⎧⎫
-⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎢
⎥⎢
⎥=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥
⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥--⎩⎭⎣
⎦
⎣
⎦⎩⎭⎩⎭
sin cos sin sin cos 1cos cos cos sin sin sin cos sin r r r r
e i j k H r r r r e i j k H r r r
e i j H r θθφφθφθφθθφθφθθθφφφθφ⎧∂∂=
==++⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪
===+-⎨∂∂⎪⎪∂∂===-+⎪∂∂⎪⎩
基矢量对坐标的导数：
0r
e r ∂=∂，0e r θ∂=∂，0e r
φ∂=∂ cos cos cos sin sin r
e i j k e θθφθφθθ
∂=+-=∂， sin cos sin sin cos r e i j k e θ
θφθφθθ∂=---=-∂，0e φθ∂=∂ sin sin sin cos cos sin r
e i j k e φθφθφθθφ
∂=-++=∂， cos sin cos cos sin cos e i j k e θ
φθφθφθθφ
∂=-+-=∂， cos sin sin cos r e i j e e φθφφθθφ
∂=--=--∂。