2024-2025学年北师大版数学九年级上册第一章 特殊平行四边形 实践操作一 尺规作图
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第一章 特殊平行四边形 实践操作一 尺规作图
创新作业本·数学九年级上（北师大版）
1．如图，已知△ABC. (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)． ①作线段AC的垂直平分线，交AC于点O； ②连接OB，在BO的延长线上取一点D，使OD＝OB，连接 AD，CD. (2) 在 (1) 的 条 件 下 ， 若 AC ＝ 2OB ， 试 判 断 四 边 形 ABCD 的 形 状，并说明理由． 解：(1)如图所示，点O，D即为所求．
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(2)①∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. ∵点 C 是点 A 关于 BD 的对称点， ∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形； ②过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝12BD＝5. ∵点 E 是 BC 的中点，∴BC＝2OE＝13， ∴OC＝ BC2－OB2＝12，∴OA＝12.
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(2)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD. ∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵DF⊥AE，∴∠AGD＝90°， ∴∠ADF＋∠DAE＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE.
∠ABE＝∠DAF， 在△ ABE 和△ DAF 中，AB＝DA，
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(2)∵四边形 BDEF 是菱形， ∴∠EBD＝12∠FBD＝30°，DF⊥BE. ∵BE＝6，∴DF＝2× 33×3＝2 3， ∴S 菱形 BDEF＝12BE·DF＝12×6×2 3＝6 3.
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3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE. (1) 用 尺 规 完 成 以 下 基 本 作 图 ： 过 点 D 作 AE 的 垂 线 ， 分 别 与 AB，AE交于点F，G(不写作法和证明，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图形中，求证：AE＝DF. 解：(1)如图所示，DF即为所求．
∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AE＝DF.
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4．如图，在△ABD 中，∠ABD＝∠ADB. (1)作点 A 关于 BD 的对称点 C(要求：尺规作图，不写作法，保 留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O. ①求证：四边形 ABCD 是菱形； ②点 E 为 BC 的中点，连接 OE.若 OE＝123，BD＝10，求点 E 到 AD 的距离． 解：(1)如图所示，点C即为所求．
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∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝BC＝13， 1
∴BF＝2AACD·BD＝11230. ∵平行线间的距离相等，∴Leabharlann E 到 AD 的距离是11230.
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(2)四边形ABCD为矩形，理由如下： ∵OB是线段AC的垂直平分线， ∴AO＝OC. ∵AC＝2BO，OD＝OB， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴四边形ABCD为矩形．
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2．(1)如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点 D，E，F，使得四边形BDEF为菱形(保留作图痕迹，不写作 法)． (2)在(1)的菱形BDEF中，若∠FBD＝60°，BE＝6，求菱形 BDEF的面积． 解：(1)如图所示，点D，E，F即为所求．
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1．如图，已知△ABC. (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)． ①作线段AC的垂直平分线，交AC于点O； ②连接OB，在BO的延长线上取一点D，使OD＝OB，连接 AD，CD. (2) 在 (1) 的 条 件 下 ， 若 AC ＝ 2OB ， 试 判 断 四 边 形 ABCD 的 形 状，并说明理由． 解：(1)如图所示，点O，D即为所求．
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(2)①∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. ∵点 C 是点 A 关于 BD 的对称点， ∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形； ②过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝12BD＝5. ∵点 E 是 BC 的中点，∴BC＝2OE＝13， ∴OC＝ BC2－OB2＝12，∴OA＝12.
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(2)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD. ∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵DF⊥AE，∴∠AGD＝90°， ∴∠ADF＋∠DAE＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE.
∠ABE＝∠DAF， 在△ ABE 和△ DAF 中，AB＝DA，
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(2)∵四边形 BDEF 是菱形， ∴∠EBD＝12∠FBD＝30°，DF⊥BE. ∵BE＝6，∴DF＝2× 33×3＝2 3， ∴S 菱形 BDEF＝12BE·DF＝12×6×2 3＝6 3.
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3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE. (1) 用 尺 规 完 成 以 下 基 本 作 图 ： 过 点 D 作 AE 的 垂 线 ， 分 别 与 AB，AE交于点F，G(不写作法和证明，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图形中，求证：AE＝DF. 解：(1)如图所示，DF即为所求．
∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AE＝DF.
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4．如图，在△ABD 中，∠ABD＝∠ADB. (1)作点 A 关于 BD 的对称点 C(要求：尺规作图，不写作法，保 留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O. ①求证：四边形 ABCD 是菱形； ②点 E 为 BC 的中点，连接 OE.若 OE＝123，BD＝10，求点 E 到 AD 的距离． 解：(1)如图所示，点C即为所求．
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∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝BC＝13， 1
∴BF＝2AACD·BD＝11230. ∵平行线间的距离相等，∴Leabharlann E 到 AD 的距离是11230.
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(2)四边形ABCD为矩形，理由如下： ∵OB是线段AC的垂直平分线， ∴AO＝OC. ∵AC＝2BO，OD＝OB， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴四边形ABCD为矩形．
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2．(1)如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点 D，E，F，使得四边形BDEF为菱形(保留作图痕迹，不写作 法)． (2)在(1)的菱形BDEF中，若∠FBD＝60°，BE＝6，求菱形 BDEF的面积． 解：(1)如图所示，点D，E，F即为所求．