2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2-3-1 双曲线及其

2．3.1双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一双曲线的定义
思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的____________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．________________叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的________；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的________________(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的________．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是________________．
知识点二双曲线的标准方程
思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？
思考2 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a ，b ，c 的关系有何不同？
梳理 (1)两种形式的标准方程
(2)12项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在________上；若y 2项的系数为正，那么焦点在________上．
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．
(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b 2＝________与椭圆中的b 2＝________相区别．
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题 引申探究
本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．
例1 已知双曲线x 29－y 2
16＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝
60°，求△F 1PF 2的面积．
跟踪训练1 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线
上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．
命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程 例2 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )
A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3
B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4
C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5
D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4
(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 反思与感悟 双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系．
②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)．
③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c .
④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
跟踪训练2 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；
④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．
类型二 待定系数法求双曲线的标准方程
例3 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线x 216－y 2
4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (3，154)，Q (－16
3
，5)；
(3)与椭圆x 225＋y 2
5＝1共焦点且过点(32，2)．
类型三 双曲线定义的综合运用
例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，
求证：tan α＝n
b .
反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．
(2)双曲线与椭圆的比较如下表：
有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题．
跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的
方程．
(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P
是椭圆C 上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证
明．
1．若双曲线E ：x 29－y 2
16＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，
则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
24
＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，
则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48
3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．
4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________．
5．已知双曲线x 29－y 2
16
＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．
1．双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
答案精析
问题导学 知识点一 思考
如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．
梳理 (1)绝对值 这两个定点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F 1F 2的中垂线 知识点二
思考1 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得
(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a .①
(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令c 2
－a 2
＝b 2
，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．②
(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略) 思考2 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．
梳理 (1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－
c )，F 2(0，
c ) a 2＋b 2＝c 2
(2)x 轴 y 轴 (4)c 2－a 2 a 2－c 2 题型探究
例1 解 由x 29－y 2
16＝1，
得a ＝3，b ＝4，c ＝5.
由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，
所以S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2
＝12×64×3
2＝16 3. 引申探究
解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100，② 将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以S △F 1PF 2＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝16.
跟踪训练1 解 在△MF 1F 2中，由余弦定理， 得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos θ.①
∵|F 1F 2|2＝4c 2，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|(1－cos θ)， ∴|MF 1|·|MF 2|＝2b 21－cos θ
，
∴S △MF 1F 2＝12|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝b 2sin θ
1－cos θ
＝b 2·2sin θ2·cos
θ
21－(1－2sin 2θ2)＝b 2
tan
θ2.
例2 (1)A (2)x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)
解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．
(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，
即|MC 2|－|MC 1|＝2，表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)．
跟踪训练2 ②④
例3 解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则
⎩
⎨⎧
32a 2－9
b 2
＝1，25a 2－81
16b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝16，
b 2＝9，
∴双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4
b 2＝1.
又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线方程为x 212－y 2
8
＝1.
方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 2
4＋k ＝1(－4<k <16)，
将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 2
8
＝1.
跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－4
6－a 2
＝1，
解得a 2＝5或a 2＝30(舍)．
∴b 2
＝1.∴双曲线的标准方程为x 25
－y 2
＝1.
(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵P (3，154)，Q (－16
3
，5)均在双曲线上，
∴⎩⎨⎧
9m ＋225
16
n ＝1，
256
9m ＋25n ＝1，
解得⎩⎨⎧
m ＝－116
，
n ＝1
9.
∴双曲线的标准方程为y 29－x 2
16
＝1.
(3)椭圆x 225＋y 2
5＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，
可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝20.
又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2
b 2＝1.
∴a 2＝20－210，b 2＝210.
∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2
210＝1.
例4 证明
如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，
∴cos 2α＝r 21＋r 22－(2c )
2
2r 1r 2
＝(r 1－r 2)2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2
＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n 2r 1r 2＋1，
∴1－cos 2α＝2n 2
r 1r 2.
∴sin α＝
n r 1r 2
. 则在△PF 1F 2中， 对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，
cos 2α＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2
＝(r 1＋r 2)2－4c 2－2r 1r 22r 1r 2
＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b 2
r 1r 2
－1， ∴1＋cos 2α＝2b 2r 1r 2，∴cos α＝b r 1r 2
， ∴tan α＝n b
. 跟踪训练4 (1)解 椭圆x 227＋y 2
36
＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)， 故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，42a
2－(15)2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝5. 故双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1. (2)解 类似的性质如下： 若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值． 其证明过程如下：
设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，
其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a
2(m 2－a 2)． ∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m
. 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a
2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2
＝b 2a 2(x 2－m 2)． ∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2
a
2. 故k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值． 当堂训练
x2 4－y2
12＝1 4.－6或6 5.
34
3
1．B 2.C 3.。