讲课初高中数学教材衔接练习题

一元二次不等式及（含参数）二次函数
1.（1）不等式23100x x -++<的解集是___________
（2）不等式25311x x -<-+-<的解集是_________.
（3）不等式
211x x <-的解集是____________________
2. 已知不等式2(1)0x a x a -++<，
（1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是_______________；
（2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是___________；
（3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.
3. 解不等式－1<x 2+2x-1≤2。

4. 已知函数6()11
f x x =
-+，求f （x ）的定义域。

5.解关于x 的不等式：23(1)90()mx m x m R -++>∈
6. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎭
⎫0，12成立，求 a 的取值范围。

7. 若函数268kx kx k -++的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

8. 不等式04
9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R ,求实数m 的取值范围。

9.函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

10. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

11. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。

12. 已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。

13. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。

参考答案及详解
1.（1）____ 5 2x x ><-或 _______（2）____(1,1)(2,4)-⋃_____.（3）_(1,1)-____
2．已知不等式2
(1)0x a x a -++<，（1）__3____；（2）__(1,)+∞_______；（3）__[3,)+∞___。

3. 解原不等式可化为22211,212,x x x x ⎧+->-⎪⎨+-≤⎪⎩即2220,230,x x x x ⎧+>⎪⎨+-≤⎪⎩⇔(2)0,(3)(1)0,x x x x +>⎧⎨+-≤⎩⇔20,3 1.x x <->⎧
⎨-≤≤⎩或x
4. 由
6101
x -≥+，即501x x -≤+，得15x -<≤， 5.解：(1) 当0m =时 390x -+> ∴3x <
(2) 当0m ≠时 0)3)(3(>--x m
x m 若0m <， 则 33<<x m
若0m >，则 ①当01m <<时，33<>x m x 或 ②当1m = 时，3x ≠ ③当1m >时，3x >或m
x 3<综上所述：（略） 6. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2，若－a 2≥12
，即a ≤－1时，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是减函数， 应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1 若－a 2
≤0，即a ≥0时，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0 若0≤－a 2≤12，即－1≤a ≤0，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1≤a ≤0.综上，有－52
≤a . 7. ∵函数f(x)的定义域为R,∴ 2
68kx kx k -++≥0的解集为R 。

∴ g(x)= 268kx kx k -++函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。

当k=0时，g(x)=8,显然满足；当k ≠0时，函数g(x)的图像是抛物线，要使抛物线全在x 轴上方或与x 轴相切且开口向上，必须且只需： 20,364(8)0,k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩
解得0<k ≤1。

综上，k 的取值范围是[0,1]。

8. .解：2282002(1)940x x mx m x m -+>∴++++<恒成立,须恒成立
当0m =时，240x +<并不恒成立；
当0m ≠时，则204(1)4(94)0m m m m <⎧⎨∆=+-+<⎩得011,42
m m m <⎧⎪⎨><-⎪⎩或 12m ∴<- 9. 解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，
其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐
标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

10. 解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，， 且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥内，如图2所示。

函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194
⎛⎝ ⎫⎭⎪=。

11. 解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]
-11，上的二次函数，将f x ()配方得： f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422；二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2；顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2
342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]
-11，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。

12. 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，其对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图象开口方向由a 决定。

很明显，其顶点横坐标在区间[]
-41，上。

若a <0，函数图象开口向下，如图4所示，当x =-2时，函数取得最大值5
即f a a ()-=--=24152；解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去
若a >0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x =1时，函数取得最大值5
即f a a ()15152=+-=；解得a a ==-16或
故a a ==-16()舍去
综上讨论，函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或
解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a 变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a 变化的。

13. 解：函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1左侧时，有1<t 。

当x t =时，函数取得最小值 f x f t t ()()()min ==-+112。

如图7所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，
即01≤≤t 。

当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。

如图8所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。

当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112
综上讨论，f x t t t t t ()(),,min =-+>≤≤+<⎧⎨⎪⎩
⎪1111011022。