上数学勾股定理知识点

上数学勾股定理知识点(总8
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勾股定理
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数
（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
①确定最大边（不妨设为c）；
②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：
①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③用于证明线段平方关系的问题；
④利用勾股定理，作出长为n的线段。

二、平方根：（11——19的平方）
1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记
作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。

（ a 叫被开方数， “
”是二次根号，这里“”，亦可写成“2”）
②0只有一个平方根，就是0本身。

算术平方根是0。

③负数没有平方根。

3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。

4、（1） 平方根是它本身的数是零。

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

（3）()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a
（4）一个数的两个平方根之和为0
三、立方根：（1——9的立方）
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 3
=a ，那么x 就叫做a 的立方根。

记作“3a ”。

2、立方根的性质：
①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a -
③a a a ==3333)(
3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，-1。

5、平方根和立方根的区别：
（1）被开方数的取值范围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：
不同点：
（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值
范围不同：±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；
（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0．
共同点：0的立方根和平方根都是0．
四、实数：
1、定义：有理数和无理数统称为实数
无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。

有理数：有限小数或无限循环小数
注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
2、实数的分类：
实数
有理数
正有理数
零
负有理数
有限小数或无限循环小数无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。

实数
③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。

④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到
精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。

取近似值的方法——四舍五入法
4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法：
把一个数记为做科学记数法。

是整数）的形式，就叫其中n ,10a 1(10a n <≤⨯
6、实数和数轴：
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是一一对应的。

一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2＋
b 2＝
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

A B
C
a b c
弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数
（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
①确定最大边（不妨设为c）；
②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
5.注意：
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：
①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③用于证明线段平方关系的问题；
④利用勾股定理，作出长为n的线段。

知识归纳
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222
+=
a b c 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证． c b a
H
G
F E
D C
B
A
方法二：
b a
c b a c
c
a b c a b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++
所以222a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
a b c
c
b a E D
C
B A
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC ∆中，90C ∠=︒
，则c =
，b =
，a
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222
a b c
+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）
2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应
设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
常见图形：
A B C 30°
D C
B A A
D B C
C
A
B D
10.勾股定理及其逆定理的常考题型
题型一：直接考查勾股定理
题型二：应用勾股定理建立方程
题型三：实际问题中应用勾股定理
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用。