甘肃省张掖市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷(解析版)

2018-2019学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合0，，，则
A. B. C. D. 0，
【答案】B
【解析】解：0，，，
．
故选：B．
找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2. 已知函数的定义域是，那么的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：函数的定义域是，
，
解得，
故选：C．
根据函数的定义域是，而相当于中的x，因此得到，利用指数函数的单调性即可求得结果．此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性，体现了整体代换的思想，是一道基础题．
3. 设，则的值为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】解：，故选C．
考查对分段函数的理解程度，，所以．
此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．
4. 三个数，，的从小到大的顺序是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：，
，
，
．
故选：A．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
5. 过原点和直线：与：的交点的直线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：联立，解得．
．
，化为．
故选：C．
联立，解得交点再利用点斜式即可得出．
本题考查了直线的交点、点斜式，属于基础题．
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五
尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A. 14斛
B. 22斛
C. 36斛
D. 66斛
【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，则，
解得，
故米堆的体积为，
斛米的体积约为立方，
，
故选：B．
根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7. 设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可得，函数在上是增函数，
再根据函数的图象关于直线对称，可得函数在上是减函数．
故离直线越近的点，函数值越小，，，
，
故选：B．
由题意可得，离直线越近的点，函数值越小，由此判断答案．
本题主要考查函数图象的对称性的应用，利用函数的单调性比较及各式子的大小，属于中档题．
8. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面
A. 必定都不是直角三角形
B. 至多有一个直角三角形
C. 至多有两个直角三角形
D. 可能都是直角三角形
【答案】D
【解析】解：如果一个三棱锥的底面是直角三角形，如图，
面BCD，，，
那么它的三个侧面都是直角三角形．
故选：D．
借助于特殊的三棱锥，如果一个三棱锥的底面是直角三角形，如图，面BCD，，
，得出它的三个侧面都是直角三角形从而得出正确选项．
本小题主要考查棱锥的结构特征、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力，属于基础题．
9. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，
则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，
则在上是增函数，
，
解可得：，
即a的取值范围为
故选：C．
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在上是增函数，则有
，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，关键是得到关于x的不等式．
10. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成
的角等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：延长CA到D，使得，则为平行四边形，
就是异面直线与所成的角，
又，
则三角形为等边三角形，
故选：C．
延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成的角，而三角形为等边三角形，可求得此角．
本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
11. 在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，设，，，平面
，
故平面面，交线为，在面内过作于H，
则易知的长即是点到截面的距离，在中，，
，由，可得，
故选：C．
设，根据线面垂直的判定定理可知平面，再根据面面垂直的判定定理可知故平面面，交线为，在面内过作于H，则的长即是点到截面的距离，在中，利用等面积法求出即可．
本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
12. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，
则b的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
，
由，得，
设，
若，则，，
则，
若，则，，
则
，
若，，，
则．
即，
作出函数的图象如图：
当时，，
当时，，
故当时，，有两个交点，
当时，，有无数个交点，
由图象知要使函数恰有4个零点，
即恰有4个根，
则满足，
故选：D．
求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求
解即可．
本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若且，则函数的图象恒过定点______．
【答案】
【解析】解：根据且，函数，令指数，求得，，可得函数的图象经过定点，
故答案为：．
令指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
14. 当动点P在圆上运动时，它与定点连线的中点Q的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】解：设中点，则动点，
在圆上，
，
故答案为：．
根据已知，设出中点Q的坐标，根据中点坐标公式求出点P的坐标，根据点P在圆上，代入圆的方程即可求得中点Q的轨迹方程．
此题是个基础题考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．
15. 已知函数，则______．
【答案】2
【解析】解：函数，
则
令，
，
是奇函数，
，
即
故答案为：2
利用对数函数是奇函数以及对数值，直接化简求解即可．
本题考查函数的奇偶性，考查分析问题解决问题的能力．
16. 设三棱锥的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
若，，则H是的垂心；
若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是的垂心；
若，H是AC的中点，则；
若，则H是的外心，其中正确命题的命题是______．
【答案】
【解析】解：若，，因为底面ABC，所以，同理，
可得H是的垂心，正确．
若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出，同理，可得H是的垂
心，正确．
若，H是AC的中点，容易推出 ≌ ≌ ，则；
正确．
设三棱锥的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
若，，则H是的垂心；
若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是的垂心；
若，H是AC的中点，则；
若，易得，则H是的外心，正确．
故答案为：
根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可．
本题考查棱锥的结构特征，考查学生发现问题解决问题的能力，三垂线定理的应用，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值
范围．
【答案】解：设，
可得，；或，．
即且；或且，
可得或，
综上可得m的范围是
【解析】设，可得，；或，，解不等式可得所求范围．
本题考查二次方程的实根的分布，注意结合二次函数的图象，考查运算能力，属于基础题．
18. 二次函数满足且．
求的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】解：由题意，设，
则．
从而，，
又，
即，
又，
．
由及，
令，，
则当时，为减函数，
当时，，
从而要使不等式恒成立，则．
故得实数m的取值范围是．
【解析】设，根据且利用待定系数法可得的解析式；
分离参数，转化为求解二次函数的最小值问题可得实数m的取值范围．
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法的运用和计算能力属于基础题．
19. 如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD
的中点．
求证：平面EAC．
求证：平面PCD
【答案】证明：连结BD，交AC于O，连结OE，
四棱锥的底面ABCD是矩形，E为侧棱PD的中点．
是AC的中点，，
平面EAC，平面EAC，
平面EAC．
侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，
，
四棱锥的底面ABCD是矩形，侧面底面ABCD，
，平面PAD，
，
，平面PCD．
【解析】连结BD，交AC于O，连结OE，则，由此能证明平面EAC．
推导出，，从而平面PAD，进而，由此能证明平面PCD．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20. 如图，在底面ABCD为矩形的四棱锥中，平面ABCD，
，E，F分别是PB，PC的中点．
求证：平面平面AEFD
求直线AF与平面ABP所成角的正切值的大小．
【答案】证明：在底面ABCD为矩形的四棱锥中，平面ABCD，
，E，F分别是PB，PC的中点，
，，
，平面ABP，
平面ADEF，
平面平面AEFD．
解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，0，，4，，2，，0，，
2，，平面APB的法向量1，，
设直线AF与平面ABP所成角为，
则，
．
直线AF与平面ABP所成角的正切值为．
【解析】推导出，，从而平面ABP，由此能证明平面平面AEFD．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ABP 所成角的正切值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
21. 已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，直线l的方程为
．
求圆C的方程；
证明：直线l与圆C恒相交；
求直线l被圆C截得的最短弦长．
【答案】解：设圆C的方程为分
由条件，得，解得，
圆C的方程为分
由，得，
令，得，即直线l过定点，分
由，知点在圆内，
直线l与圆C恒相交分
圆心，半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短．
直线l被圆C截得的最短弦长为分
【解析】根据条件，利用待定系数法求出圆的方程．
根据直线过定点，而在圆的内部，从而得到直线l与圆C恒相交．
圆心，半径为5，由题意知，当点M满足CN垂直于直线l时，弦长最短，利用弦长公式求得结果．
本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．
22. 设，
若在上的最大值是，求a的值；
若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】解：函数可能取得最大值为，，
当为最大值时，求得，由二次函数的最大值位置，与在处取得最大值矛盾，故为最大值不成立；
当为最大值时，，故处，取不到最大值；
当为最大值时，由，可得，或，
当时，不在内，故舍去．
综上知，；
依题意，
时，，
所以，解得，；
时，不符题意舍去；
时，最小值为或，其中，而，不符合题意
，也不符合题意
综上，．
【解析】函数可能取得最大值为，，，利用在上的最大值是，求a的值，验证即可得到结论；
对于任意，总存在，使得成立，等价于，分类讨论，即可求得a的取值范围．
本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。