第三章连续型随机变量一、分布函数...

第三章 连续型随机变量
一、分布函数的概念
定义：定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数)(ωξ，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称
),(),)(()(∞-∞∈<=x x P x F ωξ
是随机变量)(ωξ的概率分布函数，简称为分布函数或分布。

分布函数实质上就是事件)(x <ξ的概率。

二、分布函数的性质 由概率的性质可知：
1） 非负性： 1)(0),,(≤≤+∞-∞∈∀x F x 2） 单调性： 若21x x <则）
（）（21x F x F ≤ 3） 若）（）（）（则122121,x F x F x x P x x -=<≤<ξ )()(12x P x P <≥<ξξ )()(12x x <⊃<ξξ 进一步 )()()(1221x F x F x x P -=<≤ξ
4） 极限性：1)()(lim 0lim
=+∞==∞-=+∞
→-∞→F x F F x F x x ，）（）（ 证：因为）单调（且x F x F 1)(0≤≤，所以
)
(lim )(lim )
(lim )(lim n F x F m F x F n x m x +∞
→+∞
→-∞→-∞→==
都存在，又由概率的完全可加性有
)
1)(()1)(())((1+<≤∑=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+<≤=+∞<<-∞=∞
-∞
=∞-∞=n n P n w n U P P n n ωξξωξ )(lim )(lim )1)((lim m F n F i i P m n n
m
i m n -∞
→+∞
→=-∞
→+∞→-=+<≤∑=ωξ
所以必有
)(lim ,1)(lim ==-∞
→+∞
→m F n F m n
即
0)(lim ,1)(lim ==-∞
→+∞
→x F x F x x
5） 左连续性：)()0(x F x F =-
证：因为)(x F 是单调有界函数，其任一点的左极限)0(-x F 必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列
)(,21∞→→<<<<n x x x x x n n
证明
)()(lim x F x F n n =∞
→
成立即可。

这时，有
)
)(())(())(()()(111111+∞
=+∞=<≤∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=<≤=-n n n n n n x x P x x U P x x P x F x F ωξωξωξ[][])()(lim )()(lim )()(111111
x F x F x F x F x F x F n n n n n n n -=-=-∑=+∞
→+∞
→+∞
=
由此可得)0()(lim
.)(1-==+∞
→x F x F x F n n 2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。

因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。

知道了随机变量)(ωξ的分布函数)(x F ，不仅掌握了))((x <ωξ的概率，而且还可以计算下述概率：
)(1)(1)(x F x P x P -=<-=≥ξξ
)0()(+=≤x F x P ξ )0(1)(+-=>x F x P ξ )
()0()(x F x F x P -+==ξ
)()0()(1221x F x F x x P -+=≤≤ξ
)0()()(1221+-=<<x F x F x x P ξ
)0()0()(1221+-+=≤<x F x F x x P ξ
由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由)(x F 算出来，因此)
(x F
全面地描述了随机变量)(ωξ的统计规律。

既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。

不过，对离散型随机变量来说，用的教多的还是分布列，那是因为它比较方便的缘故。

三、离散型随机变量的分布函数
设)(ωξ为一个离散型随机变量，它的分布列为
则ξ的分布函数为))(())(()(i x
a a P x P x F i =∑=<=<ωξωξ
对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。

例1、 若ξ服从退化分布，即有
1)(==a P ξ
则ξ的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>=a
x a
x x F ,0,1)( 例2、 若ξ服从两点分布
求ξ的分布函数F （x ）。

解： 当00=<=≤）（）（时，x P x F x ξ
当10≤≤x 时，q P x P x F ===<=）（）（）（0ξξ 当1>x 时，1)1()0()()(==+==<=ξξξP P x P x F 例3、 设ξ的分布列为
求ξ的分布函数)(x F 。

解： 当00=<=≤）（）
（时，x P x F x ξ
当10≤<x 时，3.00===<=）（）（）（ξξP x P x F
当21≤<x 时，7.04.03.010=+==+==<=）（）（）（）（ξξξP P x P x F
当1)2()1()0()()(,2==+=+==<=>ξξξξP P P x P x F x 于是
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧>≤<≤<≤=2
,121,7.010,3.00
,0)(x x x x x F 可以看到，)(x F 是一阶梯状的左连续函数，在)2,1,0( ==k a x k 处有跳跃，其跃度为ξ在k a 处的概率。

例4、设ξ是参数为λ的普哇松分布的随机变量，即
,2,1,0,!
)(==
=-k e k k P k
λλξ
求ξ的分布函数。

解：λλξξ-<<∑∑===<=e k k P x P x F x
k k
x
k !
)()()(
由此，)(x F 是一阶梯状的左连续函数，在)2,1,0( ==k k x 处有跳跃，其跃度为ξ在k 处的概率。

,2,1,0,!
)()()0(==
==-+-k e k k P k F k F k
λλξ
例5、等可能的向区间[]b a ,上投掷质点，求质点坐标ξ的分布函数。

解：设x 为任一实数，当a x ≤时，显然有0)()()(==<=φξP x P x F 当b x a ≤<时，由几何概型可知
a
b a
x a b a x x a P a P x P x F --=--+
=<≤+<=<=0)()()()(ξξξ 当1)()()(=Ω=<=>P x P x F b x ξ时，有 从而
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a
b a x a x x F ,
1,,
0)(
例6、设随机变量ξ的分布函数为+∞<<∞-⋅+=x x B A x F ,arctan )( 求1）常数B A ,；2）)10(<≤ξP 。

解：1）由极限性{
)(1
)(=-∞=+∞F F 得{
2
12
=⋅
-=⋅+π
π
B A B A 从而解{
π
1
21=
=B A
于是
+∞<<-∞+=
x x x F ,arctan 1
21)(π 2）4
1
0arctan 1211arctan 121)0()1()10(=--+=-=<≤ππξF F P
例6．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,
0)(2
x x Ax x x F ，
求：1）常数A ；2）ξ落在⎪⎭
⎫
⎢
⎣
⎡-21,1上的概率。

解：1）处在1)(=x x F 左连续
)1(lim )(lim 012
1
1F A Ax x F F ====-∴-
-→→χχ）（， 故1=A 于是
⎪⎩
⎪
⎨⎧><<≤=1,110,0
,0)(2x x x x x F
2）4
1)1()21()211(=--=<≤-F F P ξ
由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。

§3.2连续型随机变量
一、连续型随机变量的概念 1、定义
定义：设)(ωξ是随机变量，)(x F 是它的分布函数，如果存在函数)(x p ，使对任意的x ，有
⎰∞-=x
dy y p x F )()(
则称)(ωξ为连续型随机变量，相应的)(x F 为连续型分布函数，同时称)(x p 是
)(x F 的概率密度函数或称为密度。

2、密度函数的性质
由分布函数的性质，可验证任一连续型随机变量的密度函数)(x p 必具备下列性质： 1） 非负性：0)(),,(≥+∞-∞∈∀x p x 2）
规范性：⎰+∞
∞-=1)(dx x p
反过来，任意一个定义在R 上的函数)(x p ，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数)(x F 。

密度函数除了具有上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质： 3）连续型随机变量的分布函数)(x F 在R 上连续，且在)(x p 的连续点处，有
)()('x p x F =。

对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此
密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律。

4）设ξ为连续型随机变量，则对任意实数x ，有0)()0()(=-+==x F x F x P ξ
这表明连续型随机变量取单点值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出0)(==x P ξ并不意味着）（x =ξ是不可能事件。

5）对任意21x x <，则
）
（）（）（）（21212121x x P x x P x x P x x P <<=≤≤=≤<=<≤ξξξξ ⎰=-=2
1)(12x x dx x p x F x F ）（）（
这一个结果从几何上来讲，ξ落在区间),(21x x 中的概率恰好等于在区间
),(21x x 上曲线)(x p y =形成的曲边梯形的面积。

同时也可以发现，整个曲线
)(x p y =与x 轴所围成的图形面积为1。

例1、 设随机变量ξ的密度函数为+∞<<-∞+=
x x
c
x p ,1)(2
试求1）常数c ；2)ξ的分布函数；3）)10(≤≤ξP 。

解：1）由密度函数的性质可知⎰+∞∞-=≥1)(,0dx x p c 即π1,112
=
=+⎰∞
+∞-c dx x c
于是密度函数为+∞<<-∞+=
x x x p ,)
1(1
)(2π
2）21arctan 1arctan 1)
1(1)()(2-==+==∞
-∞-∞
-⎰⎰x t dt t dt t p x F x
x
x
πππ 3）4
11arctan 1
)0()1()10(==-=≤≤π
ξF F P
例2、 设随机变量ξ的密度函数为0.0
,0,
0)(>⎩⎨⎧>≤=-λλx ce x x p x
试求1）常数c ；2）分布函数)(x F ；3）)1(≥ξP 。

解：1）由密度函数的性质0≥c
λλ
λλ=∴=-⋅==+∞
-∞
+∞
-∞
+-⎰
⎰c e
c dx ce
dx x p x
x
11,1,1)(0
于是⎩
⎨⎧≤>=-0,00
,)(x x e x p x λλ
2）当0)()(,0==≤⎰∞
-x
dt t P x F x
当x x x
t e dt e dx dt t P x F x λλλ-∞-∞---=+==>⎰⎰⎰10)()(,000
于是⎩⎨⎧>-≤=-0
,10,
0)(x e x x F x λ
3）λξξ-=-=<-=≥e F p P )1(1)1(1)1(
例3、 设连续型随机变量的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>≤<--≤=b x b x a a
b a
x a x x F ,
1,,
0)(， 求它的密度函数)(x p 。

解：因为)()('x p x F =
所以⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤-=其它,
0,1
)(b
x a a b x p 二、几种常用分布 1、
均匀分布
设随机变量ξ的密度函数为
[][]⎪⎩⎪
⎨⎧∉∈-=b a x b a x a
b x p ,,
0,,1
)( 则称ξ服从区间[]b a ,上的均匀分布，记作[]b a U ,~ξ。

向区间[]b a ,上均匀投点，则随机点的坐标ξ服从[]b a ,上的均匀分布。

在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近似计算中的舍入误差等。

设随机变量[]b a U ,~ξ，则对任意满足[][]b a d c ,,⊆， 则有a
b c
d dx a b d c P d
c
--=-=≤≤⎰1)(ξ这表明，ξ落在[]b a ,内任一小区间[]
d c ,上取值的概率与该小区间的长度成正比，而与小区间[][]b a d c ,,在的位置无关，这就是均匀分布的概率意义，实际上均匀分布描述了几何概型的随机试验。

2、
指数分布
我们下面以“母鸡下蛋”问题为例来说明许多“等待时间”是服从指数分布的。

在单位时间内母鸡下蛋数可以用普哇松分布来描述，即
,2,1,0,!
)))((==
=-k e k k P k
λλωξ
并且还知道其中的参数λ为单位时间内下蛋数的平均值。

如果现在考察的不是单位时间，而是],0[t ，那么这个平均值应该与时间t 成正比，也就是t λ，又因为普哇松分布具有可加性，所以在],0[t 这段时间内，下蛋数应该服从
,2,1,0,!
)()))((===-k e k t k P t
k t λλωξ
这是一个参数为t λ的普哇松分布。

例4、 设母鸡在任意的],[00t t t +的时间间隔内下蛋个数服从
,2,1,0,!
)()))((===-k e k t k P t
k t λλωξ
问两次下蛋之间的“等待时间”η服从怎样的分布函数？
解：设前一次下蛋时刻为0，因为η不可能为负，所以当0≤t 时，显然有
0)(=<t P η
而当0>t 时，因为在等待时间内不下蛋
)0)(()(==>ωξηt t
所以有
t t e P t P λωξη-===>)0)(()(
还因为
)1
()(1
∞
=-≤=<n n t t ηη
由概率的下连续性即得
t n
t n n n e e n t P n t P t P λληηη---∞→∞→∞
=-=-=-≤=-≤=<1]1[lim )1(lim )}1({)()1
(1
从而描述η的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>-=<=-0
1)()(t t e t P t F t
λη 若随机变量ξ的密度函数)(x p 为
)0.(0
,00,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x e x p x
则称ξ服从参数为λ的指数分布，记作)(~λξE 。

指数分布是一种应用广泛的连续型分布。

我们已经看到，许多“等待时间”是服从这个分布的，一些没有明显“衰老”机理的元器件（如半导体元件）的寿命也可以用指数分布来描述，所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域有着广泛的应用。

电话问题中的通话时间可以认为服从指数分布。

例5、假定打一次电话所用的时间ξ（单位：分）服从参数10
1
=
λ的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率。

解：由题设知)10
1
(~E ξ，故所求概率为 1）368.010
1)10(110
10
≈==>--∞
+⎰e dx e P x
ξ 2）233.010
1)2010(21101
20
10≈-==≤≤---⎰e e dx e P x
ξ 3、正态分布
若随机变量ξ的密度函数为
0,,21)(2
22)(_>+∞<<-∞=
-σσ
πσμx e
x p x
称ξ服从参数为2,σμ的正态分布，记为),(~2σμξN 。

正态分布是概率论中最重要的一个分布，高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差，所以在很多著作中也称为高斯分布。

经验表明许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的
分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布。

进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，其理论依据是下一章中的定理4.11(第217页)。

正态分布的密度曲线呈倒钟形，μ称为位置参数，σ称为形状参数。

由数学分析知识可知2
02
2
π
ϕχ=
⎰∞+-
d e
从而121212
2)(2
2
2=-=
⎰
⎰-
∞+∞
---
∞
+∞
-dt e
x dxt e
t x π
σ
μ
σ
πσμ
当1,0==σμ时，正态分布)1,0(N 称为标准正态分布，其密度函数为
+∞<<-∞=
-x e
x ,21)(2
2πχϕ
分布函数
)
(1)(,2
1)0(,1)(,0)(,21)(2
2x x x dt e
x t x
φφφφφπ
φ-=-==+∞=-∞+∞<<-∞=-
∞
-⎰
对于)(χφ可以查正态分布表。

设)1,0(~N ξ即)()()(1221x x x x P φφξ-=≤<。

一般地设),(~2σμξN ，则)1,0(~N σ
μ
ξη-=。

从而，若),(~2σμξN ， 则)(
)(
)(σ
μ
φσ
μ
φξ---=<<a b b a P
例6、设)1,0(~N ξ求1）)1(≤ξP ；2）)2(≤ξP ；3）)3(≤ξP 解：
6826
.01)1(2)1()1()11()1(=-=--=≤≤-=≤φφφξξP P 9545
.01)2(2)2()2()22()2(=-=--=≤≤-=≤φφφξξP P
9973.01)3(2)3(=-=≤φξP
例7、设),(~2σμξN ，求)3(),2(),(σμξσμξσμξ<-<-<-P P P 。

解：
6826
.01)1(2)11()(=-=<-<
-=<-φσ
μ
ξσμξP P 9545
.01)2(2)22()2(=-=<-<-=<-φσ
μ
ξσμξP P 9973.01)3(2)33()3(=-=<-<
-=<-φσ
μ
ξσμξP P 一般地
1)(2)()(-=<-<
-=<-k k k P k P φσ
μ
ξσμξ 这个概率与σ无关。

4、γ—分布
设随机变量ξ的密度函数为0,0,0,00,)
()(1>>⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>Γ=--βααββααx x e x x p x
为两个常数，其中⎰+∞
--=01)(dx e x x ααγ， 0>α，称ξ服从参数为),(βα的γ—分布。

特别的当2
1,2==βαn
时， 随机变量ξ的密度函数为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>Γ=--0,
00,)
2(21
)(2122x x e x n p x
n n
χ 称服从自由度为n 的2χ—分布，记作)(~2n χξ。

这是数理统计中的一个重要分布。

特别地，当1=α时，),1(βγ就为参数为β的指数分布。

在概率论中引入随机变量和分布函数这两个概念，就好象在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁，数学分析这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来。

由此可以体会到随机变量和分布函数这两个概念的地位及作用。

§3.3多维随机变量及其分布
一、多维随机变量的联合分布函数 1、定义
定义1、设n ξξξ,,,21 是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，则n 维随机向量),,,(21n ξξξ 是样本空间Ω上的n 维随机变量或n 维随机向量，并称n 元函数
),,(),,(221121n n n x x x P x x x F <<<=ξξξ
是n 维随机变量n ξξξ,,,21 的联合分布函数，也简称为联合分布或分布。

联合分布函数描述了多维随机变量的统计规律。

下面着重讨论二维随机变量，若),(ηξ表示笛卡儿平面上的点的坐标，
那么),(),(y x P y x F <<=ηξ
为),(ηξ的联合分布函数。

2、联合分布函数的性质 显然1),(0≤≤y x F 1） 对x 或y 都是单调不减的；
2） 对x 或y 都是左连续的，即)0,(),(),,0(),(-=-=y x F y x F y x F y x F 3）
对任意x 和y ，有
1
),(lim ),(0),(lim ),(0
),(lim ),(0
),(lim ),(==+∞+∞==-∞-∞==-∞==-∞+∞
→+∞→-∞→-∞→-∞
→-∞
→y x F F y x F F y x F x F y x F y F y x y x y x
4）
对任意),(11y x 和),(22y x （其中2121,y y x x <<），有
0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F
反过来还可以证明，任意一个具有上述四个性质的二元函数必定可以作为某个二维随机变量的分布函数，因而满足这四个条件的二元函数通常称为二元联合分布函数。

3、边缘（边际）分布函数
设),(ηξ为二维随机变量，那么它的分量的分布函数称为边际分布函数，记为)(),(y F x F ηξ。

设二维随机变量),(ηξ的联合分布函数为),(y x F ，那么它的两个分量ηξ,的分布函数可由),(y x F 求得
),(),(lim ),(lim ),()()(+∞==<<=+∞<<=<=+∞
→+∞
→x F y x F y x P x P x P x F y y ηξηξξξ
同理
),()(y F y F +∞=η。

由此可知，由联合分布可以唯一确定边际分布函数，反之，不一定成立。

例1、 设),(ηξ的联合分布函数为)3
arctan )(2
arctan (),(y C x
B A y x F ++= 求：1）常数
C B A ,,；2）边际分布函数)(),(y F x F ηξ。

解：1）由
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨
⎧=+-=-+=++=-∞=-∞=+∞+∞0)3arctan )(2(0)2)(2(arctan 1)2)(2(0
),(),(,1),(y C B A C B x A C B A y F x F F ππππ
解得)3arctan 2)(2arctan 2
(1),(,2
,1
2
2
y
x y x F C B A ++=
=
==ππππ
π于是 2）
21
3arctan 1),()(212arctan 1
),()(+
=+∞=+=
+∞=y y F y F x x F x F ππηξ 二、二维连续型随机变量及其密度函数 1、
定义
定义2 ：设),(ηξ为一个二维随机变量，),(y x F 为其联合分布函数，若存在函数),(y x p ，使对任意的),(y x ，有
⎰
⎰
∞-∞
-=x y
dudv v u p y x F ),(),(
则称),(ηξ为二维连续型随机变量，),(y x F 为一个连续型的联合分布函数，
),(y x p 为),(y x F 的联合概率密度函数或简称为密度。

2、 联合密度函数的性质 由联合分布函数的性质，有
1）非负性：0),(≥y x p ； 2）规范性：⎰⎰+∞∞-+∞
∞-=1),(dxdy y x p ；
反过来，具有上述两个性质的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数。

3）若),(y x p 在点),(y x 连续，),(y x F 是相应的分布函数，则有
),()
,(2y x p y
x y x F =∂∂∂ 4)若G 是平面上的某一区域，则
⎰⎰=∈G
dxdy y x p G P ),()),((ηξ
这表明),(ηξ取值落在平面上任一区域G 内的概率，可以通过密度函数),(y x p 在G 上的二重积分求得。

3、
边缘密度函数
设二维连续型随机变量),(ηξ的联合密度函数为),(y x p ，则ξ的边际分布
函数为du dy y u p dudy y u p x F x F x
x
⎰⎰⎰⎰∞-+∞
∞-∞-+∞∞-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==+∞=),(),(),()(ξ。

这表明ξ也是连续型随机变量，其边际密度函数为
⎰+∞
∞-=dy y x p x p ),()(ξ
类似地
⎰+∞
∞-=dx y x p y p ),()(η
由此可以看出，边际密度由联合密度唯一确定。

例2、 设),(ηξ的联合密度函数为
⎩
⎨
⎧>>=+-其它,00,0,),()22(y x ce y x p y x 求：1）常数c ；
2）分布函数),(y x F ；
3）边际密度函数)(),(y F x F ηξ及相应的边际密度； 4）(){}0,0,1,),),((≥≥≤+=∈y x y x y x G G P 其中ηξ。

解：1）由联合密度的性质
⎰⎰
⎰
⎰
∞+∞-∞
+∞
-∞
+∞
++-==≥0
)
22(1
,1),(0
dxdxy ce
dxdy y x p c y x
解得c =4，于是
⎩⎨⎧>>=+-其它,
00
,0,4),()22(y x e y x p y x
2） ⎰⎰∞-∞-=x y
dxdy y x p y x F ),(),（
⎪⎩⎪⎨
⎧>>--==⎰⎰--+-其它,
00,0),1)(1(40022)22(x y
y x v u y x e e dudv e
3） ⎩
⎨⎧≤>-=⎩⎨⎧≤>-==--0,00
,1)(,0,00,1),()(22y y e y F x x e y x F x F y x ηξ
⎩
⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--0,00
,2)(,0,00,2)(22y y e y p x x e x p y x ηξ
4）
⎰⎰⎰⎰⎰
-----+--=-===∈1
2)1(221
010
)
22(311(24),()),((e dy e e dx e
dy dxdy y x p G P y y G
y y x ηξ
三、两种常用分布 1、
均匀分布
设G 是平面上的一个有界区域，其面积为A ，令
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它
,0),(,1
),(G
y x A
y x p 则),(y x p 是一个密度函数，以),(y x p 为密度函数的二维联合分布称为区域G 上的均匀分布。

若),(ηξ服从区域G 上的均匀分布，则G 中的任一（有面积）
的子区域D ，有⎰⎰
⎰⎰===
∈D
D D
A
S dxdy A dxdy y x p D p 1
),()),((ηξ 其中D S 是D 的面积。

上式表明二维随机变量落入区域D 内的概率与D 的面积成正比，而与其在G 中
的位置与形状无关，这正是第一章中提过的在平面区域G 中等可能投点试验，
由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。

特别的若
{}),(,,),(ηξ则d y c b x a y x G ≤≤≤≤=服从G 上的均匀分布，其联合密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤≤≤--=其它,0,,))((1),(d y c b x a c d a b y x p 相应的边际密度
[][][][]⎪⎩⎪
⎨⎧∉∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=d c y d c y c
d y p b a x b a x a b x p ,,
0,,1)(,,,0,,1)(ηξ 由此说明，矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布。

2、
二维正态分布
设二维随机变量),(ηξ的联合密度函数为
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+------
-=
2222212121212)())((2)()1(21
2
21121),(σμσσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x p
则称),(ηξ服从二维正态分布，记为),,,,(~),(2
22121ρσσμμηξN ，
其中1,0,0,,2121<>>+∞<<∞-ρσσμμ为参数。

习惯上称),(ηξ为二维正态变量，由),(ηξ的联合分布可以求得边际密度函数分别为
+∞
<<-∞=
+∞
<<-∞=--
--y e
y p x e
x p y x ,21)(,21)(22
2
22
1
2
12)(2
2)(1σμησμξσπσπ
由此说明二维正态分布),,,,(2
22121ρσσμμN 的两个边际分布都是一维正态分布，分别为),(),,(2
22211σμσμN N ，如果21ρρ≠，则这两个二维正态分布),,,,(),,,,,(22221211222121ρσσμμρσσμμN N 是不相同的。

但由上面可以知道它们有完全相同的边际分布，由此例也说明了边际分布不能唯一地确定它们的联合分布，此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布。

例3、设),(ηξ的联合密度函数为
+∞<<-∞+∞<<-∞+=+-
y x y x e
y x p y x ,),sin sin 1(21),(2
2
2π
，
求边际密度函数。

解：
2
2
2
2
2
2
2222
222
2
21sin sin 21)sin sin 1(21),()(x y x y x y x e
ydy x e
e
dy e
e dy
y x e e dy y x p x p -∞+∞
---
--∞
+∞---∞
+∞-∞
+∞-=
+=+==⎰⎰
⎰⎰π
π
π
ξ
同理
2
221)(y e
y p -=
πη
即ηξ,都是标准正态分布的随机变量，但),(ηξ却不是二维正态变量。

四、随机变量的独立性
定义3、设),(ηξ的联合分布函数为ηξ,),,(y x F 的边际分布函数为)(),(y F x F ηξ，若对任意的),(y x 有
)()(),(y F x F y x F ηξ⋅=
成立，则称随机变量是相互独立的。

如果),(ηξ是二维连续型随机变量，则ηξ,都是连续型随机变量，它们的密度函数分别为)(),(y p x p ηξ，这时容易验证：ξ与η相互独立
)()(),(y p x p y x p ηξ=⇔。

由此可知，要判断连续型随机变量是否独立，只需要验证)(),(y p x p ηξ是否为),(ηξ的联合密度函数。

例4、设),(ηξ服从{}1),(22≤+=y x y x G 上的均匀分布。

试问它们是否相互独立？若G 为矩形区域[][]d c b a ,,⨯呢？ 解：()ηξ,的联合密度函数为
[][]⎰⎰∞+∞
----⎪⎩
⎪⎨⎧-∉-∈-===⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤+=1,1,01,1,121),()(1,01
,1),(22112222
2x x x dx dy y x p x p y x y x y x p x x πππ
ξ [][])
,()().(1,1,
01,1,12)(2
y x p y p x p y y y y p ≠⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈-=ηξηπ 所以ηξ与不相互独立。

例5、 若),,,,(~),(2
22121ρσσμμηξN ，则ηξ,相互独立0=⇔ρ。

例6、 随机变量的独立性还可以推广到多个随机变量的情形。

定义4、设n 维随机变量),(21n ξξξ 的联合分布函数为),,(21n x x x F ，
)(),(),(2121n x F x F x F n ξξξ 为它们的边际分布函数，若n i R x i ,2,1,=∈∀，有
)()(),(1211n n x F x F x x x F n ξξ =
则称是相互独立的随机变量。

若),,(21n ξξξ 为n 维连续型随机变量，则n ξξξ 21,相互独立的充要条件为)()(),(1211
n n x p x p x x x p n
ξξ =其中),(),(2121n n x x x p ξξξ 为的联合密度函数，
),2,1()(n i x p i i i =ξξ为的边际密度函数。

§3.4随机变量函数的分布
一、一个随机变量函数的分布
定理3.1 设ξ为连续型随机变量，)(x p 为其密度函数，又)(x f y =严格单调，其反函数)(y h 具有连续导数，则)(ξηf =也是一个连续型随机变量，且其密度函数为
=)(y ϕ[]⎪⎩⎪⎨⎧<<其它,
0,)()('
βαy y h y h p
其中
{}
{}
)(),(max )(),(min +∞-∞=+∞-∞f f f f βα＝
证明：略
例1． 设)1,0(~),,(~2N N σ
μ
ξησμξ-=证明。

证：σ
μ
-=
x x f )( 为严格单调函数，且反函数μσ+=y y h )(
)1,0(~21.21)())(()(2
2
'22N e
e
y h y h p y y y -
-=
=⋅=π
σσ
πϕ
一般地，若),(~2σμξN ，则b a +ξη＝也服从正态分布),(22σμa b a N +。

定理3.1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数)(x f y =严格单调且反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。

事实上这个条件可以减弱为“)(x f y =逐段单调，反函数连续可微”。

这时，密度公式应作相应的修改。

一般地，我们都是先求其分布函数，然后再求其密度函数。

例2 设),1,0(~N ξ试求2ξη＝的密度函数。

解：当　0≤时，显然有0)()=<=y P y F ηη（ 当时，有0>y
)()()()()()(2y F y F y y P y P y P y F --=<
<-=<=<=ξξηξξη
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=---
0,
00,210,00,21)(2212
1
22y y e y y y e y y p y y π
πη 上述密度函数为)(2n χ分布的密度函数
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>Γ=--0
,00,)(21)(2122x x e x n x p n
n n
在1=n 时的特例，也就是说)1,0(N 变量的平方是自由度为1的-2χ变量。

二、两个随机变量函数的分布
若),(ηξζf =而),(ηξ的联合密度函数为),(y x p ，则同上面一样讨论可得到
⎰⎰<=
<=z
y x f dxdy y x p z p F ),(),()()(ζζξ
1、 和的分布
若ηξζ+=而),(ηξ的联合密度函数为),(y x p ，则
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰+∞∞
--∞
-+∞
∞
--∞
-<+==
<=y
z x
z z
y x dx y x p dy dy y x p dx dxdy y x p z p z F ),(),(),()()(或ζζ
当ξ与η相互独立时，有)()(),(y p x p y x p ηξ=，
du x u p x p dx y x u dy y p x p dx z F z
x z )()()()()(-+==⎰⎰⎰⎰
+∞∞
-∞
-+∞
∞--∞
-ηξηξζ
dx du x u p x p z ⎰⎰∞-+∞
∞-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=)()(ηξ 因此ζ的密度函数为
dx x z p x p z p )()()(-=⎰+∞
∞-ηξζ
也可写为
dy y p y z p z p )()()(ηξζ-=⎰+∞
∞-
由上式给出的运算称为卷积，通常记为ηξζp p p *=。

例3、设ξ与η相互独立且都服从)1,0(N ，证明)2,0(~N ηξζ+= 证：由卷积公式dx e
e
dx x z p x p z p x z x 2
)(2
2
22121)()()(--
-
∞
+∞
-∞+∞-⎰⎰=-=π
π
ηξζ
4
2
4
)2
(4
2222
221221
2221y t y z x z e
dt e
e
z x t dx
e
e -
∞
+∞
---
∞
+∞
----=-
==⎰
⎰
π
π
π
π
故)2,0(~N ζ
一般说，若),,2,1(n i i =ξ是n 个相互独立的服从),(2i i N σμ分布的随机变量，则∑=n
i i 1ξ仍然是一个服从正态分布),(2σμN 的随机变量，并且参数
∑∑====n
i i n i i 1
22
1
,σσμμ，这个事实有时也称为正态分布具有可加性。

在前面已经证明了普阿松分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还有其它一些分布，如-Γ分布也具有可加性，即若
),(~),,(~),,(~2121βααηξζβαηβαξ+Γ+=ΓΓ则（大家自己证明）
，由此可知，Γ分布对它的第一个参数α具有可加性。

由于)2
1
,2(n Γ为参数为n 的2χ分布，
因此2χ分布也具有可加性。

如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立的随机变量，每一个都服从)1,0(N ，由例2可知每一个),,2,1(2n i i =ξ都服从)1(2χ分布，且22221,,,n ξξξ 仍然相互独立，这时由-2
χ分布的可加性并利用归纳法可知∑==n
i i 12ξη是服从自由度为n 的
-2χ分布，即n 个相互独立的)1,0(N 的平方和是一个参数为n 的-2χ分布，习
惯上独立变量的个数称为“自由度”。

2、
商的分布
设),(ηξ是二维连续型随机变量，密度函数为),(y x p ，现在来讨论η
ξζ=的分布。

du
dy y yu p y du dy y yu yp yu x dx
y x o dy dy dx y x p dxdy
y x p dxdy y x p dxdy y x p z F y z
zy
zy
y z y x y z y x z y
x
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+∞
+∞
-∞
+<<><<⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+==
000
),(),(),()),((),(),(),()(ζ
于是ξ密度函数为
dy y zy p y dy y zy yp dy y zy yp z p ),(),(),()(0
⎰
⎰⎰+∞∞
-∞
-+∞
=-=ζ
例4、设ξ与η相互独立，分别服从自由度为n 及m 的-2χ分布的随机变量，试求m
n η
ξ
ζ=的密度函数。

解： n ξ的密度函数为
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≤>Γ=--0
,00,)()
2(2)(2122x x e nx n n
x p nx
n n
n ξ m
η的密度函数为
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≤>Γ=--0
,00,)()
2(2)(2122x x e mx m m
x p mx m m
m η 于是m
n η
ξ
ζ=的密度函数为
2
122
22
12
2
2
122
)()2
()2()2()
()
2
(2.
)
()
2
(2),()(n
m n
m n mx m m nzx n n m nz z m n n m n m dx
e
mx m
m e nxz n
n x
dx x zx p x z p +--
--∞
+-∞
+∞
-+ΓΓ+Γ=ΓΓ==⎰
⎰ζ
上式的密度函数的分布称为参数为m n ,的F -分布，记作),(m n F 。

它是数理统计中最常用的分布之一。

在上例中，已知ηξ,相互独立，在计算中用到的却是m n ηξ,相互独立，当然由ηξ,相互独立很快可以推出m n ηξ,相互独立。

引理3.1、若随机变量ξ与η相互独立，又)(),(x g x f 是两个连续或逐段连续的函数，则)(ξf 与)(ηg 相互独立。

例5、设ηξχηξ,),(~),1,0(~2n N 相互独立，求n
η
ξζ=
的密度函数。

解：21
_2)1()
2
()21
(
)(++Γ+Γ=
n n y n n n z p πζ 这个密度函数称为自由度为n 的t -分布。

§3.5随机变量的数字特征，契贝晓夫不等式
一、数学期望
1、定义
定义3.7设ξ是一个连续型随机变量，密度函数为)(x p ，当
∞<⎰
+∞
∞
-dx x p x )(
时，称ξ的数学期望(均值)存在，且
⎰+∞
∞-=dx x xp E )(ξ
ξ的数学期望ξE 是ξ的可能取值（关于概率）的平均，这里要求
∞<⎰
+∞
∞
-dx x p x )(道理与离散型随机变量一样。

例:设ξ服从柯西分布，其密度函数为
+∞<<-∞+=
x x x p ,11
1
)(2π 问ξE 是否存在？ 解：因为
∞=+⎰
+∞
∞
-dx x
x
2
11
1
π 所以ξE 不存在。

2、几种常用分布的期望 1）
均匀分布 设[]b a U ,~ξ，则
2
1b a dx a b x
E b
a
+=-=⎰ξ
这个结果是显然的。

因为ξ在],[b a 上均匀分布，它取值的平均值当然应该在
],[b a 的中间，也就是
2
b
a +。

2） 指数分布
设)(~λξE ，则
λ
λξλλλ1
=
=-==⎰⎰⎰∞
-∞
-∞
-dx e xde dx e x E x x x
这个结果表明指数分布的数学期望恰等于其参数λ的倒数。

3） 正态分布
设),(~2σμξN ，则μξ=E ，事实上
μπ
μ
σπμμσπ
σ
μσ
πξσ
μ=+=
+-=
=⎰
⎰⎰
⎰∞
+∞
--
∞
+∞--
∞
+∞
---
∞
+∞-dz e
dz ze dz e
z x z dx e
x
E z z z x 2
2
2
_
2)(222
222)(2121
这表明正态分布的数学期望恰等于其第一个参数μ。

4）-Γ分布
设),(~βαξΓ即ξ的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x p x
βαααβ
β
α
βααβαβαβξααβααβαα
=+ΓΓ=Γ=Γ==+∞+--+-∞+∞
-∞
+⎰⎰⎰
10110
)1()()()()(dx e x dx e x dx x xp E x x 这里用到⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>+Γ=--++0,00,)1()(111
x x e x x p x βαααβ为),1(βα+Γ的分布密度函数，因而有
1
11)
1(+-∞
+-++Γ=
⎰
αβαβαdx e x x ，再利用-Γ函数的性质)()1(αααΓ=+Γ知道),1(βΓ即为
参数为λ的指数分布)(λE ，因而λ
ξ1
=E 。

3、随机变量函数的数学期望
定理3.2若ξ为连续型随机变量，密度函数为)(x p ，又)(x f 为实变量x 的函
数，且+∞<⎰+∞
∞-dx x p x f )()(
则
⎰∞
∞=-)()()(dx x p x f Ef ξ
定理3.3设),(ηξ是二维连续型随机变量，联合密度函数为),(y x p 又),(y x f 为二元函数，则随机变量),(ηξζf =的数学期望
[]⎰
⎰
+∞∞-+∞∞
-==dxdy y x p y x f f E E ),(),(),(ηξζ
当然这也要求上述积分绝对收敛。

例1、 设2),1,0(~ξξE N 求。

解：
12121)21(212
2
2
2
2
22222
=+-=-
==-
∞
+∞
-+∞
∞
---∞
+∞
--∞
+∞-⎰
⎰⎰dx e
e
x
e
xd dx e
x E x x x x π
π
π
π
ξ
例2、 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从均匀分布
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππU ，求弦PA 的长的数学期望。

解：由任意θ的密度函数为
π
θπ
θ
θηθθηπθπ
πθπ
π4
1
cos 2)cos 2(cos 2cos ,02
2,1)(22
=
=====⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰-d E E PB PA p 故其他
例3、 设ηξ,相互独立，且都服从)1,0(N ，求)(22ηξ+E 。

解：联合密度函数为
2
12
22
2
220
2
22222
)2()
(21sin cos 21)(21),(2
2
2
2
2
22
2ππθθθπ
ηξπ
π
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-=-===+=+=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞
--
∞
+∞
--
∞+∞
--∞
+∞--+-
∞+∞-∞+∞-+-dr e
e r e rd dr e r d r y r x dxdy
e
y x E e y x p r r r
r y x y x 4、数学期望的性质
性质1、若b a ≤≤ξ则的数学期望存在，且b E a ≤≤ξ特别的若c =ξ，则c Ec =； 性质2、对于任意一个二维连续型随机变量),(ηξ，若ηξE E ,都存在，则对任意实数)(,,2121ηξk k E k k +存在且
ηξηξE k E k k k E 2121)(+=+
性质3、若ηξ,相互独立，则ξηE 存在且
ηξξηE E E ⋅=
性质2与性质3可以推广到任意有限个的情形
对任意n 个常数n c c 1，有n n n n E c E c E c c c c E ξξξξξξ ++=++22112211)(； 若n ξξξ 21,相互独立，则n n E E E ξξξξξ 121)(=。

这些性质的证明与离散型场合相同，只要把那里的和号“∑”换成积分号“∫”，并把分布列换成密度函数就可以了。

二、方差 1、
定义
定义3.8设ξ为一个随机变量，又2)(ξξE E -存在，则称2)(ξξE E -是随机变量
ξ的方差，记作ξD 或ξVar ，并称ξD 是ξ的根方差或标准差。

2、 计算公式
22)(ξξξE E D -=
事实上
2
22
22222
)()()(2)()(])(2[)()()(ξξξξξξξξξξE E E dx x xp E dx x p x dx
x p E xE x dx
x p E x E E D -=+-=+-=-=-=⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-
3、 几种常用分布的方差 1） 均匀分布
设
[][][]
12
)()(3
)
(4)(,
2,,0,,1
)(,,~2
2
2
2232
2
a b E E D b ab a a b x dx x p x E b a E b a x b a x a
b x p b a U b
a
b a
-=
-=++=
-=
=+=⎪⎩⎪
⎨⎧∉∈-=⎰
ξξξξξξ即
2） 指数分布
设)(~λξE ， 则2
1
,1
λξλ
ξ=
=D E 。

3） 正态分布
设),(~2σμξN ， 则2,σξμξ==D E 。

4）-Γ分布 设β
αξβαξ=
ΓE 则),,(~ 22011012
)1()2()()()(βααβααβαβαβξααβααβαα+=+ΓΓ=Γ=Γ=+-∞+-+-∞++⎰⎰dx e x dx e x E x x
222)(β
α
ξξξ=
-=E E D 4、契贝晓夫不等式
我们知道方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度，如果随机变量ξ，数学期望ξE ，方差为ξD ，那么对任意大于零的常数ε，事件（εξξ≥-E ）发生的概率P （εξξ≥-E ）应该与ξD 有一定的关系，粗略的说，如果ξD 越大那么)(εξξ≥-E P 也会越大，将这个直觉严格化，就有下面著名的契贝晓夫不等式。

定理3.4对任意的随机变量ξ，若a E =ξ，又ξD 存在，则对任意正数ε，有
2
)(ε
ξ
εξD a P ≤
≥-
证明：设ξ是一个连续型随机变量，密度函数为)(x p ，则
2
22
||2
2
||)()(1
)()()()|(|εξ
εεεξε
ε
D dx x p a x dx
x p a x dx x p a P a x a x =
-≤-≤=≥-⎰
⎰⎰∞
∞
-≥-≥-
在上述证明中，如果把密度函数换成分布列，把积分号换成求和号，即得到离散型情形的证明。

在契贝晓夫不等式给出的估计式中，只须知道方差ξD 及数学期望ξE 两个数字特征就够了，因而使用起来是比较方便的。

但因为它没有完整的用到随机变量的统计规律——分布函数或密度函数，所以一般说来，它给的估计是比较粗糙的。

利用契贝晓夫不等式可以证明下列事实：
随机变量ξ的方差0=ξD 的充要条件是ξ取某个常数值的概率为1，即
1)(==a P ξ
这个结论的充分性是显然的，下面证明必要性：
0)1()1()1()0(01211
=≤≥-≤≥-=>-≤∑∑∞
=∞=∞
=n n n n
D n
E P n E P E P ξ
ξξξξξξ
由此知
0)(=>-εξξE P
从而
1)0(==-ξξE P
其中常数a 即为ξE 。

5、方差的性质 1） 若C 为常数，则ξξD C C D 2)(=；
2）
对任意的常数ξE C ≠，则有2)(C E D -<ξξ；
事实上
2
222
2)()()()(2)()()(C E D C E E E C E E E C E E E C E -+=-+--+-=-+-=-ξξξξξξξξξξξξ 3） 若ηξ,是两个相互独立的随机变量，且ηξD D ,存在，则
ηξηξD D D +=±)(
更一般地，若ηξ,相互独立，则
ηξηξD k D k k k D 2
22121)(+=±
事实上
]
)(2)[()(2)()2()]([)()(22222
2222ηηξξηξηξηξηξηξηξηξηξE E E E E E E E E E E E D ++-++=+-++=+-+=+
因为ηξ,相互独立，所以有
ηξξηE E E =)(
于是
ηξηξηξηξD D E E E E D +=--+=+2222)()()(
三、协方差 1、定义
定义3.8若（),ηξ为一个二维随机变量，又
∞<--))((ηηξξE E E
则称())(ηηξξE E E --为ηξ,的协方差，记作),(ηξCov 。

ηξξηηηξξηξE E E E E E Cov ⋅-=--=))((),(
2、性质
1）),(),(ξηηξCov Cov =；
2）若b a ,是两个任意常数，则),(),(ηξηξabCov b a Cov =； 3）),(),(),(2121ηξηξηξξCov Cov Cov +=+； 4）
若ηξ,相互独立，则0),(=ηξCov 。

注意：反过来不一定成立。

四、相关系数 1、
定义
定义3.10若（),ηξ为一个二维随机变量，且
∞<--η
ξηηξξD D E E E
)
)((
则称
ηξηξηηηξξξηηξξηξD D Cov D E D E E E E E Cov )
,())((),(*
*
*
*
*
*
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=--= 为ηξ,的相关系数，用ξηρ表示。

顾名思义，相关系数反映了随机变量之间的相关---也就是她们相互之间的一种联系。

到底是哪一种联系呢？这是我们希望进一步弄清楚的问题。

为此，先证明下述引理。

引理3.2 若),(ηξ是一个二维随机变量，又∞<∞<22,ηξE E ，则有
222|)(|ηξξηE E E ≤
证明：考虑实变量t 的二次函数
2222)(2)()(ηξηξηξE tE E t t E t g +-=-=
因为对一切t ，有0)(2≥-ηξt ，所以0)(≥t g ，从而二次方程
0)(=t g
或者没有实根，或者只有一个重根，由此知它的判别式非负，即有
0)]([222≤-ηξξηE E E
上述不等式通常称为柯西---许瓦兹不等式。

2、
性质
定理3.5设二维随机变量),(ηξ的两个分量的相关系数为ρ，则有
（1）1≤ρ；
（2）1=ρ的充要条件是ηξ,以概率1线性相关。

即存在常数b a ,使有
1)(=+=b a P ξη
证明：（1）令
ηηηξξξE E -=-=11,
则
1)()])(([2
1212
1122
≤=--=ηξηξηξηηξξρE E E E D D E E E
(1)得证。

（2）1||=ρ等价于
0)(2121211=-ηξηξE E E E
这相当于引理3.2的证明中，二次方程0)(=t g 有一个重根0t ，即
0)(2110=-ηξt E
而
0)(110110=-=-ηξηξE E t t E
所以有
0)(110=-ηξt D
再由方差的性质即知上式成立的充要条件是
1)0(110==-ηξt P
这等价于
1)(=+=b a P ξη
其中ξηE t E b t a 00,-==均为常数，定理证毕。

相关系数只是随机变量之间的线性关系强弱的一个度量，因而说得更确切些，应该称为线性相关系数。

0=ρ称ηξ,不相关，1=ρ称ηξ,正线性相关，
1-=ρ称ηξ,负线性相关。

例4、设θ为[]ππ,-上的均匀分布，又θηθξcos ,sin ==，求ηξ,之间的相关系数。

解：
⎰⎰⎰⎰----=
=======
πππππ
ππππηπξπηπξ21cos 21,21sin 210cos 21,0sin 212
222xdx E xdx E xdx E xdx E
0,0),(0cos sin 21==⋅-===
⎰-ρηξξηηξπ
ξηπ
πE E E Cov xdx x E 在该例中ηξ,不相关，但显然有122=+ηξ也就是说，ηξ,之间显然没有线性关系，却有另外的函数关系。

由此可知,当0=ρ时，ηξ,可能独立也可能不独立。

例5、设()()ρσσμμηξ,,,,~,222121N 则
()0
)2,)12
1=⇔=ρηξσρσηξ相互独立与Cov
对二维正态分布而言，不相关与独立是两个等价的概念。

五、矩 1、
原点矩
设ξ为随机变量，k 为任意系数，若k E ξ存在，称k E ξ为随机变量ξ的k 阶原点矩。

ξE （期望）就是一阶原点矩。

2、 中心矩
设ξ为随机变量，若k E E )(ξξ-（k 为正整数）称k E E )(ξξ-为ξ的k 阶中
心矩，方差ξD 为二阶中心矩。

更一般地，若a 为一常数，p 为任一正数，如果p a E )(-ξ存在，则称p a E )(-ξ是关于a 点的p 阶矩。

3、
混合矩
设（),ηξ为二维随机变量，称),(l k E ηξ为l k +混合矩，称l
k E E E )()(ηηξξ--
为l k +阶中心混合矩，特别的当1==l k 时，1+1阶中心混合矩就是协方差。

()()j j i i ij E E b ξξξξ--E =，n i ,,1 =，n j ,,1 =
称
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n b b b b b b b B 1
221
11211 为ξ的协方差矩阵，它是一个对称的非负定矩阵。

记()n x x x x ,,21='，()n A ξξξE E E =' ,,21，若ξ的联合密度形如：
()()
()()A x B A x n
n e
B
x x x P ---
-=
12
1
2
2121
,,,π
（3.46）
n R x ∈ 则称ξ为n 维（元）正态变量，简记其分布为),(B A N ，称之为n 维正态
分布（这里ξ的协方差阵是正定阵）。

§3.6条件分布与条件期望
若连续型随机变量（ηξ,）的联合密度及边际密度()y x P ,，()x P ξ，()y P η均为连续函数，则在{y =η}的条件下，ξ的条件分布为连续型，条件密度为
()()()
y P y x P y x P ηηξ,||=
同样，在{x =ξ}的条件下，η的条件分布也为连续型，其条件密度为
()()()
x P y x P x y P ξξη,||=
（3.47）
例3.23若（ηξ,）～()ρσσ,,,,222121a a N ，求条件密度()y x P ||ηξ及()x y P ||ξη。

解：()()()
2
2211221))(()1(21
21|121
,|⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+----===
a y a x e
y P y x P y x P σσ
ρρσηηξρσπ
由对称性可得
()2
1122222))(()1(21
2
2|121|⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+---
-=
a x a y e
x y P σσ
ρρσξηρ
σπ
我们看到二维正态分布的两个条件分布也都是正态分布，其中
分布为))1(),(()|(22122
1
1|ρσσσρ
ηξ--+a y a N y x F。