辽宁省本溪满族自治县高级中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

辽宁省本溪满族自治县高级中学2017-2018学年高二上学期
第二次月考理数
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题是真命题的为（ ）
A ．,0x R x ∀∈>
B ．,0x R x ∃∈< C. ,20x x R ∀∈> D ．,20x x R ∃∈<
2. 下列点在曲线2229x xy y ++=上的是（ ）
A ．()1,3-
B ．()4,1- C. ()2,3- D ．()3,2-
3.(4
2x 的展开式中3x 的系数是（ ） A ．6 B ．12 C. 24 D ．48
4. 若,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．9 C. 5 D ．4
5.若原点到直线340x y c -+=的距离为1，则c 的值为（ ） A ．1或4- B ．1-或5 C. 4± D ．5±
6.“m n >”是“22m n >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，若P 到F 的距离的最大值
为5，最小值为3，则该椭圆的方程为（ ）
A ．2211615x y +=
B ．22197x y += C. 221169x y += D ．22
194x y +=
8.设集合{}23A x x =-<<，函数()()()ln 1ln 2f x x x =-+-，在A 中任取一个元素，则函数()f x —定有意义的概率为（ ）
A ．
45 B ．35 C. 25 D ．15
9.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如表：
且回归方程为 5.7y x a =+，则当4x =时，y 的预测值为（ ） A ．58.82 B ．60.18 C. 61.28 D ．62.08
10.已知P 是椭圆2
212x y +=上任一点.O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为（ ）
A ．2
2
12
y x += B ．2221x y += C.22241x y += D ．2221x y +=
11. 设命题p :若函数()24x x f x m =⋅-在(),0-∞上是增函数，则2m ≥；若函数()3cos f x x m x =+为R 上的奇函数，则0m =，那么下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧
12.已知圆()()2
2
:114M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范闱为（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,6 C.[]1,1- D ．[]4,2-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为 ．”
14. 以椭圆221113x y +=的四个顶点为顶点的四边形面积为 ．
15. 运行如图所示的程序框图，输出的s = ．
16. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且2,3,2b c A B ===，则cos B 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设p :方程2221457x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；q :方程23
02
mx x ++=有两个
不等的实数根.若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围. 18.已知椭圆M 与椭圆22
:11612x y N +=有相同的焦点，且椭圆M 过点251,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设椭圆M 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆M 上，且12PF F 的面积为1，求点P 的坐标. 19.某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[]110,118内（单位：mm ).若生产一件产品A 的直径位于区间[)[)[)[]110,112,112,114,114,116,116,118内该厂可获利分别为10，30，20，10(单位：元），现从该厂生产的产品A 中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a 的值，并估计该厂生产一件A 产品的平均利润；
（2）现用分层抽样法从直径位于区间[)112,116内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间
[)114,116内的槪率.
20.已知圆M 与圆2
2
255:33N x y r ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，且点15,33D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在圆M
上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，551,,1,33A B ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，,,P A B 三点不共线，PG 为APB ∠的平
分线，且交AB 于G .求证:PBG 与APG 的面积之比为定值.
21.我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1 人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响. （1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（2）设X 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.
22.已知点11,3⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()x f x a =（0a >且1a ≠)的图象上一点，等比数列{}n a 的前n 项和
为()f n c -，
数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和n S
满足)12n n S S n --=≥. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n T ，则满足1000
2019n T >
的最小正整数n 是多少？
试卷答案
一、选择题
1-5:CBCAD 6-10:DADBC 11、12：AA
二、填空题
13. 2,1x N x ∃∈≤
14.
三、解答题
17.解：22:457,4120p m m m m -->-->，6m >或2m <-. 314160,
:2
0,
m m q m ⎧
∆=-⋅=->⎪⎨⎪≠⎩16m <且0m ≠， ∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，6m >；当p 假q 真时，1
26
m -≤<且0m ≠， ∴[)()12,00,6,6m ⎛⎫
∈⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
18.解：（1）N 的焦点为()()2,0,2,0-，
设M 方程为()22
2210x y
a b a b +=>>，焦距为2，则22222,
,14
1,
5c a b c a
⎧
⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩
∴2
2
5,1a b ==，∴椭圆M 的方程为2
215
x y +=.
（2）()()122,0,2,0F F -，设()00,P x y ，则12PF F 面积为021y =，则01
2
y =±， 又220015x y +=
，∴20015,4x x ==， ∴P 点有4
个，坐标为11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
19.解：（1）由频率分布直方图得:()20.0500.1500.07510.225a a ⨯+++=⇒=，
直径位于区间[)110,112的频数为20020.05020⨯⨯=，位于区间[)112,114的频数为
20020.15060⨯⨯=，
位于区间[)114,116的频数为20020.22590⨯⨯=，位于区间[]116,118的频数为
20020.07530⨯⨯=，
∴生产一件A 产品的平均利润为
1020306020901030
20.5200
⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
（2）由频率分布直方图得：直径位于区间[)112,114和[)114,116的频率之比为2：3. ∴应从直径位于区间[)112,114的产品中抽取2件产品，记为,A B ,
从直径位于区间[)114,116的产品中抽取3件产品，记为,,a b c ，从中随机抽取两件，所有可能的取法有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c 10种， ∴两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[)114,116内的取法有7种. ∴所求概率为710
P =
. 20.解：（1）圆N 的圆心55,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线y x =的对称点为55,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
∴2
2
2
416
39r MD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
，
∴圆M 的方程为22
5516339x y ⎛
⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
∵823MN r >=，∴圆M 与圆N 相离.
（2）设()00,P x y ，则()()2
2
2
20000051654113933PA x y x x x ⎛
⎫⎛⎫=++-=-+++=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
()()22
2
200000516516113933PB x y x x x ⎛
⎫⎛⎫=-+-=-++-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
∴
22
4PB PA
=，∴
2PB PA
=.
∵G 为APB ∠的角平分线上一点，∴G 到PA 与PB 的距离相等，
∴
2PBG PMG PB S S PA
∆∆==为定值. 21.解：（
1）记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件A .
由题意，得事件A 的概率()1119981P A =⨯=，
即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为1
81
. （2）由题意，X 的可能取值为2，0，
每次汇报时，男生被选为代表的概率为3193=，女生被选为代表的概率为12
133-=.
()2
00
2022
21111521133339P X C C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭；()1
1
1211401339P X C ⎛⎫⎛⎫
==-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
. 所以，X 的分布列为:
X 的数学期望5410
20999EX =⨯+⨯=.
22.解：（1）∵()113f a ==，∴()13x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
()11
13
a f c c =-=-，
()()22219a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()323227
a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又数列{}n a 成等比数列，2
213421
81233
27
a a c a ===-=--，∴1c =；
又公比2113
a q a ==，∴()1
*2112333n n
n a n N -⎛⎫
⎛⎫
=-=-⨯∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
；
∵(
)11
112n n n n n n n n S S S S S S S S n -----=
=≥
又0n n b S >>11n n S S -=， ∴数列
{}n
S 构成一个首项为1公差为1的等差数列.
()
111
n n
=+-⨯=，2
n
S n
=，
当1
n=，
11
1
b S
==，
当2
n≥，()2
2
1
121
n n n
b S S n n n
-
=-=--=-，∴()*
21
n
b n n N
=-∈；
（2）
()() 1223341
1111111
13352121 n
n n
T
b b b b b b b b n n
+
=++++=+++
⨯⨯-+
11111111
1
2323522121
n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++-
⎪ ⎪ ⎪
-+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
1
22121
n
n n
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
，
由
1000
212019
n
n
T
n
=>
+
得
1000
19
n>，满足
1000
2019
n
T>的最小正整数n为53.。