高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战46084

一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围
为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(9)
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 .
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.
【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+）•=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6.
故答案为：6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期.
【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T==
故答案为：
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 .
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故=2得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]. 【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围.
【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2].
【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2.
【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得.
【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2，
当且仅当x2=，即x=±时取等号，
故答案为：2
【点评】本题考查基本不等式，属基础题.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）.
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.
【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴==3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ==，
∴θ=arccos，
故答案为：arccos
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的
距离是.
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离.
【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.
故答案为：.
【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=. 【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值.
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1=（a3+a4+…an）
=（﹣a1﹣a1q）
=，
∴q2+q﹣1=0，
解得q=或q=（舍）.
故答案为：.
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1） .
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.
【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，
即＜，
∴，
∵y=是增函数，
∴的解集为：（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案.
【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，
故答案为：.
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 .
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论.
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1.
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可.
【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，
∴此时x1=0，x2=，x3=2π，
∴x1+x2+x3=0++2π=.
故答案为：
【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想，较为直观的解决问
题.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 .
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果.
【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2.
故答案为：0.2.
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3].
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可.
【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m=∈[2，3].
故答案为：[2，3].
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想.
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定.
【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.
【解答】解：=，
则•=（）=||2+，
∵，
∴•=||2=1，
∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选：A.
【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可.
【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1.
∴方程组有唯一解.
故选：B.
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用.
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决.
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x++a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D.
【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题.
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.
【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法.
20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）.
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0.
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数.当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.
【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，
∵0，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan，
即=，
解得0≈28.28，
即CD的长至多为28.28米.
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得，
即a=，
∴m=≈26.93，
答：CD的长为26.93米.
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围. （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差.
【解答】解：（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立.
当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：.
（3）设a1，a2，…ak的公差为d.由，且a1=1，
得
即
当n=1时，﹣≤d≤2；
当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，
所以d≥，
所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣.
【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题.
22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论.
（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围.
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线.
【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔.
（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，
∴k≤﹣，或k≥.
曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔.
（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.
y轴为x=0，显然与方程①联立无解.
又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，
故x=0是一条分隔线.
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，
令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，
∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，
k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，
即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线.
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题.
一．基础题组
1. (示范高中高三第二次联考数学、文、1）函数22
()x x f x x
-++=的定义域为（ ）
A(1,0)
(0,2) B ．（1,0)
(0,+∞) C ．（一∞，1)
(2,+∞) D ．（1,2)
【答案】A 【解析】
试题分析：()()220
1,00,20
x x x x ⎧-++>⇒∈-⎨
≠⎩.故A 正确.
考点：函数的定义域.
2.(云南师大附中高考适应性考试、文、5）已知函数1,0
()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩
，若()f a ＝－1，则实数a 的值
为（ ）
A 、2
B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C
考点：函数值.
3.(玉溪市第一中学高三次月考、文、4）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋1，x ＜1，
x2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a
等于( ) A.2 B.45C ．1
2 D ．9
【答案】A 【解析】
试题分析：因为()0
0212f =+=,所以()()()2
022
24f
f f a a ==+=,解得2a =.故A 正确.
考点：分段函数.
4.（重庆巴蜀中学高级高三第二次月考、文、4）已知函数f(x)=6
x
−log 2x ，在下列区间中，函数f(x)的零点所在区间为（）
A 、(0,1)
B 、(1,2)
C 、(2,4)
D 、(4,+∞)
【答案】C 【解析】
试题分析：因为26()log f x x x =
-在定义域内是减函数，且26
(2)log 2202
f =-=>，261
(4)log 4042
f =
-=-<，根据零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间(2,4)上，故选C. 考点：1.函数与方程；2.零点存在定理；3.函数单调性.
5.（实验中学高三上学期第一次模拟、文、3）下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ）
（A ）2y x =（B ）2x
y =（C ）21
log y x
=（D ）sin y x = 【答案】C
考点：函数奇偶性、函数的单调性.
6. (示范高中高三第二次联考数学、文、4）下列函数中，随x(x>0)的增大，增长速度最快的是（ ） A. y =1，x ∈Z B. y=x C. y= 2x
D. y=x
e 【答案】D 【解析】
试题分析：指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝ex 增长速度最快. 考点：函数图像.
7.（廉江一中高三月考、文、6）函数)32(log 3++=x y a 的图象必经过定点P 的坐标为( ) A ．)3,1(- B ．)4,1(- C ．)1,0( D ．)2,2( 【答案】A 【解析】
试题分析：令231x +=，则1x =-，3y =，因此定点为(1,3)P -，故选A.
考点：对数函数的性质.
8.（廉江一中高三月考、文、7）已知函数，
⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=3
)1(3
)21()(x x f x x f x 则(l)f 的值是( ) A ．121
B ．8
1 C ．24 D ．12
【答案】B
考点：分段函数.
9.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、5）定义在R 上的偶函数f(x)，对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，有
2121
()()
0f x f x x x -<-，则()
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A 【解析】
试题分析：∵对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，有
2121
()()
0f x f x x x -<-，∴函数在[0,)+∞上单调递减，
∴(3)(2)(1)f f f <<，∵函数是偶函数，∴(2)(2)f f -=，∴(3)(2)(1)f f f <-<. 考点：函数的奇偶性与单调性.
10.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、7)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，
()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C 【解析】
试题分析：0x >时，()23,x
f x x =+-由数形结合知，此时有一个零点。

依据奇函数的对称性知，0<x 时也有一个零点。

又因为奇函数定义域为全体实数，所以0)0(=f ，即过原点。

因此共有3个零点。

选C 。

考点：函数零点问题，奇函数图像性质。

11.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、13）若2log (2)2a +=，则3a
=．
【答案】9
考点：对数的定义。

12.(嘉积中学高三下学期测试、理、15）已知函数213
(),
2,()24
log ,0 2.
x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是. 【答案】⎪⎭
⎫
⎝⎛1,43 【解析】
试题分析：
首先画出函数()x f 的图像，令()x f k =有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，
14
3
<<k . 考点：数形结合考察函数交点问题
名师点睛：对应函数的零点问题，就是函数与x 轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数. 二．能力题组
1.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、8）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，
(1)1,f -=则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++的值为 ( )
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知条件知，函数()f x 在定义域R 上关于点（0，0）对称，同时关于直线x=1对称，所以函数()f x 的周期为T=4.又(1)1,f -=所以1)1(-=f .易知，0)0(=f ,所以
0)0()4(,1)1()3(,0)0()2(===-===f f f f f f .因此(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++
=)2016()4()3()2()1(504f f f f f -+++）（0)0(0504=-⨯=f 故选B 。

考点：函数的对称性、周期性。

2.(玉溪市第一中学高三次月考、文、9）定义在R 上的函数f(x)周期是6，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f()＝( ) A ．337B ．338 C ．1678D ． 【答案】A
考点：函数的周期性.
3.（廉江一中高三月考、文、9）函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数，当)2,0(∈x 时，,12)(-=x
x f 则)3
1
(log 2f 的值为( ) A ．2- B ．3
2
- C ．7 D ．123- 【答案】A 【解析】
试题分析：因为2
1
2log 03-<<，且()f x 为奇函数，所22211(log )(log )(log 3)33
f f f =--=- 2lo
g 3(21)--2=-，故选A.
考点：函数的奇偶性.
4.（廉江一中高三月考、文、8）已知,)(1x
a x f =,)(2a
x x f =0(log )(3>=a x x f a 且),1=/a 在同一坐标系
中画出其中两个函数的是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B 【解析】
试题分析：1a >时，1()f x ，2()f x ，3()f x 都是增函数，01a <<时，1()f x ，2()f x ，3()f x 都是减函数，只有B 中同为增函数，故选B. 考点：函数的单调性与函数的图象.
5.(示范高中高三第二次联考数学、文、8）函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是（ ）
【答案】A
考点：函数图像
6.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、6）已知函数,0,
(),0,
x e x f x x m x ⎧<=⎨+≥⎩，以下说法正确的是
( )
A ．m R ∀∈，函数()f x 在定义域上单调递增
B ．m R ∀∈，函数()f x 存在零点
C ．m R ∃∈，函数()f x 有最大值
D ．m R ∃∈，函数()f x 没有最小值
【答案】D
考点：数形结合的方法考查函数的单调性、零点、最值。

7.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、9）已知函数2
()3f x x ax b =++- (x ∈R)图象恒过点(2,0)，则2
2
a b +的最小值为()
A ．5 B.15 C ．4 D.14
【答案】B 【解析】
试题分析：把(2,0)代入二次函数解析式中得：4230a b ++-=，即21a b +=-，解得：12b a =--， 则2
2
2
2
2
2
2
1(12)5415()5
5
a b a a a a a +=+--=++=++
，∴当21,55a b =-=-时，22
a b +的最小值
为15
. 考点：配方法求函数的最值.
8.(镇安中学高三月考、理、11）二次函数y=ax2+bx 与指数函数y=(
a b
)x 的图象可能是（）
-1 -1
1
1
1
111
1
O O
O O
x
x x x
y y y y B
C
D
-1 -1
111
1
1
1
1
O
O O
O
x x
x x
y y y
y B
C
D
-1 -1
1
1
11
1
1
1O O O
O x
x x
x
y y
y
y A
B -1
-1 11
1
11
1
1
O O O
O x x
x
x
y y
y y A
B
【答案】
A 【解析】
考点：1. 函数图象；2.不等式的性质.
【名师点睛】本小题主要考查了函数图象、不等式的性质，同时考查了数形结合思想、化归与转化思想及逻辑推理能力，属于基础题．
9.（石家庄市高三复习教学质检、文、12）已知函数()f x =22,x x ex x e ⎧--<⎪⎨⎪⎩0
≥0
,x ，其中e 为自然对数的底
数，若关于x 的方程()||0()f x a x a R -=∈有三个不同的实数根，则()||0f x a x -=的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．以上都有可能 【答案】C . 【解析】
试题分析：由关于x 的方程()||0()f x a x a R -=∈有三个不同的实数根，可得：()||0f x a x -=的零点个数为3个，，故应选C .
考点：1、函数与方程；2、分段函数；
10.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、14）若loga(a2＋1)<loga2a<0，则实数a 的取
值范围是． 【答案】
12
1
<<a 【解析】
试题分析：0>a 且1≠a ，112
>+∴a ，又1log 0)1(log 2a a a =<+ ，10<<∴a ；
由02log )1(log 2<<+a a a a ，得⎪⎩
⎪
⎨⎧<<>>+1
012212a a a
a ，解得
121<<a .
考点：对数不等式.
【名师点睛】解与对数有关的不等式问题，要注意以下两点：
①要注意对数式自身的隐含条件（底数大于0，且不等于1；真数大于0）；
②当对数式的底数含有字母时，要注意讨论底数与1的大小关系，以便确定函数的单调性； ③要熟记特殊对数值：1log =a a ，01log =a
11.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、15）已知函数⎩
⎨⎧>≤--=-)7()
7(3)3()(6x a x x a x f x ，
若数列{}n a 满足))((*N n n f a n ∈=，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()3,2
考点：1.分段函数；2.数列的单调性.
【名师点睛】本题将分段函数的单调性与数列的单调性结合在一起，进行考查，题型比较新颖；在解题过程中要注意数列是自变量为*
N 特殊的函数；若此题改为“若函数⎩⎨
⎧>≤--=-)
7()7(3)3()(6
x a
x x a x f x 在R 上为递
增函数，则⎪⎩
⎪
⎨⎧<-->>--673)3(710
3a a a a ”.
12.（廉江一中月考、文、14）设,3.02
=a ,23
.0=b ,5log 2=c ,3.0log 2=d 则d c b a ,,,的大小关系是
____．（从小到大排列） 【答案】.c b a d <<< 【解析】
试题分析：由已知0d <，2c >，01a <<，12a <<，所以d a b c <<<. 考点：比较大小.
13.（文昌中学高三模拟考试、文、13）已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且
(1)0f =，则不等式(2)0f x -≥的解集是．
【答案】(,1][3,)-∞+∞ 【解析】
试题分析：(2)0(|2|)(1)|2|1212131f x f x f x x x x x -≥⇒-≥⇒-≥⇒-≥-≤-⇒≥≤或或，因此不等式的解集是(,1][3,)-∞+∞ 考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】利用函数性质解不等式问题一般结合函数示意图给予解决，即数形结合：第一步正确画出函数示意图，一般先确定定点，在利用单调性确定走势，最后根据奇偶性或对称性作出对偶区间上的图像；第二步根据题意找出满足题意的区间或范围.
14.(宁夏银川市唐徕回民中学高三月考、文、15）设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋1)＝ f(x)成立，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ＋1，则f(.5)＝________. 【答案】1.5.
考点：函数的奇偶性,周期性.
15.(示范高中高三第二次联考数学、文、19）已知函数()2
1ax b
f x x
+=+是定义在（一1，1）上的奇函数，且1225
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ (I)求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)证明：函数()f x 在（1，1）上是增函数； (Ⅲ)解关于}的不等式，11022f t f t ⎛
⎫⎛⎫
++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【答案】(I)()2
1x f x x =+;(Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)1
02t -<<. 【解析】
考点：1函数的奇偶性;2函数单调性的定义. 三．拔高题组
1.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、10）已知)(x f 的定义在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有
0)
()(212112<--x x x f x x f x ，记0.2220.22
2(log 5)(3)(0.3)
,,30.3log 5
f f f a b c ===，则( ) A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【答案】C 【解析】
考点：构造函数利用函数的单调性比大小。

2.(示范高中高三第二次联考数学、文、11）已知定义在R 上的函数()f x 满足：
()2f x +∈①=2f(x);②当x [-1,1]时，
()cos .2
f
x x π
=记函数g(x)= f(x) log4(x+l)，则函数g(x)在区间
[0，10]内零点个数是（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9 【答案】C 【解析】
试题分析：()cos 0122cos 13
2
32cos 9102
x x x x f x x x πππ⎧
≤≤⎪⎪
⎪<≤⎪=⎨⎪⎪
⎪<≤⎪⎩如图:
函数()g x 的零点的个数就是函数()y f x =与函数()4log 1y x =+交点的个数. 考点：1函数解析式;2函数图像.
3.(示范高中高三第二次联考数学、文、10）已知函数()|1|x
f x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[a ，2b]上的最大值为e1，则b 为（ ） A.ln3 B. 13 C. 1
2
D.l 【答案】C 【解析】
试题分析：()()0f a f b a b =⇒<<,函数()1x f x e =-在[]0,2b 上单调递增，(2)()()f b f b f a >=,所以在区间[],2a b 上的最大值为21
(2)112
b f b e e b =-=-⇒=.故C 正确. 考点：1函数解析式;2指数函数的单调性.
4.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、9）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，x x f 21)(=
，则函数2
1
)()(+=x f x g 的零点是（ ） A ．2()Z n n ∈ B ．21()Z n n -∈ C ．41()Z n n +∈ D ．41()Z n n -∈
【答案】D 【解析】
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.函数的零点. 【名师点睛】1.周期为a 2的函数，满足的式子主要有： ①)()2(x f a x f =+，②)()(a x f a x f -=+，③)
(1
)(x f a x f =
+， ④)
(1
)(x f a x f -
=+，⑤)()(x f a x f -=+； 2.要注意区分以下结论：若)()2(x f a x f =+或)()(a x f a x f -=+，则)(x f 是以a 2为周期的函数；若
)()2(x f x a f =-或)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.
5.（廉江一中高三月考、文、11）设函数f(x)＝x|x|＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，y ＝f(x)。