相似三角形(难度题)

相似三角形
填空题
1．（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为_________．
2．（2001•重庆）已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE=_________m．
3．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，
A1C1，C1A2，…，则CA1=_________，=_________．
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=_________．
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=_________．
6．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC
7．在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_________．
8．如图，在▱ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于_________cm2．
9．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比_________．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜边AB上取一点M，使MB=CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN=．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=_________．
12．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_________．
13．如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ=_________．
14．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF=_________．
解答题
15．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．
16．（2005•重庆）在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？
17．（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO 上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
18．（2009•兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P 在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
19．（2008•孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN 为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD=_________；
（2）当x=_________时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？
20．（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C
为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
21．（2008•梅州）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．
22．（2007•温州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
23．（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：
（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？
24．（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）
25．已知一个二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE 和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．
26．如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
27．如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF 的面积为y．
（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；
（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；
（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？
28．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．
29．（2008•湖州）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为_________，数量关系为_________．
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
30．（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
第4章《相似三角形》常考题集（09）：4.3 两个
三角形相似的判定
参考答案与试题解析
填空题
1．（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为65°或115°．考点：相似三角形的判定与性质。

专题：分类讨论。

分析：根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数．
解答：解：（1）当∠C为锐角时，由AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，△BDA∽△ADC，
∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°；
（2）当∠C为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC
∴∠BCA=25°+90°=115°．
点评：本题涉及相似三角形的性质以及分类讨论思想．
2．（2001•重庆）已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE=48m．
考点：相似三角形的判定与性质。

专题：综合题。

分析：根据平行线的性质可推得△ABC∽△EDC，再根据相似三角形的对应边成比例可得出一关系式AB：DE=AC：CE，由外角平分线可推出DE=AE，则可求解．
解答：解：∵DE∥AB
∴∠BAC=∠E，∠B=∠EDC
∴△ABC∽△EDC
∴AB：DE=AC：CE
∵AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB
∴∠EDA=∠EAD
∴DE=AE=AC+CE
即15：（12+CE ）=12：CE
∴CE=48m ．
点评：本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定及性质，注意相似三角形中对应边成比例．
3．如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，
A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，= ．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理。

专题：规律型。

分析：由于在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，利用等面积法，可以求出CA 1=
；由于△BA 5C 4∽△BCA ，根据相似三角形的性质，即，所以==． 解答：解：在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，
∴AB=，
又因为CA 1⊥AB ， ∴AB •CA 1=AC •BC ，
即CA 1===．
∵C 4A 5⊥AB ，
∴△BA 5C 4∽△BCA ， ∴，
∴==． 所以应填和．
点评：本题重点考查了相似三角形的判定和性质，其中相似三角形的性质“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”是解题的关键．
4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △DOC ：S △BOC = 1：3 ．
考点：相似三角形的判定与性质；梯形。

分析：根据在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，则S△AOD：
S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3．
解答：解：根据题意，AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∵S△AOD：S△COB=1：9
∴=
则S△AOD：S△DOC=1：3
所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。

分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解．
解答：解：ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD
∴△BEF∽△DAF
∴BE：DA=BF：DF
∵BC=AD
∴BF：DF=BE：BC=2：3．
点评：本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．
6．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC 的面积为14．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理。

分析：根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可得△DEF和△ABC的对应边的比都是1：2，从而得到两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方进行求解．
解答：解：∵∠ADB=90°，E、F分别为AC、AB的中点，
∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．
∴△DEF∽△ABC，且相似比为1：2，
则S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．
点评：用到的知识点有：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三条对应边的比相等的两个三角形相似；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线的性质．
可以直接根据三边对应成比例证明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．7．在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为35．
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质。

分析：连接EF，由于EF分别是ADBC上的中点，所以EF∥AB∥CD，而四边形ABCD是长方形，所以四边形EFCD 是矩形，再过M作MQ⊥EF，同样也垂直于CD，再利用GH=DC，可得相似比，那么可求出NM，MQ，以及EF，
CD的长，再利用三角形的面积公式可求出△EFM和△MGH的面积，用矩形EFCD的面积减去△EFM的面积减去△GHM 的面积，即可求阴影部分面积．
解答：解：连接EF，过M作MQ⊥EF，交EF于N，交CD于Q，
∵△EFM∽△HGM，相似比是EF：GH=2：1，
∴MN：MQ=EF：GH=2：1，
又∵NQ=•BC=6，
∴MN=4，MQ=2，
∴S△EFG=×10×4=20，
∴S△GHM=×5×2=5，S矩形EFCD=6×10=60，
∴S阴影=60﹣20﹣5=35．
故答案为：35．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．8．如图，在▱ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于48cm2．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。

分析：根据相似三角形的性质，先证△DOE∽△BOA，求出相似比为，故面积比为，即可求S△AOB=4S△DOE．
解答：解：∵在▱ABCD中，E为CD中点，
∴DE∥AB，DE=AB，
在△DOE与△BOA中，
∠DOE=∠BOA，∠OBA=∠ODE，
∴△DOE∽△BOA，
相似比为=，
故面积比为，
即S△AOB=4S△DOE=4×12=48cm2．
点评：本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的性质．
9．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比4：5．
考点：相似三角形的判定与性质。

分析：先证△AEF∽△ABC，相似比是2：3，根据相似三角形性质，可求面积的比是4：9，故可求△AEF与梯形BCFE 的面积比．
解答：解：AE=2BE，则，
根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，相似比是2：3，
面积的比是相似比的平方，因而面积的比是4：9，
设△AEF的面积是4a，则△ABC的面积是9a，
则梯形BCFE的面积是5a，
因而△AEF与梯形BCFE的面积比4：5．
点评：本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜边AB上取一点M，使MB=CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN=3．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB=AM：MN，代入数值求解即可．
解答：解：∵∠C=∠AMN=90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，
∴△ACB∽△AMN，
∴AC：CB=AM：MN，
在直角△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即AB=10；
又∵AC=8，CB=6，AM=AB﹣6=4，
∴=，即MN=3．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=2．
考点：相似三角形的判定与性质。

分析：首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长．
解答：解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
12．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是1：4．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。

分析：由于M、N是AB、BC的中点，那么MN是△ABC的中位线，由中位线所得MN、AC的位置关系，可判定△MNO∽△CAO，根据中位线得到的数量关系，可得到两个相似三角形的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比即可得解．
解答：解：∵M、N是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，且MN=AC；
∴△MON∽△COA，
∴S△MON：S△COA=MN2：AC2=1：4．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的综合应用．
13．如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．
考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质。

专题：计算题。

分析：根据平行线的性质先证明△ADE∽△AFG∽△ABC，再根据已知及相似三角形的性质求出S△ADE：S△AFG：S△ABC 的值，从而得出SⅠ：SⅡ：SⅢ的值．
解答：解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵AD=DF=FB，
∴AD：AF：AB=1：2：3，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：4：9，
∴SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．
点评：本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF=4．
考点：相似三角形的判定与性质。

分析：根据已知可推出△AFG∽△CEG，△ADF∽△BDE，根据相似三角形的相似比不难求得AF的长．
解答：解：∵AF∥BC，点D是AB边的中点，
∴∠F=∠E，∠ADF=∠EDB，AD=BD，
∴△ADF≌△BDE
∴AF=BE
设AF=BE=x．
∵AF∥EC
∴△AGF∽△CGE
∴==
即
∴BE=EC，BC=8=EC，
∴EC=12，
∴BE=4，
∴AF=4．
故答案为：4．
点评：此题考查了三角形的判定与性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；若平行于三角形一边的直线与另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
解答题
15．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．
考点：一次函数综合题；矩形的判定；直角梯形；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题；压轴题；动点型；分类讨论。

分析：（1）可根据点B，C的坐标，用待定系数法来求出直线BC的解析式；
（2）可先计算出梯形面积的，也就求出了四边形COPD的面积．有OC的长，D是BC的中点，如果过D作梯形
的中位线，可求出三角形OCD中，OC边上的高应该是4，由此可求出三角形OCD的面积，也就能表示出OPD的面积，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面积，得出关于t的方程，即可求出此时t的值；
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在OA上时，即0＜t＜8时，如果过D作OA的垂线DE，垂直为E，那么DE就是梯形的中位线，即DE=7，要表示三角形OPD的面积，还需知道OP的长，可以根据P点的速度，用时间t表示出OP，这样可根据三角形的面积公式求出关于S，t的函数关系式．
②当P在AD上时，即8≤t＜18时，三角形OPD的面积可以用四边形OAPD的面积﹣三角形OAP的面积来表示，而四边形OAPD的面积可分成梯形DEAP和三角形OED两部分来求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四边形OAPDD的面积，三角形OAP中，可用t表示出AP的长，进而可用t表示出三角形OAP的面积，然后根据三角形OPD的面积S=四边形OAPD的面积﹣三角形OAP的面积，即可得出关于S，t的函数关系式；
③当P在BD上时，即18＜t＜23时，三角形OPD的面积可用三角形OCP的面积﹣三角形OCD的面积来求，三角形OPC中，可过P作OC的垂线PH，可根据AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC边上的高PH的表达式，那么就能表示出三角形OPC的面积，三角形OCD中，OC的值已知，而OC边上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面积，然后可根据三角形OPD的面积=三角形OPC 的面积﹣三角形OCD的面积来求出关于S，t的函数关系式；
（4）先假设存在这样的点P，那么四边形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此时t
的值，首先就要求出AP的长，根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不难得出三角形AQP与三角形DPB相似，那么可得出关于BD，BP，AP，OP的比例关系，而BD，OP的长已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此时AP，PB的长，然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立，如果成立可根据AP的长求出t的长．
解答：解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，
因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：
，
解得k=，b=4，
因此BC所在直线的解析式是y=x+4；
（2）过D作DE⊥OA，
则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，
则DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，
则四边形OPDC的面积为16，S△COD=8，
∴S△POD=8，
即•t×7=8，
得t=；
（3）分三种情况
①0＜t≤8，（P在OA上）
S三角形OPD=t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S三角形OPD=S梯形OCAB﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD
=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t
（此时AP=t﹣8，BP=18﹣t）
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3DM=4CD=5
∴∠BCH的正弦值为
CP长为28﹣t
∴PH=22.4﹣0.8t
S三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC
=×4（22.4﹣0.8t）﹣8
=﹣t；
（4）不能．理由如下：作CM⊥AB，
则CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
设BP=x，则PA=10﹣x，
∴，
化简得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．
点评：本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
16．（2005•重庆）在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。

专题：动点型。

分析：（1）已知直线经过点A，B就可以利用待定系数法求出函数的解析式．
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
（3）过点Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得，
解得，
直线AB的解析式为：y=﹣x+6．
（2）设点P、Q移动的时间为t秒，OA=6，OB=8，
∴勾股定理可得，AB=10，
∴AP=t，AQ=10﹣2t．
分两种情况，
①当△APQ∽△AOB时，
，，t=，
②当△AQP∽△AOB时，，，
t=，
综上所述，当t=或时，
以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似．
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积，
AP=2，AQ=6，过点Q作QM⊥OA于M，
△AMQ∽△AOB，
∴，
QM=4.8△APQ的面积为：AP×QM=×2×4.8=4.8（平方单位），
∴四边形OPQB的面积为：S△AOB﹣S△APQ=24﹣4.8=19.2（平方单位）．
点评：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
17．（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO 上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
考点：二次函数的最值；勾股定理；梯形；相似三角形的判定。

专题：压轴题。

分析：（1）要求梯形的面积就要知道两底和高的值，根据动直线的速度，可以用时间表示出OE的长，也就表示出了梯形的高，根据P的速度可用时间t表示出AP，然后根据AO的长得出OP的长，现在关键是底EF的长，由于△AOB 是个等腰直角三角形，那么△BEF也应该是个等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的长，就可以表示出BE，EF的长，这样可根据梯形的面积公式求出梯形的面积，也就求出了梯形的面积与t的函数关系式，就能求出当t=1时梯形的面积，也能求出梯形的最大面积以及对应的t的值；
（2）三角形的面积就是AP•OE÷2，由于（1）中我们得出了梯形的面积与t的函数式，当梯形的面积与三角形的面积相等时，那么这两个式子就相等，可求出此时时间的值．有了时间的直角就求出了OE，PA的值，可通过F引OA的垂线，用直角三角形和勾股定理求出PF的长；
（3）当时间不同时，AP1：AP2=t1：t2，而此时AF1：AF2也正好是t1：t2，那么这两条线段对应成比例而两三角形又共用了这里两组对应线段的夹角，故两三角形相似．
解答：解：（1）S梯形OPFE=（OP+EF）•OE=（25+27）×1=26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y=（28﹣3t+28﹣t）t=﹣2t2+28t=﹣2（t﹣7）2+98，
所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；
（2）当S梯形OPFE=S△APF时，
﹣2t2+28t=，解得t1=8，t2=0（舍去）．
当t=8秒时，FP=8；
（3）由，
且∠OAB=∠OAB，
可证得△AF1P1∽△AF2P2．
点评：本题主要考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的应用等知识点，根据直角三角形的各特殊角得出线段间的大小关系是解题的关键．
18．（2009•兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P 在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．。