2016-2017年数学·选修2-3课件：第一章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式

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类型 1 组合的概念(自主研析) [典例 1] (1)判断下列问题是组合问题还是排列问 题： ①设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中 含有 3 个元素的有多少个？ ②某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多 少种车票？多少种票价？
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2．组合与排列问题的异同． 组合与排列问题的共同点是都要“从 n 个不同元素 中，任取 m 个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成 一组”，而后都者要“按照一定顺序排成一列”．
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3．组合数、组合数公式及组合数性质． (1)“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合 是指“从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个元素合成 一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是 指从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数， 它是一个数．
() A．36 种 C．96 种
B．48 种 D．192 种
解析：甲选修 2 门的选法有 C24＝6(种)，乙、丙各选
修 3 门的选法有 C34·C34＝16(种)．由分步乘法原理可知， 选法共有 6×16＝96(种)．
答案：C
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5．设 x∈N*，则 Cx2－ x－13＋C2xx＋－13＝________． 解析：根据组合数的概念知 0≤x－1≤2x－3≤x＋1， 得 2≤x≤4，因为 x∈N*，所以 x＝2 或 x＝3 或 x＝4，所 以 Cx2－ x－13＋C2xx＋－13＝C11＋C13＝4 或 C23＋C34＝7 或 C45＋C55＝ 6. 答案：4 或 7 或 6
类型 3 简单的组合问题 [典例 3] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了 初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件 下，有多少种不同的选法？ (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加．
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解：(1)C512＝792，即有 792 种不同的选法； (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)； (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
取出不含黑球的 3 个球，共有 35 种取法．
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1．组合的概念． 组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元 素”；二是“合成一组”，“合成一组”即表示与顺序无 关．若两个组合中的元素完全相同，不管它们是顺序如 何都是相同的组合；若两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)，则是不同的组合．
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(2)当 m，n 数值较大时或要对含有字母的组合数式进 行变形论证时，利用公式 Cnm＝m！（nn！－m）！解题较方 便．
(3)计算组合数时，特别是 m 较大时，注意利用公式 Cnm＝Cnn－m进行转化．
所以所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
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归纳升华 (1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺 序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元 素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．
即从口袋内取出 3 个球，共有 56 种取法． (2)从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球，于是还 要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 C27＝72× ×61＝21. 故取出含有 1 个黑球的 3 个球，共有 21 种取法．
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(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37＝73××62××51＝35.
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归纳升华 解答简单的组合问题的方法： (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是 组合问题； (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出结果．
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[变式训练] 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球．
第一章 计数原理
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1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
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[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
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③2017 年元旦期间，某班 10 名同学互送贺年卡，表 示新年的祝福，贺年卡共有多少张？
(2)已知 A、B、C、D、E 5 个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合.
解：(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问 题．
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组合，所有组合个数为 C23.( ) (2)从 1，3，5，7 知任取两个数相乘，可得 C24个不同
的积．( )
(3)C25＝5×4＝20.( )
(4)C22 001167＝C12 017＝2 017.(
)
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解析：(1)对，根据组合数定义知说法正确． (2)对，根据组合数的定义知说法正确． (3)错，C25＝52××41＝10. (4)对，根据组合数的性质知等式成立． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
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解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关， 是组合问题；②中的分组情况与球队的顺序无关，是组合 问题；③和④中的问题是排列问题．
答案：C
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4. 甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中， 甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有
②因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的，故是 排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站 是同一种票价，故是组合问题．
③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与 顺序有关，是排列问题．
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(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，即
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温馨提示 注意组合与排列的区别与联系．
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2．组合数公式与性质
(1)组合数公式：①Cmn ＝AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
m！
.
②Cmn ＝m！（nn！－m）！．
(2)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m_；②Cmn＋1＝ _C_nm_＋__C__nm_－_1 ．规定：C0n＝1．
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0≤5－n≤n，
(2)由组合数定义知：
得 4≤n≤5.
0≤9－n≤n＋1，
又 n∈N*，
所以 n＝4 或 n＝5.
当 n＝4 时，C5n－n＋C9n－＋n1＝C14＋C55＝5；当 n＝5 时， C5n－n＋C9n－＋n1＝C05＋C46＝16.
答案：(1)5 050 (2)5 或 16
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(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然 后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如 本题的作图法，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗 漏．
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[变式训练] (1)判断下列问题是排列问题还是组合 问题：
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归纳升华 (1)组合恒等式的证明，求解组合等式或不等式中的
n！ 字母值或取值范围主要应用公式：Cmn ＝m！（n－m）！.
(2)组合数的计算利用 Cnm＝ n（n－1）…（n－m＋1）
较为简便． m！
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[变式训练] (1)计算：C410－C37A33＝________； (2)方程 C31n8＋6＝C41n8－2的解集是________． 解析：(1)原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝ 210－210＝0.
③是组合问题，选出的 4 人无角色差异，不需要排列 他们的顺序．
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(2)可按 a→b→c→d 顺序写出，即 所以所有组合为 ab，ac，ad，bc，bd，cd.
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类型 2 组合数的计算 [典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________． 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050；
(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有 多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
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解：(1)从口袋的 8 个球中取出 3 个球，取法种数是 C38＝83× ×72× ×61＝56.
①把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人，每人至多分 一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从 2，3，5，7，11 这 5 个质数中，每次取 2 个数 分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不 同的分数？
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③从 9 名学生中选出 4 名参加一个联欢会，有多少种 不同的选法？
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2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 C．A27
B．C77 D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
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3．下面几个问题中属于组合问题的是( ) ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②5 个队进行 单循环足球比赛的分组情况；③由 1，2，3 构成两位数的 方法；④由 1，2，3 组合无重复数字的两位数的方法． A．①③ B．②④ C．①② D．①②④
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[知识提炼·梳理]
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从 n 不同元素中取出 m 个元素的 一个组合． (2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的所有不同组合的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cnm表示．
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(2)由原方程及组合数性质可知 3n＋6＝4n－2 或 3n ＋6＝18－(4n－2)，所以 n＝2 或 n＝8.而当 n＝8 时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此 n＝2.
答案：(1)0 (2){2}
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温馨提示 1.组合数公式可由排列数公式表示，注意 公式的结构；2.组合数公式在 n，m∈N*，且 m≤n 时成立， 在 m＞n 时不成立．
第七页，编辑于星期五：十七点 四考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)从 x，y，z 三个不同元素中任取两个元素组成一个
(2)已知 a、b、c、d 这四个元素，写出每次取出 2 个 元素的所有组合．
解：(1)①是组合问题．由于 4 张票是相同的(都是当 日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从 5 人中选择 哪 4 人，这和顺序无关．
第二十二页，编辑于星期五：十七点 四十九分。
②是排列问题，选出的 2 个数作分子或分母，结果是 不同的．