机械动力学与振动学讲义_8

8-5 杆振动的固有频率和振型 设 代入杆运动方程得
u ( x, t ) = U ( x)φ (t )
U ( x)
2 d 2φ (t ) 2 d U ( x) c = φ (t ) dt 2 dx 2
改写成
1 d 2φ (t ) 1 d 2U ( x ) 2 c = = −ω 2 2 2 U ( x ) dx φ (t ) dt
解得 固有频率 振型
B = 0，和 sin kl = 0 => kl = nπ
ωn = kn2
EI n 2π 2 = 2 l ρA
EI ρA nπ x l
Yn ( x ) = Dn sin kn x = Dn sin
各种边界条件梁的振型：
8-7 连续系统振型函数的正交性 杆的振型函数的正交性： 杆振动的第 i 阶与第 j 阶振型函数 Ui(x)和 Uj(x)分别满足下列微分方程
Y
x =0
=0 = 0 =>
x =0
=>
A+C = 0
d 2Y dx 2
Y
x =l
A−C = 0， ∴A = C = 0
=0 =0
x =l
=> =>
B sinh kl + D sin kl = 0
B sinh kl − D sin kl = 0
d 2Y dx 2
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y = Y ( X )e iωt = Ce i (ωt + kx ) − ρAω 2 + EIk 4 = 0 ⎛ρA 2⎞ ⎛ ρA 2⎞ k1−4 = ± ⎜ ω ⎟ 和 ±i ⎜ ω ⎟ ⎝ EI ⎠ ⎝ EI ⎠
14Байду номын сангаас
14
梁的振动 (弯曲波)
y ( x, t ) = C1e iωt −kx + C2e iωt +kx + C3e i (ωt + kx ) + C4e i (ωt − kx ) = {C1e − kx + C2e kx + C3e − ikx + C4e ikx } e iωt ⎛ ρA 2⎞ k =⎜ ω ⎟ —— 波数 ⎝ EI ⎠ Fe iωt e kx e ikx e −kx e −ikx x
∫ U U dx = 0
0 i j
l
这就是杆的振型函数的正交性。 梁的振型函数的正交性： 梁振动的第 i 阶与第 j 阶振型函数 Yi(x)和 Yj(x)分别满足
EI
d 4Yi ( x ) − ρ Aωi2Yi ( x ) = 0 dx 4
(4)
EI
d 4Y j ( x ) dx
4
− ρ Aω 2 j Y j ( x) = 0
∞
(取 Cn = 1) nπ x l
初始条件：
u( x,0) = ∑ An cos
n =1
nπ x， l
u( x,0) = ∑ ωn Bn cos
n =1
An =
2 l nπ 2 l nπ u ( x ,0) cos xdx ， B = u( x,0) cos xdx n ∫ ∫ 0 0 l l l ωn l
得到
d 2φ (t ) + ω 2φ (t ) = 0 2 dt d 2U ( x ) ω 2 d 2U ( x ) U ( x ) 0 + = 或 + k 2U ( x ) = 0 dx 2 c2 dx 2
方程的解为
φ (t ) = A cos ωt + B sin ωt
U ( x) = C cos kx + D sin kx
(5)
把(4)式乘以 Yj(x)， (5)式乘以 Yi(x)，然后将所得方程相减，并在梁长度区间内积分， 得到
′′′′ ′′′′ ρ A(ωi2 − ω 2 j ) ∫ YY i j dx = EI ∫ ( Yi Y j − YY i j ) dx
l l 0 0
(6)
l 0
式(6)右边的积分结果为
′′′′ ′′′′ ′′′ ′′′ ′ ′′ ′′ ′ ρ A(ωi2 − ω 2 j ) ∫ YY i j dx = EI ∫ ( Yi Y j − YY i j ) dx = ( Yi Y j − YY i j + Yi Y j − Yi Y j )
固有频率与振型则由梁的边界条件决定： 固定端 简支端
Y = 0，
Y = 0，
dY = 0； dx d 2Y =0 dx 2
(M = 0)
d 3Y =0 dx 3
自由端
d 2Y =0 dx 2
( M = 0 )，
(Q = 0)
振型函数 Y(x)中的常量 A、B、C、D 和计算固有频率的特征方程由边界条件决定。
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注：表中 βn 即波数 kn 例题 3. 两端简支梁的固有频率和振型
Y ( x ) = A cosh kx + B sinh kx + C cos kx + D sin kx d 2Y = k 2 ( A cosh kx + B sinh kx − C cos kx − D sin kx ) 2 dx
14
式中
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⎛ ρA 2⎞ ω ⎟ , =⎜ 弯曲波是色散波： ∵ k = c B ⎝ EI ⎠ y t x cB
ω
14
⎛ EI 2 ⎞ ω ⎟ ∴ cB = ⎜ ⎝ ρA ⎠
1/ 4
t +Δt x Δx
梁振动的固有频率与振型： 设 代入梁振动方程得
E
ρ
是纵向振动波在杆中传播的速度
8-2 杆的扭转振动 微段 dx 的扭转运动方程为
x θ
dx
ρ I p dx
∂ 2θ ∂T ∂T dx − T = dx =T + 2 ∂t ∂x ∂x
由材料力学知
T = GI p
∂θ E ， G= 2(1 + μ ) ∂x
T dx
T+
∂T dx ∂x
所以有
∂ 2θ G ∂ 2θ = ρ ∂x 2 ∂t 2
= EA
x =l
x =l
2 M ωn sin
ωnl
c c
= EA
ωn
c
cos
ωn l
c E
ωnl
c
tan
ωn l
=
ρ Al
M
—— (∵ c 2 =
ρ
)
β tan β = α ⇒
ωn
对于 ρAl << M， 即杆的质量远小于自由端质量 M 情况， 可以认为 β 很小， tan β ≈ β， 此时
β tan β ≈ β 2 =
d 2U i ( x) ωi2 + 2 U i ( x) = 0 dx 2 c d 2U j ( x) ω 2 + 2j U j ( x) = 0 2 dx c
(1)
(2)
把(1)式乘以 Uj(x)，(2)式乘以 Ui(x)，然后将所得方程相减，并在杆长区间内积分， 得到
ωi2 − ω 2 j
c
2
∫ U U dx = − ∫ (U ′′U
y ( x, t ) = Y ( x )ϕ (t )
d 2ϕ (t ) d 4Y ( x ) ρ AY ( x ) ϕ (t ) = 0 + EI dt 2 dx 4
分离变量后
d 2ϕ (t ) 1 EI d 4Y ( x ) 1 = − = −ω 2 dt 2 ϕ (t ) ρ A dx 4 Y ( x )
固有频率与振型由边界条件决定： 固定端 U = 0 ， 例题 1. 自由-自由杆的固有频率和振型 边界条件 因为 所以有 和 固有频率：
dU dx =0 和
x =0
自由端
dU =0 dx
dU dx
=0
x =l
dU ( x) = k ( D cos kx − C sin kx ) dx
D=0 sin kl = 0 ⇒ kl = nπ
2 = M ωn Dn sin x =l
ωnl
c
( An cos ωn t + Bn sin ωn t )
杆自由端的应变为
∂un ∂x =
x=L
ωn
c
Dn cos
ωn l
c
( An cos ωn t + Bn sin ωn t ) ∂un ∂x
力与应变的关系： 即 或 求解超越方程
−M
∂ 2 un ∂t 2
2 2 ωn l ρ Al EA l ≈ ， ∴ωn ≈ M E ρ M
(弹簧-质量振子)
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8-6 梁的横向振动
y x x dx M
Q dx
Q+
∂Q dx ∂x
M+
∂M dx ∂x
根据牛顿第二运动定律
ρAdx
∂Q ∂2 y ∂Q ⎞ ⎛ = Q − ⎜Q + dx ⎟ = − dx 2 ∂t ∂x ⎠ ∂x ⎝
(ρ 为线密度)
∴
∂2 y T ∂2 y = ∂t 2 ρ ∂x 2
c= T
或
2 ∂2 y 2 ∂ y = c ， ∂t 2 ∂x 2
ρ
—— 波速
8-4 波动方程的解 将 代入杆的波动方程可得 或写成 试比较 波动方程的解：
u = C1e i (ωt − kx ) 或 u = C2 e i (ωt + kx )
ω 2 = c 2k 2
k=
ω
c
=
2π f 2π = —— 波数，λ 为波长 fλ λ
ω=
2π 2π 与 k= T λ
u( x, t ) = C1e i (ωt −kx ) + C2 e i (ωt + kx ) = f1 ( ct − x ) + f 2 ( ct + x ) ⎡ ⎛ω ⎞⎤ ei (ωt −kx ) = exp ⎢ik ⎜ t − x ⎟ ⎥ = exp ⎡ ⎣ik ( ct − x ) ⎤ ⎦ —— 沿 x 正方向传播 ⎠⎦ ⎣ ⎝k
u+ ∂u dx ∂x
ρAdx
∂ 2u ∂F ∂F dx ) − F = dx = (F + 2 ∂t ∂x ∂x ∂F ∂ 2u = EA 2 ∂x ∂x
∂ 2u E ∂ 2u = ∂t 2 ρ ∂x 2
2 ∂ 2u 2 ∂ u = —— 一维波动方程 c L ∂t 2 ∂x 2
因为
所以
或
cL =
观察(t + Δt, x + Δx)时的波形，当 Δx = cΔt ，与(t, x)时的波形完全相同，即满足
exp{ik [c(t + Δt ) − ( x + Δx )]} = exp{ik ( ct − x )}
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u t x
c t +Δ t x Δx
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8 连续系统
8-1 杆的纵向振动 微段 dx 的变形量 ∂u ∂u (u + dx ) − u = dx ∂x ∂x 微段 dx 的应变 ∂u εx = ∂x 根据虎克定律 F ∂u = Eε x = E A ∂x 根据牛顿第二运动定律
∂F dx ∂x
F x dx u
F+
ρ, A
例题 2. 截面积为 A 的均质杆长度为 l，其上端固定，自由端连结质 量 M，求杆纵向振动的固有频率。 解：杆振动的振型函数 由固定端边界条件 得到
U ( x) = C cos kx + D sin kx
U
x =0
=0
l
U n = Dn sin
∂ 2un −M 2 ∂t
ωn
c
x M x
对第 n 阶振动，杆自由端受到惯性力
得到
d 2ϕ (t ) + ω 2ϕ (t ) = 0 dt 2 d 4Y ( x ) − k 4Y ( x ) = 0 4 dx k4 =
和 式中 解得 和
ρA
EI
ω2
ϕ (t ) = C1 cos ωt + C2 sin ωt
Y ( x ) = A cosh kx + B sinh kx + C cos kx + D sin kx
l l
0
i
j
0
i
j
′ ′ − U iU ′′ j ) dx = − (U i U j − U iU j )
l
0
(3)
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根据杆的边界条件 固定端：
U =0；
自由端：
U′ = 0
可知无论何种边界条件，式(3)右边的积分总是等于 0。但是 ωi2 ≠ ω 2 j ，故有
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2 ∂ 2θ 2 ∂ θ = c T ∂t 2 ∂x 2
或
cT =
G
ρ
是扭转振动波在杆中传播的速度
8-3 弦的振动
y T ∂θ θ + dx ∂x y x
运动方程
θ T
dx
∂2 y ∂θ ∂θ ρ dx 2 = T (θ + dx ) − T θ = T dx ∂t ∂x ∂x ∂y ∵θ = ∂x
得
ρA
∂2 y ∂Q =− 2 ∂t ∂x
由力矩平衡 得 根据弯矩与曲率的关系
∂M ⎞ ⎛ M + Qdx − ⎜ M + dx ⎟ = 0 ∂x ⎝ ⎠ ∂M =Q ∂x M = EI ∂2 y ∂x 2
得到梁的弯曲振动方程 将 代入振动方程可得 解得
ρA
∂2 y ∂4 y EI + =0 ∂t 2 ∂x 4
ωn = kc =
nπ nπ c= l l
E
ρ
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振型函数：
U n ( x ) = Cn cos
nπ x l
自由-自由杆的自由振动：
u( x, t ) = ∑ ( An cos ωn t + Bn sin ωn t ) cos
n =1 ∞
∞
nπ x l