高中数学 1.4 算法案例课件 苏教版必修3

一的一般解法：凡三三数之剩一，则置七十；五五数
之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一
百六以上，以一百五减之即得．
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在明朝程大位著《算术统宗》一书中，把
上述问题的基本解法，用诗句概括为：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子
团圆正半月，除百减五便得知．
栏
目
依定理译成算式为：
链
接
70×2＋21×3＋15×2＝233，233－105×2
21
3．63与231的最大公约数是__________．
栏 目 链 接
要点
导 航 一、中国剩余定理
中国剩余定理，也称为孙子剩余定
理．该定理在近代数学和电子计算机程序设计
中有着广泛的应用．
栏
目
(1)剩余问题．
链 接
在整数除法里，一个数分别除以几个数，
得到整数商பைடு நூலகம்，均有剩余；已知各除数及其对
应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数
目
这两个数中的较大的数减去较小的数，继续上述的 链
接
操作(大数减小数)，直到产生一对相等的数为止，那 么这个数(等数)就是所求的最大公约数．这是因为每 次操作后所得的两数与前两数具有相同的最大公约 数，而两数的值逐渐减小，经过有限步操作后一定 可得相等的两数．
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3．“更相减损术”与“辗转相除法”的异同 点．
栏 目 链 接
自主 学习
1．孙子剩余定理即中__国__剩__余__定__理____，在近代数学和
电子计算机程序设计中有着广泛的应用．
栏
2．公元前3世纪，欧几里得在《原本》中介绍的求
目 链
两 个 正 整 数 的 最 大 公 约欧数几的里得方辗法转，相除称法为 接
__________________．
数学·必修3（苏教 版）
第1章 算法初步
1．4 算法案例
情景切入 韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次
汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩 信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士 兵的人数．
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2人多余； 接着立即下令将队形成为5列纵队，这一改，又多 出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2 人无法成整行．
(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)．
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如：22÷7＝3……1
(22×4)÷7＝12……1×4(＝4)
[ 要 余 2 ， 则 22×2÷7 ＝ 6……2 ； (22×9)÷7 ＝
28……1×9－7(＝2)]
栏
(要余5，则22×5÷7＝15……5)
目 链
接
(3)中国剩余定理．
中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古
代算书《孙子算经》中，有这样一个问题(称为“物
不知数”问题)及其解法：
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今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩
三；七七数之剩二问物几何？
答曰：二十三．
术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数
栏
之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之， 目
链
得二百三十三，以二百一十减之即得．”
接
“术”即解法．书中还介绍了上述问题中余数为
＝23.
这就是享誉中外的“中国剩余定理”．
(4)“物不知数”问题的算法分析与算法的
流程图与伪代码表示，请直接参见教材相关部
分．
要点
导 航 二、求两个正整数的最大公约数的算法
1．辗转相除法．
公元前3世纪欧几里得在《原本》中提出的：
“设有不相等的二数，从大数中连续减去小数直到
栏 目
链
余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于 接
在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出 准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士 兵2 333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法 这么快就能得出正确的结果的．同学们，你知道吗？
1．理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方 法．
2．理解中国剩余定理在数学中的应用． 3．理解二分法求方程的近似解的算法．
“更相减损术”与“辗转相除法”这两种算 法分别来源于东西方古代数学名著，但二者的算理 栏
目
确是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转 链
接
相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减 损术进行的是减法运算，即辗转相减，但实质都是 一个不断的递归过程．
辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r(a＞b) r＝a－nb得a，b与b，r有相同的公约数；更相减 损术的理论依据是：由a－b＝r(a＞b) a＝b＋r得a，
余数，这样一直下去，若余数总是量不尽其前一个
数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互质．”
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辗转相除法就是把给定的两个数，用较大的
数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小
的数，继续上面的除法，直到余数为零，此时的除
数就是所求的最大公约数．
从算法思想我们可以看出，辗转相除法的基
栏 目
链
本步骤是用较大的数(用a表示)除以较小的数(用b表 接
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有相同的公约数．所以，它们有相同的理论依
栏
据，只不过一个用除法，另一个用减法罢了．
目 链
接
要点
导 航 三、二分法
用二分法求方程的近似解，应先估计其根在某个范围
内，如[a，b]，再求 f(a)，f(b)，fa＋2 b的值，根据三个值
栏 目 链
接
的符号异同判断所求根在哪个更小的范围内．依此类推，
直到求得的根的近似值满足题目的精确度要求(或在某步得 到准确解．)
栏 目 链 接
典例
剖 析 题型一 剩余问题的算法
例1我国《算经十书》之一《孙子算经》中
有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之
剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几
栏 目
何？”你能用程序解决这个问题吗？
的问题，叫做剩余问题．
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(2)两个性质．
性质1：几个数相加，如果只有一个加数不
能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么
它们的和就不能被数a整除．
栏
如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能
目 链
接
被5整除，所以(10＋15＋7)不能被5整除．
性质2：二数不能整除，若被除数扩大(或缩
小)了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大
示)，得到：a＝nb＋r(0≤r＜b)．
由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数
由余数r是否等于0决定，所以我们可以把它看作一
个循环体，用循环结构就可以实现其算法．
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2．更相减损术． 用更相减损术求两个正整数的最大公约数的过程与 算法设计：对于给定的两个正整数，用较大的数减 去较小的数，接着将得到的差与较小的数比较，用 栏