人教版高中数学必修第二册-10.1 随机事件与概率【导学案】

10.1随机事件与概率
知伿概要1.随机试验
随机事件可以在相同条件下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间通常情况下,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.
3.事件的分类
(1)随机事件:是样本空间Ω的子集,简称“事件”,只包含一个样本点的事件称为基本事件.(2)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件:空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为不可能事件.4.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性是相等的(简称为等可能性),则将这样的随机试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型(简称为古典概型).5.概率的性质
性质1:对任意的事件A ,都有()0P A .
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即()()Ω1,0P P =∅=.
性质3:如果事件A 与事件B 互斥,那么
()()().
P A B P A P B ⋃=+推广:如果事件123,,,,m A A A A L 两两互斥,那么事件12m A A A ⋃⋃⋃L 发生的概率等于这m 个事件分别发生的概率之和,即
()()()()1212m m P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++L L .
性质
4:
如果事件
A
和事件
B
互为对立事件,那么
()()()()1,1P B P A P A P B =-=-.
性质5:如果A B ⊆,那么()()P A P B .
性质6:设,A B 是一个随机试验中的两个事件,我们有
()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂.
高妙思想
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:(1)中国运动员将在下届奥运会上获得首枚金牌;(2)三角形的两边之和大于第三边;(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)下届奥运会上,我国运动员取得的金牌数排名第一;(5)无论科学技术多少发达,“永动机”都不会出现.
解析由题意知,(1)(4)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.(2)所有三角形的两边之和都大于第三边,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.(5)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是必然事件.
点睛
判断一个事件是哪类事件的方法:一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而
言的;二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
【例2】同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y ,结果为
(),x y .
（1）写出这个试验的样本空间;（2）求这个试验包含的样本点的总数;（3）用集合表示下列事件:①"5"M x y =+=;②“3N x =<,且1y >”;③T ="4xy =".
解析(1)()()()()()()()()()()()()Ω{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,=,
()()()()4,1,4,2,4,3,4,4}
.
(2)样本点总数为16.
(3)(1)“5x y +=”包含以下4个样本点:()()()()1,4,2,3,3,2,4,1.所以()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1M =
.
(2)“3x <,且1y >”包含以下6个样本点:()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,2,2,3,2,4.所以()()()(){1,2,1,3,1,4,2,2N =,
()()2,3,2,4}.
(3)“4xy =”包含以下3个样本点:()1,4,()()2,2,4,1.
所以()()(){}1,4,2,2,4,1T =
.
点睛
本题关键是不漏不重,用枚举的方法去计算要求的指定事件.
【例3】在试验“连续抛郑一枚硬币3次,观察落地后正面、反面出现的情况”中,设事件A 表示随机事件“第一次出现正面”,事件B 表示随机事件“3次出现同一面”,事件C 表示随机事件“至少1次出现正面”.
(1)试用样本点表示事件,A B A B ⋃⋂,,;A C A C ⋃⋂(2)试用样本点表示事件,A B B A ⋃⋂,,A C C A ⋃⋂(3)试判断事件A 与,B A 与,C B 与C 是否为互斥事件.解析用H 代表“出现正面”,用T 代表“出现反面”.
Ω{HHH,HHT,HTT,HTH,THH =,THT,TTH,TTT},
{},,,A HHH HHT HTT HTH =,{},B HHH TTT =，
{,,,,C HHH HHT HTT HTH THH =,,}THT TTH .
(1){,,A B HHH HHT HTT ⋃=,{},},HTH TTT A B HHH ⋂=,
{,,,A C HHH HHT HTT HTH ⋃=,THH,THT,TTH },
{},,,A C HHH HHT HTT HTH ⋂=.
(2){A B ⋃=THH,THT,TTH,TTT,{}},A HHH B TTT ⋂=,
{HH,HHT,HTT,HTH A C H ⋃=,},TTT A C ⋂=∅
(3)因为{},A B HHH A C ⋂=≠∅⋂={HHH,HHT,HTT,HTH ≠∅,
{}B C HHH ⋂=≠∅所以A 与B 不互斥,A 与C 不互斥,B 与C 不互斥.
变式1:（多选)下列各组事件中是互斥事件的是（
）
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
解析
对于A ,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6不可能同
时发生,故A 中两事件为互斥事件.
对于B ,设事件1A 为平均分不低于90分,事件2A 为平均分不高于90分,则
12A A ⋂为平均分等于90分,12,A A 可能同时发生,故它们不是互斥事件.
对于C ，播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒不可能同时发生,故C 中两事件为互斥事件.
对于D ,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%不可能同时发生,故
D 中两事件为互斥事件.
故选ACD.
变式2:抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:i C =“点数为i ”,其中1,2,3i =,
14,5,6;D =“点数不大于22",D =“点数大于32",D ="点数大于4";E =“点数为奇数”,F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
(1)1C 与2C 互斥;(2)23,C C 为对立事件;(3)32C D ⊆;(4)32D D ⊆;
(5)12ΩD D ⋃=,12;D D ⋂=∅(6)356;D C C =⋃(7)135;E C C C =⋃⋃;(8),E F 为对立事件;(9)23D D ⋃=()2233;10D D D D ⋂=.解析该试验的样本空间可表示为Ω=
{}1,2,3,4,5,6,
由题意知{}{}12,1,2,{3i C i D D ===,{}{}{}34,5,6},5,6,1,3,5,2,4,6D E F ===.(1){}{}121,2C C ==,满足12C C ⋂=∅,所以1C 与2C 互斥,故正确.
(2){}{}232,3C C ==,满足23C C ⋂=∅但不满足23ΩC C ⋃=,所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误.
根据对应的集合易得,(3)(4)(5)(9)(10)正确.(6){}565,6C C ⋃=,所以356D C C =⋃,故正确.(7){}1351,3,5C C C ⋃⋃=,故135E C C C =⋃⋃,正确.
(8)因为,ΩE F E F ⋂=∅⋃=,所以E ,F 为对立事件,故正确.
点睛互斥事件与对立事件的关系:两个事件A 与B 是互斥事件,包括如下三种情况:(1)若事件A 发生,则事件B 就不发生;(2)若事件B 发生,则事件A 就不发生;
(3)事件,A B 都不发生.而两个事件,A B 是对立事件,仅有前两种情况,因此事件A 与B 是对立事件,则A B ⋃是必然事件,但若A 与B 是互斥事件,则A B ⋃不一定是必然事件,即事件A 的对立事件只有一个,而事件A 的互斥事件可以有多个.
【例4】袋中有6个大小、质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)事件A :取出的两球都是白球;
(2)事件B :取出的两球一个是白球,另一个是红球.
解析设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间()()Ω{1,2,1,3,(1=,4),()()()()()1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,
(2,()()()()()6),3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,(5,6)},共有15个样本点.
(1)因为()()()()(){1,2,1,3,1,4,(2,3),2,4,3,4}A =,所以()6n A =,从而
()()()
62Ω155
n A P A n =
=
=.
(2)因为()()(){1,5,1,6,2,5,(2B =,()()()()6),3,5,3,6,4,5,4,6},所以()8n B =,从而()()()
8Ω15
n B P B n =
=
.变式1:小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.
(1)小李从中任选2道题解答,每一次选一题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;(2)小李从中任选2道题解答,每一次选一题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.解析将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答,每一次选一题(不放回),则样本空间()1Ω{1,2=,
()()1,3,1,4,
()()()()()()()()()()()()()()()1,5,2,1,2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,4,5,5,1,5,2,,()5,3,()5,4},共20个样本点,而且这些样本,点发生的可能性是相等的.
设事件A 为“所选的题不是同一种题型”,则事件
()()()()()()()()()()()(){1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3}A =,共12
个样本点,所以()P A =
12
0.620
=(2)从5道题中任选2道题解答,每一次选一题(有放回),则样本空间()2Ω{1,1=,
()()1,2,1,3,
()()()()1,4,1,5,2,1,2,2,()()()()()()2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,3,()()()()3,4,3,5,4,1,4,2,()()4,3,4,4,()()()()()()4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5},
共25个样本点,而且这些样本点发
生的可能性是相等的.
设事件B 为“所选的题不是同一种题型”,由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个,所以()12
0.4825
P B ==.点睛
古典概型的计算一般经历三个步骤:
(1)算出样本空间所包含的样本点的总个数;n (2)求出事件A 所包含的样本点个数;(3)代入公式求出概率P .
变式2:从含有2件正品12,a a 和1件次品b 的三件产品中,每次任取一件.(1)若每次取后不放回,连续取2次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取后放回,连续取2次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解析(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本点有
6个,即
()()()(121212,,,,,,a a a b a a a ,
()()12),,,,b b a b a .其中小括号内左边的字母表示第1次
取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.总的事件个数为6,而且可以认为这些样本点是等可能的.
设事件A 为“取出的两件中恰有一件次品",所以()()()(){}1
2
1
2
,,,,,,,A a b a b b a b a =,
所以()4n A =.从而()()()
42Ω63
n A P A n =
=
=.(2)有放回地连续取出两件,其所有可能的结果为
()()()()1112121,,,,,,,a a a a a b a a ,
()()()()()22212,,,,,,,,,a a a b b a b a b b ,
共9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等,
故可以认为这些样本点的出现是等可能的.设事件B 为“恰有一件次品”,则
()()()(){}1212,,,,,,,B a b a b b a b a =,所以()n B 4=,从而()()()
4Ω9
n B P B n =
=
.【例5】古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木，木克土，土克水,水克火,火克金."从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为（）A.
310
B.
25
C.
12
D.
35
解析
试验的样本空间Ω{=金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,
火土},共10个样本点,事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点,故其概率为
51
102
=
.故选C.变式1:某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中,（1）射中10环或9环的概率;（2）至少射中7环的概率;
（3）射中环数小于8环的概率.
解析
设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件
分别为,,,,A B C D E ,则
(1)()()()0.1P A B P A P B ⋃=+=+0.20.3=.所以射中10环或9环的概率为0.3.
（2）因为射中7环以下的概率为0.1,所以由对立事件的概率公式得,至少射中7环的概率为10.10.9-=.
(3)事件“射中环数小于8环”包含事件“射中7环"与事件“射中7环以下”两个事件,则
P (射中环数小于8环)
()()()0.30.10.4P D E P D P E =⋃=+=+=.
变式2:在掷骰子的游戏中,向上的数字是5或6的概率是（）
A.
16
B.
13
C.
12
D.1
解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件,且二者发生的概率都是
16,所以“向上的数字是5或6”的概率是111663
+=.故选B.点睛
回答含“至多”“至少”等词语的概率问题应注意以下几点:
(1)互斥事件的概率加法公式()()()P A B P A P B ⋃=+;
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
【例6】联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、谢谢光临四种.从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率为5
12
.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是
1
4
,求任取一张,中三等奖的概率.解析(1)设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、谢谢光临的事件分别为,A B ,,C D ,它们是互斥事件.由题意得()()()()15
,212
P D P B C P B P C =
+=+=
.由对立事件的概率公式得()()()511
11()112212
P A P B C D P B C P D =-++=-+-=-
-=,
所以任取一张,中一等奖的概率为112
.(2)因为()14P A B +=
,又()()()P A B P A P B +=+,所以()1114126
P B =-=,又()()()512P B C P B P C +=+=
,所以()1
4
P C =,所以任取一张,中三等奖的概率为1
4
.点睛求复杂互斥事件概率的两种方法:(1)将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;(2)先求该事件的对立事件的概率,再由()1()A A P P =-求解.当题目涉及“至多”“至少”问题时，多考虑间接法.
巩固提高强化训练
一、单选题
1.关于样本点、样本空间,下列说法错误的是（）
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.
《易经》是中国文化的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兄八卦)，每一卦由三根线组成(一表示一根阳线,一口表示一根阴线).从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有3根阳线的概率为（
）
A.
18
B.
14
C.
38
D.
12
3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A :恰有1件次品;事件B :至少有2件次品;
事件C :至少有1件次品；事件D :至多有1件次品.
并给出以下结论:
(1)A B C ⋃=;(2)B D ⋃是必然事件;(3);A B C ⋂=（4）.
A D C ⋂=其中正确结论的序号是（）A.(1)(2)
B.(3)(4)
C.(1)(3)
D.(2)(3)
4.从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球,那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A.至少2个白球,都是红球
B.至少1个白球,至少1个红球
C.至少2个白球,至多1个白球
D.恰好1个白球,恰好2个红球
5.将一枚质地均匀的骰子向上抛郑1次.设事件A 表示向上的一面出现奇数点,事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则（
）
A.A 与B 是互斥而非对立事件
B.A 与B 是对立事件
C.B 与C 是互斥而非对立事件
D.B 与C 是对立事件
6.生物实验室有5只兔子,只有其中3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为（）
A.
23
B.
35
C.
25
D.
15
7.如果事件,A B 互斥,记,A B 分别为事件,A B 的对立事件,那么（）
A.A B ⋃是必然事件
B.A B U 是必然事件
C.A 与B 一定互斥
D.A 与B 一定不互斥
8.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号
不同的概率是（）A.
56
B.
16
C.
15
D.
3536
二、多选题
9.射击训练中,某运动员最近几次的环数情况如下表：射击次数射中7环或8环的次数射中9环或10环的次数
1005518
记该运动员在一次射击训练中,射中7环或8环为事件A ,射中9环或10环为事件B ,低于7环为事件C .用频率估计概率的方法,得到的下述结论正确的是（
）A.()0.55P A = B.()0.18P B = C.()0.27P C = D.()0.55
P B C +=10.某人有6把钥匙,其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为p ,则下列结论正确的是（）A.当1n =时,16p =
B.当2n =时,13p =
C.当3n =时,3
10p = D.当4n =时,45p =
11.下列命题不正确的是（
）A.事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f A .
B.一个质地均匀的骰子郑一次得到3点的概率是
16
,说明这个骨子掷6次一定会出现一次3点.
C.郑两枚质地均匀的硬币,事件A 为“一枚正面朝上,一枚反面朝上",事件B 为“两枚都是正面朝上”,则()()2P A P B =.
D.对于两个事件,A B ,若()()()P A B P A P B ⋃=+,则事件A 与事件B 互斥.
三、填空题
12.抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件A 为“奇数点向上”,事件B 为“偶数点向上”,事件C 为“向上的点数是2的倍数”,事件D 为“2点或4点向上”.则下列每对事件互斥但不对立的是
.(填序号)(1)A 与B ;(2)B 与C ;(3)C 与D ;(4)A 与D .13.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设{A =两次都击中飞机},{B =两次都没击中飞机},{C =恰有一枚炮弹击中飞机},{D =至少有一枚炮弹击中飞机},其中
互为互斥事件的是,互为对立事件的是
14.甲、乙两人做掷骰子游戏,两人郑同一枚骰子各一次,则至少出现一个5点或6点的概率是;如果谁郑的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为15.若随机事件,A B 互斥,,A B 发生的概率均不等于0,且分别为
()2P A a =-,()34P B a =-,则实数a 的取值范围为
四、解答题
16.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)、2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R 为“第一次摸到红球”,事件2R 为“第二次摸到红球”,事件R 为“两次都摸到红球”,事件G 为“两次都摸到绿球”,事件M 为“两次摸到的球颜色相同”,事件N 为“两次摸到的球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R 与1,R R 与,G M 与N 之间各有什么关系?
(3)事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系?事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系?
17.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110~各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
18.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[)[)27.5,32.5,32.5,37.5,[37.5，[)[]42.5),42.5,47.5,47.5,52.5分为5组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a 的值;
(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实.若所取样本容量n =40,从该样本分布在[)27.5,32.5和[47.5,52.5]的果实中,随机抽取2个,求抽到的都是优质果实的概率.
19.受疫情的影响,某市一个小区505人参加某次核酸检测,根据年龄段采用分层抽样的方法从中随机抽取101人,记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员,按年龄段分为5组:(]0,20,(](](](]20,40,40,60,60,80,80,100,得到如图所示频率分布直方图,其中年龄在(]20,40的有20人.
(1)估计此次核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数;
(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数;
(3)若此次核酸检测呈阳性的人中,男女比例为3:2,从中任选2人,求至少选到一名男性的概率.
20.海关同时对从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口的此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C
数量/件50150100
(1)求这6件样品中分别来自,,A B C 三个地区的商品数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相
同地区的概率.
21.沿某条公路行驶,从甲地到乙地一共200公里,遇到的红灯个数的概率如下表:
红灯个数0123456个及以上概率0.020.1a0.350.20.10.03
(1)求表中字母a的值;
(2)求至少遇到4个红灯的概率;
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
22.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游
戏中甲获胜的概率.你认为哪个游戏是公平的?
项目游戏1游戏2游戏3
袋中球的数量和颜色1个红球和1个白
球
21个红球和21个
白球
31个红球和1个白
球
取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球
获胜规则取到红球甲胜两个球同色甲胜两个球同色甲胜取到白球乙胜两个球补同色乙胜两个球补同色乙胜
名校有约
1.(多选题)4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间
胜率都是1
2
.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名
次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论正确的是
A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件
B.有可能出现恰有三支球队并列第一名
C.恰有两支球队并列第一名的概率为1
4
D.只有一支球队名列第一名的概率为1
2。