[推荐学习]高中数学第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词课堂导学案新人教B版选修1_1

1.2 基本逻辑联结词
课堂导学
三点剖析
一、逻辑联结词“或”“且”“非”
【例1】写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题，并判断真假.
(1)p ：1是质数；q ：1是方程x 2+2x -3=0的根；
(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p ：N ⊆Z ；q ：0∈N .
思路分析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或”“且”“非”的应用.
解：(1)因为p 假q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2+2x -3=0的根，为真；p 且q ：1
是质数且是方程x 2+2x -3=0的根，为假；非p ：1不是质数，为真.
(2)因为p 假q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真.
(3)因为p 真q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假.
温馨提示
为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式，然后指出其中命题p 、q 的真假，再根据已有结论判断这个命题的真假.
二、含有一个量词的命题的否定
【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
(1)p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1=0都成立；
(2)p ：x ∈R ，x 2+2x +5＞0.
解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否
定为“至少存在一个”，因此，p ：至少存在一个x ∈R ，使x 2+x +1≠0成立；即p ：x ∈R ，
使x 2+x +1≠0成立.
(2)由于“x ∈R ”表示至少存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p ：对任意一个x 都有x 2+2x +5≤0，即x ∈R ，x 2
+2x +5≤0.
温馨提示
首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定.从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.
三、逻辑知识的综合应用
【例3】 已知p ：方程x 3+mx +4=0有两个不等的负根；q ：方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根，若
p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.
解：若方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根，则 ⎩⎨⎧>>-∆0
,0162m m 解得m ＞4，即p ：m ＞4 若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根，则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2
-4m +3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真.又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假.因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真.
所以⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>.
31,431,4m m m m m 或或解得m ＞4或1＜m ＜3. 温馨提示 由p 、q 的真假可以判断p ∨q 、p ∧q ，
p 的真假.反过来，由p ∨q 、p ∧q ，
p 的真假也应能准确断定p 、q 的真假情况.如“p ∧q ”为假，应包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”这三种情况.
类题演练1
指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：
(1)10≤10；(2)方程x 2-6x -1=0没有实数根；(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角
形.
解：(1)是“p ∨q ”形式的复合命题，其中p ：10=10；q ：10<10，为真命题；也可认为是非p 形式的复合命题，其中p ：10>10；
(2)是非p 形式的复合命题，其中p ：方程x 2-6x +1=0有实根为真，则非p 为假命题；
(3)是“p ∧q ”形式的复合命题，其中p ：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q ：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题.
变式提升1
用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假.
(1)5和7都是素数；
(2)平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分.
解：(1)“5和7都是素数”可以改写成“5是素数且7也是素数”.
∵“5是素数”与“7是素数”都是真命题.
∴这个命题是真命题.
(2)“平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分”.
∵“平行四边形的对角线互相垂直”是假命题.
∴这个命题是假命题.
类题演练2
命题p ：x ∈R ，
3412+-x x ＜0的非p 形式的命题是( ) A.x ∈R ,3
412+-x x ＞0 B.x ∈R ,1≤x ≤3 C.x ∈R ,x ＜1或x ＞3 D.x ∈R ,x ≤1或x ≥3
解析：事实上，求一个命题的“非p ”形式，首先应把该命题化为最简形式.求命题p ：
x ∈R ,3
412+-x x <0的“非p ”形式，由于该命题不是最简形式，所以首先应把它化为最简形式1<x <3后再求其“非p ”形式，故应选D.
答案：D
变式提升2
判断命题“x ∈R ，方程x 2+2x +1=0有解”是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.
解析：由于x ∈R 表示x 是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；
其否定是“x 不是任意实数，方程x 2+2x +1=0无解”.
类题演练3
已知a ＞0，a ≠1，设P ：函数y =l og a (x +1)在x ∈(0,+∞)内单调递减；Q ：曲线y =x 2+(2a -3)x +1
与x 轴交于不同的两点.如果P 和Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.
解：当0<a <1时，函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减；当a >1时，y =log a (x +1)在(0,+∞)内不是单调递减.曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于两点等价于(2a -3)2-4>0，即0<a <21或a >2
5. (1)若P 正确，且Q 不正确，即函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减，曲线y =x 2+(2a -3)x +1
与x 轴不交于两点，因此a ∈(0,1)∩(［21,1)∪(1,2
5］)，即a ∈［21，1). (2)若P 不正确，且Q 正确，即函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内不是单调递减，曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x
轴交于两点，因此a ∈(1,+∞)∩((0,
21)∪(25,+∞))，即a ∈(25,+∞). 综上，a 的取值范围为［
21,1)∪(25,+∞).
变式提升3
设p ：|x -a |＜2，q ：
1212<+-x x ，若p 则q 为真命题.求实数a 的取值范围. 解：由|x -a |<2得
p ：a -2<x <a +2 由212+-x x <1得212+-x x -1<0，即2
3+-x x <0 解得q ：-2<x <3.∵若p 则q 为真命题(如图)，
∴⎩⎨⎧≤+-≥-3
222a a 解得0≤a ≤1
∴实数a 的取值范围为0≤a ≤1.。