2022届下海市闸北区初一下期末调研数学试题含解析

2022届下海市闸北区初一下期末调研数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若29x kx -+是一个完全平方式，则k 等于（ ）
A ．6
B ．12±
C ．12-
D ．6±
【答案】D
【解析】
【分析】
完全平方公式:a 2±2ab+b 2的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，这里首末两项是x 和3的平方，那么中间项为加上或减去x 和3的乘积的2倍．
【详解】
∵2x kx 9-+是一个完全平方式，
∴-kx=±2x ×3，
∴k=±6.
故选D.
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a 2±2ab+b 2是解答本题的关键.
2．如图，直线l 是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在 l 上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管 道最短的方案是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】
作点A 关于直线l 的对称点A′，连接BA′交直线l 于M ．
根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D ．
【点睛】
此题考查最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( )
A ．17
B ．17或22
C ．20
D ．22
【答案】D
【解析】
解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9
∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去
4+9＞9，故4，9，9能构成三角形
∴它的周长是4+9+9=22
故选D ．
4．如图①，从边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（ ）
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b -=-+
C ．222()2a b a ab b +=++
D ．2()a ab a a b +=+
【答案】A
【解析】
【分析】
由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】
由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积得
()()22a b a b a b -=+-
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了平方差公式的证明，根据题意列出方程得出平方差公式是解题的关键．
5．当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了解路边行人步行边低头看手机的情况，她应采用的收集数据的方式是（ ）
A ．对学校的同学发放问卷进行调查
B ．对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
C ．对在路边行走的行人随机发放问卷进行调查
D ．对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
【答案】C
【解析】
【详解】
解：A 、对学校的同学发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故A 错误；
B 、对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故B 错误；
C 、对在路边行走的行人随机发放问卷进行调查具代表性、广泛性，故C 正确；
D 、对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故D 错误；
故选C ．
6．不等式组9511
x x x m +<+⎧⎨>+⎩ 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( ) A ．m≤2
B ．m≥2
C ．m≤1
D ．m≥1
【答案】C
【解析】
【分析】 分别解出不等式,进而利用不等式组的解得出m+1的取值范围,进而求出即可.
【详解】
{x 9511x x m ①
②+<+>+,
解①得:x>2,
解②得:x>m+1,
不等式组{x 951
1x x m +<+>+的解集是x>2,
12m ∴+≤,
解得: 1m .
所以C 选项是正确的.
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组,根据不等式组的解得出m+1的取值范围是解题关键.
7．如果把分式中的x 和y 都缩小2倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大2倍
B ．缩小2倍
C ．扩大4倍
D ．不变
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意把x 和y 都缩小2倍，再根据原来的分式进行比较即可求解.
【详解】 把分式中的x 和y 都缩小2倍，得=
故分式的值缩小2倍，故选B.
【点睛】
此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式的性质.
8．在平面直角坐标系中，A(－2，0) ，B(－1，2) ，C(1，0) ，连接 AB ，点 D 为 AB 的中点，连接 OB 交 CD 于点 E ，则四边形 DAOE 的面积为( )
A ．1.
B ．43
C ．54
D ．65
【答案】C
【解析】
分析：根据中点公式求出点D 的坐标，然后用待定系数法求出直线OB 和直线CD 的解析式，将两个解析式联立，求出点E 的坐标，然后根据S 四边形DAOE =S △DAC -S △EOC 计算即可.
详解：如图，
设OB的解析式为y=kx.
将B(－1，2)的坐标代入
得2=-k，解得k=-2.
∴OB的解析式为y=-2x.
∵D为AB的中点，设D(m,n). ∵A(－2，0) ，B(－1，2) ，
∴m=
213
=
22
--
-，n=
02
=1
2
+
.
∴D (
3
2 -,1),
设CD的解析式为y=ax+b
将C(1，0)，D (
3
2
-,1)的坐标分别代入
得
3
1
2
a b
a b
=+
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，解得
2
5
2
5
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,
∴CD的解析式为
22
55
y x
=-+.
由
2
22
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，得
1
4
1
2
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,
∴
11
,
42
E
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,
∵AC=1-(-2)=3，点D (
3
2
-,1)到AC轴的距离为1.
∴
13
31
22 DAC
S=⨯⨯=,
∵OC=1，点
11
,
42
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
到OC的距离为
1
2
.
∴
111
1
224 EOC
S=⨯⨯=,
∴S 四边形DAOE =S △DAC -S △EOC =
315244
-= . 即四边形DAOE 的面积为54 . 故选：C.
点睛：本题考查了中点坐标的计算，待定系数法求函数解析式，一次函数图形的交点坐标与对应的二元一次方程组解得关系，割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法求出直线OB 和直线CD 的解析式是解答本题的关键.
9．为了了解某校八年级400名学生的体重情况,从中抽取50名学生进行统计分析.在这个问题中,总体是指( )
A ．40名学生
B ．被抽取的50名学生
C ．400名学生的体重情况
D ．被抽取的50名学生的体重
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计调查的总体的定义即可判断.
【详解】
总体是考察对象的全体.这里的总体是400名学生的体重情况.
【点睛】
此题主要考查统计调查总体的定义，解题的关键是熟知总体的含义.
10．若方程mx+ny=6的两个解是 11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩
，则m 、n 的值为（ ）. A ．m=4，n=2
B ．m=2，n=4
C ．m=-4，n=-2
D ．m=-2，n=-4 【答案】A
【解析】
【分析】
将11x y =⎧⎨=⎩，21
x y =⎧⎨=-⎩分别代入方程mx+ny=6得到关于m ，n 的二元一次方程组，然后求解方程组即可. 【详解】
解：将11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩
分别代入方程mx+ny=6得， 626m n m n +=⎧⎨-=⎩①②
，
①+②得：3m=12，
解得m=4，
将m=4代入①得，n=2，
则方程组的解为42m n =⎧⎨=⎩
. 故选A.
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，解此题的关键在于根据题意得到二元一次方程组，再利用加减消元法进行求解即可.
二、填空题
11．已知a b ，且a b 、为连续整数，则a b +=_______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据题意可得8＜25＜27，8和27开立方得2和3，然后相加即可得到答案.
【详解】
∵8＜25＜27，
∴2
＜3，
∴a=2，b=3，
则a+b=5.
故答案为5.
【点睛】
本题考点：有理数的大小比较.
12．已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()213213315230.9x y x y ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩
的解是____________．
【答案】9.30.8
x y =⎧⎨
=-⎩ 【解析】
【分析】 根据方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2
a b =⎧⎨=⎩，两个方程组的形式相同，可得a=x-1，b=y+1，从而求出x 和y 值即可得到结果．
【详解】
解：∵方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩
， ∴方程组()()()()213213315230.9x y x y ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩
的解为18.32 1.2x y -=⎧⎨+=⎩， ∴9.30.8x y =⎧⎨=-⎩
， 即方程组()()()()213213315230.9x y x y ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩
的解是9.30.8x y =⎧⎨=-⎩． 故答案为：9.30.8
x y =⎧⎨
=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，得出a=x-1，b=y+1．
13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点， DF 交AC 于点E ， DE=FE ，FC ∥AB ，CF=5,BD=2,点C 到直线AB 的距离为9，△ABC 面积为
_________.
【答案】31.5
【解析】
【分析】
根据平行线性质求出∠A=∠FCE ，根据AAS 推出△ADE ≌△CFE,则AD=CF ，AB=CF+BD=7,再代入三角形面积公式S=
12
ah ，即可解答. 【详解】
证明：∵FC ∥AB ，
∴∠A=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中 AED FEC A FCE
DE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠ ∴△ADE ≌△CFE ．
∴AD=CF ．
+527AB CF BD ∴==+=
点C 到直线AB 的距离为9
∴△ABC 面积=792=31.5⨯÷
故△ABC 面积为31.5
【点睛】
本题考查三角形的判定和性质.于证明AD=CF 是解题关键.
14．分解因式：2a 2-2=__________．
【答案】2(1)(1)a a +-.
【解析】
试题分析：原式＝22(1)a -＝2(1)(1)a a +-.
考点：分解因式.
15．观察下列各式数：0，3，8，15，24，.试按此规律写出第n 个数是________.
【答案】21n -
【解析】
【分析】
0，3，8，15，24，…，则可看成12-1，22-1，32-1…，依此类推，从而得出结论.
【详解】
解：∵ 0=12-1，
3=22-1，
8=32-1，
15=42-1，
…
∴第n 个数是n 2-1，
故答案为：21n -．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律解答．
16．如图，∠ABC=∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠AFC ，以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③∠ADC=90°—∠ABD ；④∠BDC=
12
∠BAC ，其中正确的结论有_____________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝
∠ABC＋∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝1
2
∠EAC，∠DCA＝
1
2
∠ACF，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°−（∠DAC＋∠ACD）
＝180°−1
2
（∠EAC＋∠ACF）
＝180°−1
2
（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）
＝180°−1
2
（180°+∠ABC）
＝90°−1
2
∠ABC
＝90°—∠ABD，∴③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确，
故答案为①②③④.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．
17．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；
②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论有_____填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠BOD=40°，∴∠BOC=180°﹣40°=140°．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1
2
×140°=70°；
所以①正确；
∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=90°﹣70°=20°，∴∠BOF=1
2
∠BOD，所以②正确；
∵OP⊥CD，∴∠COP=90°，∴∠POE=90°﹣∠EOC=20°，∴∠POE=∠BOF；所以③正确；
∴∠POB=70°﹣∠POE=50°，而∠DOF=20°，所以④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
三、解答题
18．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
21)(21)1
=，
1
=，
1
=，
1
=⋯⋯
（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2
+⋯+
（3
-
【答案】（1
）1
=；（2）9；（3
>
【解析】
【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】
解：（1）根据题意得：第n
个等式为1
=；
故答案为：1
+=；
（2
）原式111019 ==-=；
（3
=
=，
<
∴
【点睛】
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
19．解不等式组
3(2)2
12
1
3
x x
x
x
+-≥
⎧
⎪
+
⎨
-
⎪⎩＞
，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】2≤x＜4，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再在数轴表示出来，其公共部分即为不等式组的解集．【详解】
解：
() 322
12
1
3
x x
x
x
②
＞②
⎧+-≥
⎪
⎨+
-
⎪⎩
由②得：x≥2
由②得：x＜4
∴该不等式组的解集为2≤x＜4
如图所示：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，解此类题目常常要结合数轴来判断，要注意是否包括x，若包括则x
在该点是实心的，反之x在该点是空心的．
20．根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．如图，已知：直线AB、CD被直线BC 所截；直线BC、DE被直线CD所截，∠1+∠2 ＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3 ．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB∥．
∴∠4＝∠1 ．
又∵∠1＝∠D ．
∴∠D＝（等量代换）
∴BC∥DE（）．
【答案】对顶角相等，CD，两直线平行同位角相等，已知，∠4，内错角相等两直线平行
【解析】
【分析】
首先根据同旁内角互补两直线平行证明AB∥CD，得到∠4＝∠1，然后结合已知利用内错角相等两直线平行即可证得结论.
【详解】
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3（对顶角相等）．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB ∥CD ．
∴∠4＝∠1（两直线平行同位角相等）．
又∵∠1＝∠D （已知）．
∴∠D ＝∠4（等量代换）
∴BC ∥DE （内错角相等两直线平行）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，难度不大，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
21．如图，已知四边形ABCD ，//AD BC ，点P 在直线CD 上运动(点P 和点C ，D 不重合，点P ，A ，B 不在同一条直线上)，若记DAP ∠，APB ∠，PBC ∠分别为α∠，β∠，γ∠.
图1 图2 图3
(1)如图1，当点P 在线段CD 上运动时，写出α∠，β∠，γ∠之间的关系，并说出理由；
(2)如图2，如果点P 在线段CD 的延长线上运动，探究α∠，β∠，γ∠之间的关系，并说明理由.
(3)如图3，BI 平分PBC ∠，AI 交BI 于点I ，交BP 于点K ，且:5:1PAI DAI ∠∠=，20APB ︒∠=，30I ︒∠=，求PAI ∠的度数.
【答案】（1）βαγ∠=∠+∠；（2）见解析；（3）50°.
【解析】
【分析】
（1）过点P 作//PE AD ，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据题意分当点P 运动到直线AB 左侧时和当点P 运动到直线AB 右侧时，根据平行线的性质及外角定理即可求解；
（3）根据BI 平分ABC ∠，可设PBI CBI x ∠=∠=，则2CBP x ∠=，由//AD BC ，得到
2DHP CBP x ∠=∠=，又BKI AKP ∠=∠，得到3020PAI x ︒︒∠=+-10x ︒=+，
再根据:5:1PAI DAI ∠∠=，得到11255
DAI PAI x ︒∠=∠=+，由DHF ∠是APH ∆的外角，可得
DHP PAH APB ∠=∠+∠，即12210205
x x x ︒︒︒=
++++，故可求出x 即可求解. 【详解】
(1) βαγ∠=∠+∠.
图1
理由如下：过点P 作//PE AD ，
如图1 ，//PE AD ，
APE α∴∠=∠，
//AD BC ，
//PE BC ∴，
BPE γ∴∠=∠，
APE BPE βαγ∴∠=∠+∠=∠+∠；
(2)当点P 运动到直线AB 右侧时，
//AD BC ，
1PBC ∴∠=∠，而1PAD APB ∠=∠+∠，
APB PBC PAD ∴∠=∠-∠，
即βγα∠=∠-∠.
当点P 运动到直线AB 左侧时，
//AD BC ，2PBC ∴∠=∠，
而2PAD APB ∠=∠+∠，
APB PAD PBC ∴∠=∠-∠，
即βαγ∠=∠-∠.
(3)如图，点P 在50PAI ∠=. BI 平分ABC ∠，可设PBI CBI x ∠=∠=，
则2CBP x ∠=，
//AD BC ，
2DHP CBP x ∴∠=∠=，
20APB ︒∠=，30I ︒∠=，BKI AKP ∠=∠，
3020PAI x ︒︒∴∠=+-10x ︒=+，
又:5:1PAI DAI ∠∠=， 11255
DAI PAI x ︒∴∠=∠=+， DHF ∠是APH ∆的外角，
DHP PAH APB ∴∠=∠+∠，即12210205
x x x ︒︒︒=
++++，解得40x =， 401050PAI ︒︒︒∴∠=+=.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与三角形的角度求解，解题的关键是熟知平行线的性质及三角形的外角定理与内角和定理.
22．如图，AB ∥CD ，点O 是直线AB 上一点，OC 平分∠AOF ．
（1）求证：∠DCO=∠COF ；
（2）若∠DCO=40°，求∠EDF 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EDF=100°．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义进行分析证明即可；
（2）由（1）可得∠COF=∠DCO=40°，结合三角形内角和定理可得∠CDO=100°，再由对顶角相等即可得到∠EDF=∠CDO=100°.
【详解】
(1)∵AB∥CD，
∴∠DCO=∠COA，
∵OC平分∠AOF，
∴∠COF=∠COA，
∴∠DCO=∠COF；
(2)∵∠DCO=40°，∠DCO=∠COF，
∴∠COF=∠DCO=40°，
∴在△CDO中，∠CDO=100°，
∴∠EDF=∠CDO=100°.
【点睛】
熟悉“平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和为180°”是解答本题的关键.
23．学完二元一次方程组的应用之后，老师写出了一个方程组如下：
25
4340
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，要求把这个方程组
赋予实际情境．
小军说出了一个情境：学校有两个课外小组，书法组和美术组，其中书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，问书法组和美术组各有多少人？
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题，请找出问题在哪？
【答案】小军不能以人数为未知数进行情境创设．
【解析】
【分析】
根据小军设计的情境，设书法组有x 人，美术组有y 人，根据书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，列出方程组，可得出x 、y 的值，由人数只能是非负整数，而x=5.5，即可得出小军赋予的情境有问题．
【详解】
设书法组有x 人，美术组有y 人，
根据题意得：254340x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得： 5.56x y =⎧⎨=⎩
． ∵人数只能是非负整数，而x ＝5.5，
∴小军不能以人数为未知数进行情境创设．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，通过解方程组得出x 不为整数，从而判定小军赋予的情境有问题是解题的关键．
24．师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【解析】
【分析】
设老师的年龄是 x 岁，学生的年龄是y 岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程组解答．
【详解】
设老师的年龄是x 岁，学生的年龄是y 岁，由题意得：根据题意列方程组得：
140
x y y x x y --⎧⎨+-⎩＝＝， 解得2714x y ⎧⎨⎩
＝＝． 答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，老师和学生年龄差不变． 25．如图：已知OB ⊥OX,OA ⊥OC,∠COX=40°,若射线OA 绕O 点以每秒30°的速度顺时针旋转,射线OC 绕O 点每秒10°的速度逆时针旋转, 两条射线同时旋转，当一条射线与射线OX 重合时，停止运动.
（1）开始旋转前，∠AOB ＝______________
（2）当OA 与OC 的夹角是10°时，求旋转的时间.
（3）若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OX重合时，停止运动.当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间.
【答案】（1）∠AOB=40°；（2）∠AOC=10°时t=2或t=2.5；（3）t=0.5或t=2或t=2.1.
【解析】
【分析】
（1）根据余角的性质求解即可；
（2）分两种情况求解即可：①OA与OC相遇前∠AOC=10°, ②OA与OC相遇后∠AOC=10°；
（3）分三种情况求解即可：①OB是OA与OC的角平分线，②OC是OA与OB的角平分线，③ OA是OB 与OC的角平分线.
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠BOC=90°, ∠COX+∠BOC=90°,
∴∠AOB=∠COX=40°;
（2）①OA与OC相遇前∠AOC=10°,即
30t+10°+10t=90°,
∴t=2；
②OA与OC相遇后∠AOC=10°，即
30t+10t=90°+10°，
∴t=2.5，
综上可得∠AOC=10°时t=2或t=2.5；
(3) ①经分析知5
3
秒时OB与OC重合，所以在
5
3
秒以前设运动t1秒时，OB是OA与OC的角平分线，
40+20t1-30t1=50-30 t1，解得t1=0.5；
②经分析知5
4
秒时OB与OC重合，
9
4
秒时OA与OC重合，所以在
5
4
秒到
9
4
秒间，OC是OA与OB的角
平分线，设运动t2秒时，
30t2-50=90-40t2，
t2=2；
③4秒时OA与OB重合，所以在4秒以前设运动t3秒时，OA是OB与OC的角平分线，
30t3+10t3-90=20t3+40-30t3，
解得t3=2.1．
故运动t=0.5秒或t=2秒或t=2.1秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中，渗透“数形结合思想”、“方程思想”等，也是一道较优秀的操作活动型问题，难度程度--中．。