多伦县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

多伦县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|log 2x ＜0}，则M ∩N 等于（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，1）
C ．（0，1）
D ．（1，3）
2． 设函数
，则有（ ）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x ）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
3． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A ．=
B ．0S =
C ．0122S S S =+
D ．20122S S S =
4． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为
（ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
5． O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
6． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A ．2日和5日 B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
9． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20 10．在中，、、分别为角
、
、
所对的边，若
，则此三角形的形状一定是
（ ） A ．等腰直角 B ．等腰或直角 C ．等腰
D ．直角
11．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，
﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
12．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =- 与()f x =
C 、()f x x =与
()f x = D 、()f x x =与2()f x =
二、填空题
13．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
14．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．
15．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．
16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
17．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．
18．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
三、解答题
19．设A=2
{x|2x
+ax+2=0}，2A ∈,集合2{x |x 1}B ==
（1）求a 的值，并写出集合A 的所有子集；
（2）若集合{x |bx 1}C ==,且C B ⊆,求实数b 的值。

20．已知函数f （x ）=sinx ﹣2sin 2
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[0，]上的最小值．
21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
22．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
24．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．
多伦县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵集合M={x|x 2
﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}， N={x|log 2x ＜0}={x|0＜x ＜1}， ∴M ∩N={x|0＜x ＜1}=（0，1）． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意一元二次不等式和对数函数等知识点的合理运用．
2． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称． 又f （﹣x ）
=
=
=f （x ），所以f （x ）为偶函数．
而f
（）=
==
﹣=﹣f （x ），
故选C ．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 4． 【答案】A
5．【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x
|=2，
P
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
6．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．7．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
8． 【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C ．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 10．【答案】B
【解析】 因为
，所以由余弦定理得
，
即，所以或，即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B
答案：B
11．【答案】A
【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，
∴sin（﹣α）=．
∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）
=+=，
∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）
=﹣=．
∴cos2﹣sin cos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα
=﹣=，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。

故选C。

考点：同一函数的判定。

二、填空题
13．【答案】1
【解析】
14．【答案】2
【解析】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，
∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，
∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min=2=2．
故答案为：2．
15．【答案】．
【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x
﹣x3）+（x3﹣x）=．
故答案为：．
16．【答案】75
【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63
=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C 64
=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
17．【答案】 （﹣4，） ．
【解析】解：∵抛物线方程为y 2
=﹣8x ，可得2p=8， =2．
∴抛物线的焦点为F （﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P （m ，n ）到焦点F 的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P 到F 的距离等于P 到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n 2
=8m=32，可得n=±4
，
因此，点P 的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，
）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
18．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
三、解答题
19．【答案】（1）5a =-，A 的子集为：φ，12⎧⎫
⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）0或1或1-。

【解析】
试题分析：（1）由2A ∈有：2
22220a ⨯++=，解得：5a =-，此时集合{}
21
2520,22A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭
，
所以集合A 的子集共有4个，分别为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）由题{}1,1B =-若C B ⊆，当C φ=时，0b =，当C φ≠时，{}1B =或{}1B =-，当{}1C =时，1b =，当{}1C =-时，1b =-，所以实数b
的值为1或1-。

本题考查子集的定义，求一个集合的子集时，注意不要漏掉空集。

当集合A B ⊆时，要分类讨论，分A φ=和A φ≠两类进行讨论。

考查学生分类讨论思想方法的应用。

试题解析：（1）由2A ∈有：222220a ⨯++=，解得：5a =-，
{}212520,22A x x x ⎧⎫
=-+==⎨⎬⎩⎭
所以集合A 的子集为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（2）{}1,1B =-,由C B ⊆：当C φ=时，0b =
当C φ≠时，1b =或1b =-， 所以实数b 的值为：0或1或1- 考点：1.子集的定义；2.集合间的关系。

20．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=sinx ﹣2sin 2
=sinx ﹣2×
=sinx+
cosx ﹣
=2sin （x+
）﹣
∴f （x ）的最小正周期T==2π；
（2）∵x ∈[0，]，
∴x+
∈[
，π]，
∴sin （x+）∈[0，1]，即有：f （x ）=2sin （x+
）﹣∈[﹣
，2﹣]，
∴可解得f （x ）在区间[0，
]上的最小值为：﹣
．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
21．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
22．【答案】
【解析】解：（I ）如图（a ），取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD ．
又在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，
∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，
BE=
，
于是在Rt△BEM中，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且
FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=，
∵∠ACB=，∴∠ACP=，
在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=﹣θ，
由正弦定理得：==，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．24．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，
，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），
把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故x M==，y M=kx M+b=，
于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM k=．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．。