奈氏判据
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(4-27)
M ( s) N ( s) M ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 N ( s) N (s)
(4-28)
3
M ( s) N ( s) M ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 N ( s) N (s) n K * (s z j ) j 1 F ( s) n ( s pi )
F ( s) 2 Z ( 2 P 2 ( P Z) 2 N )
11
12
10
F ( s) 2 Z ( 2 P 2 ( P Z) 2 N )
幅角原理表达式
N P Z
F(s)的零点,系 统的闭环极点
F(s)的极点,系 统的开环极点
Im
GH
KT 2
1
0
Re
1
0
Re
0
不稳定
KT (a) 1 时N 0 2
0
(b)
稳定
KT 1 时N 2 2
图4-41 例11奈氏曲线
18
练习 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G(s) H (s) s(T1s 1)(T2 s 1) ( K 0, T1 0, T2 0)
极点时的奈氏轨迹
16
G ( s ) H ( s ) s lim re j
r 0
K jv lim v e e jv r 0 r
Im
0 I m
GH
0
0
GH
R
R
0
0
Re
0 Re 1 0
11
二、奈奎斯特轨迹及其映射 v 0
j
( 2)
S
(3)
R
Im
0
F
F ( s ) s j F ( j ) ( I m) ~
S平面的右半圆
Re
0
( R )
GH
0
R F () 1 G() H () 1 e
1
第四节
奈奎斯特稳定判据
一、奈奎斯特稳定判据的数学基础 二、 v 0 奈奎斯特轨迹及其映射 三、奈奎斯特稳定判据 四、 v 0 奈奎斯特轨迹
2
一、奈奎斯特稳定判据的数学基础
建立在复变函数理论基础上的幅角原理是奈氏判据的数学基础。
1. 辅助函数
开环频率特性 G( j ) H ( j )
特曲线 G( j ) H ( j ) 当由 变化至 时，按逆时针
方向包围 (1, j 0) 点P周。
应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： 1.当系统开环传递函数 G ( s) H ( s) 的全部极点都位于S平面左半 部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线LGH 不包围GH平面的(1, j 0) 点（N=0），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0），否则是不稳定的；
四、v 0 奈奎斯特轨迹 当 G ( s) H ( s) 在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于
奈氏轨迹不能经过开环极点，LGH 必须避开虚轴上的所有开 环极点。图4-38表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹. j S s lim re j ( ) r 0 2 2 ( 2)
Im
GH
0 0
Im
1 0 H
0 0
1
0
Re
Re 0
1
0
Re
T
(b)
T
(c )
T
稳定
图4-42 系统的奈氏曲线
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) v s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) K jv lim v e e jv r 0 r
s lim re j
r 0
图4-38 虚轴上有开环
1 例如，当系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)
F ( s) 1 G( s) H ( s)
s s 1 s ( s 1)
2
s1 1 j 2
(1 j 2) 2 (1 j 2) 1 F ( s1 ) 0.95 j 0.15 (1 j 2)(1 j 2 1)
R
0
(3)
0
0
(1)
( 4)
r 0
G(s) H (s)
Ls
k ( s z1 )( s z 2 ) (s z m ) G( s) H ( s) v s ( s p1 )( s p2 ) (s pnv )
s lim re j
r 0
14
例10 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G ( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
试用奈氏判据分析系统的稳定性。
Im
( K 0, T1 0, T2 0)
GH
Re
0
该系统 稳定
1
0
K
图4-38
例10奈氏曲线
15
v 1
0
(a )
v2
(b)
图4-40
v 0 时的奈氏曲线
17
例11 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G(s) H (s) (0 1) 试用奈氏判据分析 2 2 s(T s 2 Ts 1) 系统的稳定性。
0
Im
GH
KT 2
0
临界稳定
不稳定
21
第五节
伯德稳定判据
一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系 二、穿越的概念 三、伯德稳定判据
22
一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系
相位穿越 频率 g
Im
L( )
1
1 2
3
4 0
0
Re
2
0
00
1800
c
3
4
g
剪切频率 c 幅值穿越频率
图4-44 奈奎斯特图及对应的伯德图
闭环特征方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C (s)
1 G( s) H ( s) 0
m
图4－33
控制系统的方框图
设开环传递函数为
M ( s) G( s) H ( s) = N ( s)
取辅助函数：
K (s z j )
(s p )
i i 1
j 1 n
( n m)
试用奈氏判据分析系统的稳定性。
19
0
KT1T2 1 T1 T2
Im
不稳 定
K (T1 T2 )
KT1T2 T1 T2
0
KT1T2 1 T1 T2
Re
稳定
KT1T2 1 T1 T2
临界 稳定
0
20
练习：知反馈控制系统的开环传递函数为 K (s 1) G( s) H ( s) 2 试用奈氏判据分析当T , T , T s (Ts 1) 时系统的稳定性. K 1 2 2 G ( j ) H ( j ) 解 2 1 T 2 2 ( ) 1800 arctgT arctg
P 2
S2
Z2
P 1
0
0
F (S1 )
Re
S3
Ls
(a )
(b)
LF
图4-36
S 和 F(s) 的映射关系
8
设 F (s) 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函 数，若在S平面上任选一封闭曲线 Ls ，并使 Ls不通过 F (s) 的奇点，则S平面上的封闭曲线 Ls映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线 LF 。当解析点s按顺时针方向沿 Ls 变化一周时，则在 F (s) 平面上，LF 曲线按逆时针方 向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 LF 按逆 时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线 Ls 内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即
(1, j 0) 点。
4
( jv)
jy
F ( s)
GH
(1, j 0)
0
0
x (u )
图4-34
F(s)=1+G(s)H(s)关系图
5
2. 幅角原理
映射的概念： 假设复变函数F (s) 为单值，且除了S平面上有限 的奇点外，处处都连续,也就是说 F (s) 在S平面上除奇点外处处 解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在 F (s ) 平面上必 有一点（称为映射点）与之对应。
对数相频曲线中由下向上 穿越-180o(2k+1)线 为正 对数相频曲线中由上向下穿越-180o(2k+1)线 为负
N=N+-NN+：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下 向上穿越-180o(2k+1)线的次数； N-：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上 向下穿越-180o(2k+1)线的次数；
23
二、穿越的概念
(1, j 0)
1800
正穿越 负穿越
注：从 1800开始的正或负穿越，以半次正或负穿 越计算。
24
五 利用Bode图判断系统稳定性
Z=P-2N 幅相曲线（-1，j0）点的左侧 幅相曲线的负实轴
幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正 幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负
对数幅频特性L(w)>0 对数相频特性的-180o(2k+1)线
13
2.当系统开环传递函数 G ( s) H ( s) 有p个位于S平面右半部的极
点时，如果系统的奈氏曲线 L
GH
逆时针包围(1, j 0) 点的周数等
于位于S平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳 定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的； 3. 如果系统的奈氏曲线 L 顺时针包围点 (1, j 0) GH （N<0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N>0）。 4. 在有些情况下， GH 曲线恰好通过GH平面的 (1, j 0) L 点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开 环极点，则系统处于临界稳定状态。
辅助函数F(s)的特点： (1) F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。 (2) F(s)的零点、极点个数相同（n个)。 (3) F(s)与开环传递函数 G ( s) H ( s) 只相差常量1， ( s ) F
i 1
(4-28)
(4-29)
的几何意义为：F (s) 平面的坐标原点就是 GH 平面上的
若N>0，则 LF 若N<0，则 LF (4-30) 按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；
N PZ
按顺时针方向绕 F(s)平面坐标原点N周；
若N=0，则 L
F
不包围F(s)平面坐标原点。
9
zn1
Z1
z3 p 3
s1 z 3
s1 p3 s1 p2
p2
s1 z1
S1 P 1
6
s1 1 j 2
j
j2
s1
F (s1 ) 0.95 j 0.15
S
Im
F S
s' '
s'
0
1
1
0
0.95
Re
F (s1 )
0.15
图4-35
S平面上的点在 F(S）平面上的映射
7
j
S1
Z1
S
F (S2 )
Im
F (S )
F ( S3 )
Z3 P 3
第四节
奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳 定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、极点数目 联系起来的一种判据。 奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。
j pn1
p1
0
Im
F s
F ( s1 )
pn
Re
zn
s1
s1 z 2
z2
LF
Ls
K F ( s1 )
*
(s
j 1 1
n
1
zj)
(s
i 1
n
pi )
F (s ) (s z ) (s p )
n n 1 j 1 1 j i 1 1 i
1
0
(1)
F ( j)
LGH
G( j ) H ( j )
Ls
LF
（a）s平面的Nyquist轨迹 （b）［F］平面的奈氏曲线 （c）［GH］平面的奈氏曲线
图4-37
12
奈氏轨迹 Ls在GH平面上的映射LGH称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线.
三、奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的奈奎斯
M ( s) N ( s) M ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 N ( s) N (s)
(4-28)
3
M ( s) N ( s) M ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 N ( s) N (s) n K * (s z j ) j 1 F ( s) n ( s pi )
F ( s) 2 Z ( 2 P 2 ( P Z) 2 N )
11
12
10
F ( s) 2 Z ( 2 P 2 ( P Z) 2 N )
幅角原理表达式
N P Z
F(s)的零点,系 统的闭环极点
F(s)的极点,系 统的开环极点
Im
GH
KT 2
1
0
Re
1
0
Re
0
不稳定
KT (a) 1 时N 0 2
0
(b)
稳定
KT 1 时N 2 2
图4-41 例11奈氏曲线
18
练习 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G(s) H (s) s(T1s 1)(T2 s 1) ( K 0, T1 0, T2 0)
极点时的奈氏轨迹
16
G ( s ) H ( s ) s lim re j
r 0
K jv lim v e e jv r 0 r
Im
0 I m
GH
0
0
GH
R
R
0
0
Re
0 Re 1 0
11
二、奈奎斯特轨迹及其映射 v 0
j
( 2)
S
(3)
R
Im
0
F
F ( s ) s j F ( j ) ( I m) ~
S平面的右半圆
Re
0
( R )
GH
0
R F () 1 G() H () 1 e
1
第四节
奈奎斯特稳定判据
一、奈奎斯特稳定判据的数学基础 二、 v 0 奈奎斯特轨迹及其映射 三、奈奎斯特稳定判据 四、 v 0 奈奎斯特轨迹
2
一、奈奎斯特稳定判据的数学基础
建立在复变函数理论基础上的幅角原理是奈氏判据的数学基础。
1. 辅助函数
开环频率特性 G( j ) H ( j )
特曲线 G( j ) H ( j ) 当由 变化至 时，按逆时针
方向包围 (1, j 0) 点P周。
应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： 1.当系统开环传递函数 G ( s) H ( s) 的全部极点都位于S平面左半 部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线LGH 不包围GH平面的(1, j 0) 点（N=0），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0），否则是不稳定的；
四、v 0 奈奎斯特轨迹 当 G ( s) H ( s) 在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于
奈氏轨迹不能经过开环极点，LGH 必须避开虚轴上的所有开 环极点。图4-38表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹. j S s lim re j ( ) r 0 2 2 ( 2)
Im
GH
0 0
Im
1 0 H
0 0
1
0
Re
Re 0
1
0
Re
T
(b)
T
(c )
T
稳定
图4-42 系统的奈氏曲线
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) v s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) K jv lim v e e jv r 0 r
s lim re j
r 0
图4-38 虚轴上有开环
1 例如，当系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)
F ( s) 1 G( s) H ( s)
s s 1 s ( s 1)
2
s1 1 j 2
(1 j 2) 2 (1 j 2) 1 F ( s1 ) 0.95 j 0.15 (1 j 2)(1 j 2 1)
R
0
(3)
0
0
(1)
( 4)
r 0
G(s) H (s)
Ls
k ( s z1 )( s z 2 ) (s z m ) G( s) H ( s) v s ( s p1 )( s p2 ) (s pnv )
s lim re j
r 0
14
例10 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G ( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
试用奈氏判据分析系统的稳定性。
Im
( K 0, T1 0, T2 0)
GH
Re
0
该系统 稳定
1
0
K
图4-38
例10奈氏曲线
15
v 1
0
(a )
v2
(b)
图4-40
v 0 时的奈氏曲线
17
例11 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G(s) H (s) (0 1) 试用奈氏判据分析 2 2 s(T s 2 Ts 1) 系统的稳定性。
0
Im
GH
KT 2
0
临界稳定
不稳定
21
第五节
伯德稳定判据
一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系 二、穿越的概念 三、伯德稳定判据
22
一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系
相位穿越 频率 g
Im
L( )
1
1 2
3
4 0
0
Re
2
0
00
1800
c
3
4
g
剪切频率 c 幅值穿越频率
图4-44 奈奎斯特图及对应的伯德图
闭环特征方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C (s)
1 G( s) H ( s) 0
m
图4－33
控制系统的方框图
设开环传递函数为
M ( s) G( s) H ( s) = N ( s)
取辅助函数：
K (s z j )
(s p )
i i 1
j 1 n
( n m)
试用奈氏判据分析系统的稳定性。
19
0
KT1T2 1 T1 T2
Im
不稳 定
K (T1 T2 )
KT1T2 T1 T2
0
KT1T2 1 T1 T2
Re
稳定
KT1T2 1 T1 T2
临界 稳定
0
20
练习：知反馈控制系统的开环传递函数为 K (s 1) G( s) H ( s) 2 试用奈氏判据分析当T , T , T s (Ts 1) 时系统的稳定性. K 1 2 2 G ( j ) H ( j ) 解 2 1 T 2 2 ( ) 1800 arctgT arctg
P 2
S2
Z2
P 1
0
0
F (S1 )
Re
S3
Ls
(a )
(b)
LF
图4-36
S 和 F(s) 的映射关系
8
设 F (s) 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函 数，若在S平面上任选一封闭曲线 Ls ，并使 Ls不通过 F (s) 的奇点，则S平面上的封闭曲线 Ls映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线 LF 。当解析点s按顺时针方向沿 Ls 变化一周时，则在 F (s) 平面上，LF 曲线按逆时针方 向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 LF 按逆 时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线 Ls 内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即
(1, j 0) 点。
4
( jv)
jy
F ( s)
GH
(1, j 0)
0
0
x (u )
图4-34
F(s)=1+G(s)H(s)关系图
5
2. 幅角原理
映射的概念： 假设复变函数F (s) 为单值，且除了S平面上有限 的奇点外，处处都连续,也就是说 F (s) 在S平面上除奇点外处处 解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在 F (s ) 平面上必 有一点（称为映射点）与之对应。
对数相频曲线中由下向上 穿越-180o(2k+1)线 为正 对数相频曲线中由上向下穿越-180o(2k+1)线 为负
N=N+-NN+：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下 向上穿越-180o(2k+1)线的次数； N-：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上 向下穿越-180o(2k+1)线的次数；
23
二、穿越的概念
(1, j 0)
1800
正穿越 负穿越
注：从 1800开始的正或负穿越，以半次正或负穿 越计算。
24
五 利用Bode图判断系统稳定性
Z=P-2N 幅相曲线（-1，j0）点的左侧 幅相曲线的负实轴
幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正 幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负
对数幅频特性L(w)>0 对数相频特性的-180o(2k+1)线
13
2.当系统开环传递函数 G ( s) H ( s) 有p个位于S平面右半部的极
点时，如果系统的奈氏曲线 L
GH
逆时针包围(1, j 0) 点的周数等
于位于S平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳 定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的； 3. 如果系统的奈氏曲线 L 顺时针包围点 (1, j 0) GH （N<0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N>0）。 4. 在有些情况下， GH 曲线恰好通过GH平面的 (1, j 0) L 点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开 环极点，则系统处于临界稳定状态。
辅助函数F(s)的特点： (1) F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。 (2) F(s)的零点、极点个数相同（n个)。 (3) F(s)与开环传递函数 G ( s) H ( s) 只相差常量1， ( s ) F
i 1
(4-28)
(4-29)
的几何意义为：F (s) 平面的坐标原点就是 GH 平面上的
若N>0，则 LF 若N<0，则 LF (4-30) 按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；
N PZ
按顺时针方向绕 F(s)平面坐标原点N周；
若N=0，则 L
F
不包围F(s)平面坐标原点。
9
zn1
Z1
z3 p 3
s1 z 3
s1 p3 s1 p2
p2
s1 z1
S1 P 1
6
s1 1 j 2
j
j2
s1
F (s1 ) 0.95 j 0.15
S
Im
F S
s' '
s'
0
1
1
0
0.95
Re
F (s1 )
0.15
图4-35
S平面上的点在 F(S）平面上的映射
7
j
S1
Z1
S
F (S2 )
Im
F (S )
F ( S3 )
Z3 P 3
第四节
奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳 定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、极点数目 联系起来的一种判据。 奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。
j pn1
p1
0
Im
F s
F ( s1 )
pn
Re
zn
s1
s1 z 2
z2
LF
Ls
K F ( s1 )
*
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j 1 1
n
1
zj)
(s
i 1
n
pi )
F (s ) (s z ) (s p )
n n 1 j 1 1 j i 1 1 i
1
0
(1)
F ( j)
LGH
G( j ) H ( j )
Ls
LF
（a）s平面的Nyquist轨迹 （b）［F］平面的奈氏曲线 （c）［GH］平面的奈氏曲线
图4-37
12
奈氏轨迹 Ls在GH平面上的映射LGH称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线.
三、奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的奈奎斯