安丘市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

安丘市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．
B ．3
C ．3
D ．2
2． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，
则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
3． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
4． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm
B ．
C ．
D ．26cm
5． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
6． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
7． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1 D ．4
9． 若变量x ，y 满足：
，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）
A ．﹣2＜t ＜﹣
B ．﹣2＜t ≤﹣
C ．﹣2≤t ≤﹣
D ．﹣2≤t ＜﹣
10．已知a n =（n ∈N *
），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
11．函数f （x ）＝kx ＋b
x ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
12．以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =
B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<
C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2
C π
=
”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
二、填空题
13．S n =
+
+…+
= ．
14．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 ▲ ．
15．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
17．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
三、解答题
18．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，
过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△F 2PQ 面积的最小值．
19．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 3
2
=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
20．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动．
（1）证明：BC 1∥平面ACD 1．
（2）当
时，求三棱锥E ﹣ACD 1的体积．
21．（本小题满分16分）
已知函数()133x x a
f x b
+-+=+．
（1） 当1a b ==时，求满足()3x f x =的的取值；
（2） 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式(
)()2222f t t f t k -<-有解，求的取值范围；111]
②若函数()g x 满足()()()1
2333x
x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式
(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.
22．如图，已知五面体ABCDE ，其中△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （Ⅰ）证明：AD ⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A ﹣BD ﹣C 所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE 的体积．
23．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .
24．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．
（1）求S n 的最小值及相应n 的值；
（2）求T n ．
安丘市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 6022S bc A bc =
===，所以4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin sin 603
a b c a A B C A ++===++，故选B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=
++是解答的关键，属于中档试题． 2． 【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82
=的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
3． 【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a ＝18，选D.
法二：a ＝6 102，b ＝2 016，r ＝54， a ＝2 016，b ＝54，r ＝18， a ＝54，b ＝18，r ＝0. ∴输出a ＝18，故选D. 4． 【答案】D 【解析】
考点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．6．【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
7．【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，
联立解得，
∴S6=6a1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
8．【答案】D
【解析】
考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB BA
OA OB OD
+=（D点是AB的中点）,另外，要选好基底-=，这是一个易错点，两个向量的和2
AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几向量，如本题就要灵活使用向量,
何意义等.
9．【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），
则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，
即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得﹣2≤t ≤
﹣，
即实数t 的取值范围为是[﹣2
，﹣]， 故选：C ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
10．【答案】C 【解析】解：a n =
=1+
，该函数在（0
，
）和（
，+∞）上都是递减的，
图象如图， ∵9
＜
＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9．
故选：C ． 【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，
是基础题．
11．【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝
km ＋b m ＋1
4－n ＝k （－2－m ）＋b
－1－m
，恒成立．
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立， ∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝2x ＋b x ＋1，又f （－2）＝－4＋b
－1＝3，
∴b ＝1，故选B. 12．【答案】D
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵ =
=（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域
15．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有 5y 2=5m
得到y 2
=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y ≥1即是
y 2≥1
得到m ≥1
∵椭圆方程中，m ≠5
m 的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
16．【答案】 ．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==
．
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
17．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
，解得a 2=4，b 2
=3，
∴椭圆C 的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN 的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t 2+4）y 2
+6ty ﹣9=0，
∴
，，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），又F 1（﹣1，0），F 2（1，0），
则直线F 1M ：，令x=4，得P （4，），同理，Q （4，
），
∴=
||=15×|
|=180×|
|，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y=
=
在[1，
）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（
）min =
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
19．【答案】
【解析】（1）依题意知),0(y N ，∵)0,32()0,(3232x x MN ME -=-==
，∴),3
1
(y x E 则)1,(-=y x QM ，)1,3
1
(+=y x …………2分
∵0=⋅PE QM ，∴0)1)(1(3
1
=+-+⋅y y x x ，即1322=+y x ∴曲线C 的方程为13
22
=+y x …………4分
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，
又∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
∴BC 1∥平面ACD 1．
（2）解：S △ACE =AEAD==．
∴V
=V
=
=
=
．
【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．
21．【答案】（1） 1x =- （2） ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题分析：（1）根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3x
f x =转化为一元二次方程：()2
332310x x ⋅+⋅-=，再根据指
数函数范围可得133
x
= ，解得1x =- （2） ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定
义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()
22
22f t t f t k -<-为2222t t t k ->-即
（2） 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()
333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的成立，则30260a b ab -=-=且
解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪
⎨⎨==-⎪⎩⎩
或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去 所以1,3a b ==， 所以()1
31
33
x x f x +-+=+ ………………………………………6分 ①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
1111]
对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()21
12
12
121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-
即()33x x g x -=+ ………………………………………12分
令()9h t t t =+，()291h t t
=-′，
()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB 是圆O 的直径， ∴AC ⊥BC ， 又∵DC ⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23．【答案】（1）n a n 2=；（2）=
n T )
1(2+n n
.
考
点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和． 24．【答案】
【解析】解：（1）S n =2n 2
﹣19n+1=2
﹣，
∴n=5时，S n 取得最小值=﹣44．
（2）由S n =2n 2
﹣19n+1，
∴n=1时，a 1=2﹣19+1=﹣16．
n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣19n+1﹣[2（n ﹣1）2﹣19（n ﹣1）+1]=4n ﹣21．
由a n ≤0，解得n ≤5．n ≥6时，a n ＞0． ∴n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n =﹣2n 2
+19n ﹣1．
n ≥6时，T n =﹣（a 1+a 2+…+a 5）+a 6+…+a n
=﹣2S5+S n
=2n2﹣19n+89．
∴T n=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．。