初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题含参考答案

初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题
一、模型解读
所谓瓜豆原理，即若两动点到某定点的距离之比为定值，且其夹角为定角，那么两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型。

我们把主动点形象的叫“瓜”，从动点叫“豆”，“瓜”在直线上运动，“豆”也在直线上运动；“瓜”在圆周上运动，“豆”的轨迹也是圆。

下面，先讲直线型的“瓜豆原理”。

运动轨迹为直线型的瓜豆原理
题目
(1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，
取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点
轨迹是？
(2)如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上
的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C
点逆时针旋转60°得到P'，求P'点轨迹？
解析
Q点轨迹是直线l。

(相似模型)
P'点轨迹是直线BP'(手拉手模型)确定从动点轨迹的方法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的从动点的位置，连线即
可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

一．例题赏析
1如图所示，A(0，4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是2．
【分析有据】连接AF ，以AO 为边长作等边△AOC ，连接FC ，可得到△APF 为等边三角形，通过△AOP ≌△ACF 得到∠ACF =∠AOP =90°，即当点P 在x 轴上运动时，点F 在直线FC 上运动，作OF '⊥FC 交直线FC 于F '，OE ⊥AC 于E ，得到当F 在直线FC 上运动到点F '位置时，线段OF 的最小值为OF '=2．
【解题有法】解：连接AF ，以AO 为边长作等边△AOC ，连接FC ，
∴AO =AC =4，∠OAC =60°，∠APF =60°，AP =FP ，
∴△APF 为等边三角形，∴AF =AP ，∠PAF =60°=∠OAC ，
∴∠OAP =∠CAF ，在△AOP 和△ACF 中，
AC =AO ∠OAP =∠CAF AF =AP
，∴△AOP ≌△ACF (SAS )，∴∠ACF =∠AOP =90°，∴当点P 在x 轴上运动时，点F 在直线FC 上运动，
作OF '⊥FC 交直线FC 于F '，OE ⊥AC 于E ，
∵∠OAC =60°，AO =AC =4，∴∠AOE
=∠COE =30°，OE ⊥AC ，
∴AE =EC =12
AC =OF ′=2，∴显然，当F 在直线FC 上运动到点F '位置时，线段OF 的最小值为OF '=2，故答案为：2．2如图，
在矩形ABCD
中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP ′，连接PP ′，CP ′．当点P ′落在边BC 上时，∠PP ′C 的度数为
120°；当线段CP ′的长度最小
时，∠PP ′C 的度数为75°．
【分析有据】如图，以AB 为边向右作等边△ABE ，连接EP ′．利用全等三角形的性质证明∠BEP ′=90°，推出点P ′在射线EP ′上运动，如图1中，设EP ′交BC 于点O ，再证明△BEO 是等腰直角三角形，可得结论．
【解题有法】解：如图，以AB 为边向右作等边△ABE ，连接EP ′
．
∵△BPP ′是等边三角形，∴∠ABE =∠PBP ′=60°，BP =BP ′，BA =BE ，
∴∠ABP =∠EBP ′，在△ABP 和△EBP ′中，BA =BE ∠ABP =∠EBP ′BP =BP ′
，∴△ABP ≌△EBP ′(SAS )，∴∠BAP =∠BEP ′=90°，
∴点P ′在射线EP ′上运动，如图1中，设EP ′交BC 于点O
，
当点P ′落在BC 上时，点P ′与O 重合，此时∠PP ′C =180°-60°=120°，
当CP ′⊥EP ′时，CP ′的长最小，此时∠EBO =∠OCP ′=30°，
∴EO =12OB ，OP ′=12OC ，∴EP ′=EO +OP ′=12OB +12OC =12
BC ，∵BC =2AB ，∴EP ′=AB =EB ，∴∠EBP ′=∠EP ′B =45°，
∴∠BP ′C =45°+90°=135°，∴∠PP ′C =∠BP ′C -∠BP ′P =135°-60°=75
°．故答案为：120°，75°．
二．巩固练习
3正方形ABCD 的对角线相交于点O (如图1)，
如果∠BOC 绕点O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB 、BC 相交于点E 、F (如图2)，连接EF ，那么在点E 由B 到A 的过程中，线段EF 的中点G 经过的路线是()
A.线段
B.圆弧
C.折线
D.波浪线
4如图，
在矩形ABCD 中，BC =12，点E 为AD 的中点，点F 为CD 边上一点，DF =2，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到EH ，点H 恰好在线段BF 上，过H 作直线HM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则CF 的长为()
A.2
B.5
C.6
D.8
5如图，
矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，当点C ，B ′，C ′三点共线时，AB ′交DC 于点E ，则DE 的长度是()
A.78
B.258
C.74
D.254
6如图，
矩形ABCD 的边AB =112
，BC =3，E 为AB 上一点，且AE =1，F 为AD 边上的一个动点，连接EF ，若以EF 为边向右侧作等腰直角三角形EFG ，EF =EG ，连接CG ，则CG 的最小值为()
A.5
B.52
C.3
D.22
7如图，
在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是△ABC 的高CD 上一个动点，以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，连接DP ′，则DP ′的最小值是．
8如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为．
9如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．
10如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．
11如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为．
12如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接
=.若点M是线段EF的中点，则当点P从点PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EF
PE
A运动到点B时，点M运动的路径长为．
13如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，∠B=60°，点E在线段BC上运动(含B、C两点)．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为．
14如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是线段BC上一动点，将线段PA绕点P顺时针转90°得到线段PA′，连接DA′，则DA′的最小值为．
15如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A(4，0)，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是．
16如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且OA=33，点M为x轴上的一个动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转60°至线段AN，连接ON，则ON的最小值为．
17如图，平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，0)，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是．
初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题巩固练习参考答案与试题解析
1正方形ABCD 的对角线相交于点O (如图1)，
如果∠BOC 绕点O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB 、BC 相交于点E 、F (如图2)，连接EF ，那么在点E 由B 到A 的过程中，线段EF 的中点G 经过的路线是()
A.线段
B.圆弧
C.折线
D.波浪线
【分析有据】建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，证明△AOE ≌△BOF (ASA )，推出AE =BF ，设AE =BF =a ，则F (a ，0)，E (0，1-a )，由题意G 12a ，12-12a ，推出点G 在直线y =-x +12
上运动，可得结论．【解题有法】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠OAE =∠OBF =45°，OA =OB ，
∵∠AOB =∠EOF =90°，∴∠AOE =∠BOF ，
∴△AOE ≌△BOF (ASA )，
∴AE =BF ，
设AE =BF =a ，则F (a ，0)，E (0，1-a )，
∵EG =FG ，
∴G 12a ，12-12a ，∴点G 在直线y =-x +
12
上运动，∴点G 的运动轨迹是线段，解法二：连接BG ，OG ．因为BG =OG =二分之一EF ，所以点G 在OB 的垂直平分线上．
∴点G 的运动轨迹是线段，
故选：A ．
2如图，
在矩形ABCD 中，BC =12，点E 为AD 的中点，点F 为CD 边上一点，DF =2，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到EH ，点H 恰好在线段BF 上，过H 作直线HM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则CF 的长为(
)
A.2
B.5
C.6
D.8
【分析有据】设CF =x ．过H 点作MN ⊥AD ，则MN ∥CD ，易证得△MEH ≌△DFE (AAS )，得出ME =DF =2，MH =DE =6，进而得出HN =x -4，然后通过证得△BNH ∽△BCF ，得到BN BC =HN CF ，即412=x -4x
，解方程即可求得CF ．【解题有法】解：过H 点作MN ⊥AD ，则MN ∥CD ，设CF =x ．
∵AB =CD =DF +CF =2+x ，BC =12，E 为边AD 的中点，
∴AE =ED =6，
∵∠FEH =90°，
∴∠MEH +∠DEF =90°，
∵∠DEF +∠DFE =90°，
∴∠MEH =∠DFE ，
在△MEH 和△DFE 中，
∠MEH =∠DFE ∠EMH =∠D =90°EH =EF
，∴△MEH ≌△DFE (AAS )，
∴ME =DF =2，MH =DE =6，
∴HN =x +2-6=x -4，
∴BN =AM =6-2=4，
∵NH
∥CF ，
∴△BNH ∽△BCF ，
∴BN BC =HN CF
，即412=x -4x ，解得x =6，
∴CF 的长是6，
故选：C ．
3如图，
矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，当点C ，B ′，C ′三点共线时，AB ′交DC 于点E ，则DE 的长度是(
)
A.78
B.258
C.74
D.254
【分析有据】连接AC ，AC ′，由旋转易得AC =AC ′，结合等腰三角形的三线合一性质知B ′C =B ′C ′=3=AD ，进而可利用AAS 证明△ADE ≌△CB ′E ，得到AE =CE ，DE =B ′E ，于是设AE =x ，则B ′E =4-x =DE ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解题有法】解：如图，连接AC ，
AC ′，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC =∠ADC =90°，BC =AD =3，AD =AB =4，
由旋转可知，BC =B ′C ′=3，AC =AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′=90°，AB ′=AB =4，
∴△ACC ′是等腰三角形，且AB ′⊥CC ′，
∴B ′C =B ′C ′=3，
∴AD =B ′C =3，
在△ADE 和△CB ′E 中，
∠AED =∠CEB ′∠ADE =∠CB ′E AD =B ′C
，∴△ADE ≌△CB ′E (AAS )，
∴AE =CE ，DE =B ′E ，
设AE =x ，则B ′E =4-x =DE ，
在Rt △ADE 中，DE 2+AD 2=AE 2，∴(4-x )2+32=x 2，
解得：x =258，∴DE =4-x =78
．故选：A ．
4如图，
矩形ABCD 的边AB =112
，BC =3，E 为AB 上一点，且AE =1，F 为AD 边上的一个动点，连接EF ，若以EF 为边向右侧作等腰直角三角形EFG ，EF =EG ，连接CG ，则
CG 的最小值为()A.5 B.52 C.3 D.22
【分析有据】过点G 作GH ⊥AB 于H ，过点G 作MN ∥AB ，由“AAS ”可证△GEH ≌△FEA ，可得GH =AE =1，可得点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，则当F 与D 重合时，CG 有最小值，即可求解．
【解题有法】解：如图，过点G 作GH ⊥AB 于H ，过点G 作MN
∥AB ，
∵四边形ABCD 是矩形，AB =
112
，BC =3，∴∠B =90°，CD =112，AD =3，∵AE =1，
∴BE =92
，∵∠GHE =∠A =∠GEF =90°，
∴∠GEH +∠EGH =90°，∠GEH +∠FEA =90°，
∴∠EGH =∠FEA ，
在△GEH 和△FEA 中，
∠EAF =∠GHE ∠EGH =∠FEA GE =EF
，∴△GEH ≌△EFA (AAS )，
∴GH =AE =1，
∴点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，
∴当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF =EH =3，
∴CG 的最小值=
112-1-3 2+22=52
，故选：B ．
二．填空题(共13小题)
5如图，
在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是△ABC 的高
CD 上一个动点，以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，连接DP ′，则DP ′的最小值是22-2．
【分析有据】在BC 上截取BE =BD ，由等腰直角三角形的性质可得BA =42，∠ABC =∠BAC =∠BCD =∠DCA =45°，BD =CD =AD =22=BE ，由旋转的性质可得BP =BP '，∠PBP '=45°，可证△BDP '≌△BEP ，可得PE =P 'D ，
当PE ⊥CD 时，PE 有最小值，即DP '有最小值，由直角三角形的性质可求DP ′的最小值．
【解题有法】解：如图，在BC 上截取BE =BD ，连接EP ，
∵∠ACB =90°，AC =BC =4，CD ⊥AB ，
∴BA =42，∠ABC =∠BAC =∠BCD =∠DCA =45°，BD =CD =AD =22=BE ，
∵以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，
∴BP =BP '，∠PBP '=45°=∠ABC ，
∴∠DBP '=∠CBP ，
在△BDP '和△BEP 中，
BD =BE ∠DBP ′=∠CBP BP =BP ′
，∴△BDP '≌△BEP (SAS )，
∴PE =P 'D ，
∴当PE ⊥CD 时，PE 有最小值，即DP '有最小值，
∵PE ⊥CD ，∠BCD =45°，
∴CE =2PE =BC -BE =4-22，
∴PE =22-2，
故答案为：22-2．
6如图，
在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG =∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为　3625
　．
【分析有据】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG=∠DAP=定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，想办法求出CG即可．
【解题有法】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．
∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP=∠DHA，
∵∠DPG=∠DAH，
∴△ADH∽△PDG，
∴AD DP =DH
DG，∠ADH=∠PDG，
∴∠ADP=∠HDG，
∴△ADP∽△DHG，
∴∠DHG=∠DAP=定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当CG⊥HF时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADH+∠HDF=90°，
∵∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠HDF=∠DAH=∠DHF，
∴FD=FH，
∵∠FCH+∠CDH=90°，∠FHC+∠FHD=90°，∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC=DF=1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC=32+42=5，DH=AD⋅DC
AC =12
5，
∴CH=CD2-DH2=9
5，
∴EH=DH⋅CH
CD =36 25，
∵∠CFG=∠HFE，∠CGF=∠HEF=90°，CF=HF，
∴△CGF ≌△HEF (AAS )，
∴CG =HE =3625，∴CG 的最小值为3625，故答案为3625
．7如图，
在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，4)，P 是x 轴上一动点，把线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，连接OF ，则线段OF 长的最小值是2．
【分析有据】方法一：点F 运动所形成的图象是一条射线F 2F 1，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x
轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =433，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=833，求得点F 1的坐标为433
，0 ，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为(0，-4)，最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =3x
-4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=833
，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×h ，即12×433×4=12×833
×h ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．
方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB ，连接BP 、AF ，过点B 作BP ′⊥x 轴于点P ′，可证得△BAP ≌△OAF (SAS )，得出BP =OF ，当BP ⊥x 轴时，BP 最小值为2，故OF 的最小值为2．
【解题有法】解：方法一：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，
∴△APF 是等边三角形，
∴AP =AF ，
如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，
则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，
∵AO ⊥P 1F 1，
∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，
∴∠P 1AO =30°，且AO =4，
由勾股定理得：P 1O =F 1O =433
，∴P 1A =P 1F 1=AF 1=833
，∴点F 1的坐标为433
，0 ，如图，当点F 2在y 轴上时，
∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，
∴AO =F
2O =4，
∴点F 2的坐标为(0，-4)，
∵tan ∠OF 1F 2=OF 2
OF 1=4
43
3=3，
∴∠OF 1F 2=60°，
∴点F 运动所形成的图象是一条直线F 2F 1，
∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，
设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ，
则43
3k +b =0b =-4
，
解得k =3
b =-4 ，
∴直线F 1F 2的解析式为y =3x -4，
∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，
∴F 1F 2=AF 1=833，
在Rt △OF 1F 2中，
设点O 到F 1F 2的距离为
h ，则
12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×h ，
∴12×433×4=12×833×h ，
解得h =2，
即线段OF 的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB ，连接BP 、AF ，
过点B 作BP ′⊥x 轴于点P ′，
∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，
∴∠APF =60°，PF =PA ，
∴△APF 是等边三角形，
∴AP =AF ，∠PAF =60°，
∵△AOB 是等边三角形，
∴AB =AO =OB =4，∠BAO =60°，
∴∠BAP =60°+∠OAP =∠OAF ，
在△BAP 和△OAF 中，
AB =AO ∠BAP =∠OAF AP =AF
，∴△BAP ≌△OAF (SAS )，
∴BP =OF ，
∵P 是x 轴上一动点，
∴当BP ⊥x 轴时，BP 最小，即点P 与点P ′重合时BP =BP ′
最小，∵∠BOP ′=30°，∠BP ′O =90°，
∴BP ′=12OB =12
×4=2，∴OF 的最小值为2，
故答案为2．
8如图，
矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，E 为
BC 上一点，且BE =2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为2+32　．
【分析有据】如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．首先证明∠ETG
=90°，推出点G 的在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小．
【解题有法】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接GT ，连接DE 交CG 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，
∵∠BET =∠FEG =45°，
∴∠BEF =∠TEG ，
在△EBF 和△ETG 中，EB =ET ∠BEF =∠TEG EF =EG
，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，
∴∠B =∠ETG =90°，
∴点G 的在射线TG 上运动，
∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，
∵BC =8，BE =2，CD =6，
∴CE =CD =6，
∴∠CED =∠BET =45°，
∴∠TEJ =90°=∠ETG =∠JGT =90°，
∴四边形ETGJ 是矩形，
∴DE ∥GT ，GJ =TE =BE =2，
∴CJ ⊥DE ，
∴JE =JD ，
∴CJ =12
DE =32，∴CG =CJ +GJ =2+32，
∴CG 的最小值为2+32，
故答案为2+32．
9如图，
正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 上一点，且BE =
1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为　2　．
【分析有据】如图1，过点G 作GP ⊥AB 于点P ，GQ ⊥BC 于点Q ，连接BD ．构造全等三角形△GPF ≌△GQE (AAS )，由该全等三角形的性质可以判定点G 在BD 所在的直线上运动；当CG ⊥BD 时，CG 取最小值．根据正方形的性质解答即可．
【解题有法】解：如图1，过点G 作GP ⊥AB 于点P ，GQ ⊥BC 于点Q ，连接BD ，
根据题意知，∠ABC =90°，∠PGQ =90°．
∴∠PGF +∠FGQ =∠QGE +∠FGQ =90°．
∴∠PGF =∠QGE ．
又∵△EFG 是等腰直角三角形，且∠FGE =90°，
∴GF =GE ．
在△GPF 与△GQE 中，∠GPF =∠GQE =90°∠PGF =∠QGE GF =GE
，∴△GPF ≌△GQE (AAS
)．
∴GP =GQ ，∠GBP =∠GBE =
12
∠ABC ．∴点G 在BD 所在的直线上运动．∵F 为AB 边上的一个动点，如图2，
当点F 与点B 重合时，点G 的位置如图所示．
当点F 与点A 重合时，记点G 的位置为G ″．
∴点G 的运动轨迹为线段GG ″．
过点C 作CG ′⊥BD 于点G ′．
∴|CG |min =CG ′=12
BD ．∵正方形ABCD 的边长为2，
∴BD =22．
∴|CG |min =2．
故答案为：2．
10如图，
在正方形ABCD 中，AB =8，点E 在边AD 上，且AD =4AE ，点P 为边AB 上的动点，连接PE ，过点E 作EF ⊥PE ，交射线BC 于点F ，则EF PE
=4.若点M 是线段EF 的中点，则当点P 从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为16．
【分析有据】过F 作FK ⊥AD 交AD 延长线于K ，设AP =m ，证明△APE ∽△DET ，有
m 6=2DT
，DT =12m ，而△DET ∽△CFT ，有6CF =12m 8-12m
，可得CF =4m -6，EK =4m ，根据△APE ∽△KEF ，知EF PE =EK AP
=4m m =4；过点M 作GH ⊥AD ，交AD 于G ，交BC 于H ，证明△EGM ≌△FHM (AAS )，得MG =MH ．故点M 的运动轨迹是一条平行于BC 的线段，当点P 与A 重合时，BF 1=AE =2，当点P 与点B 重合
时，可证△EF 1B ∽△∠EF 1F 2，得28=8F 1F 2，F 1F 2=32，从而M 1M 2=12
F 1F 2=16，即点M 运动的路径长为16．【解题有法】解：过F 作FK ⊥AD 交AD 延长线于K ，如图：
设AP =m ，
∵四边形ABCD 是正方形，AB =8，AD =4AE ，
∴AE =2，DE =6，∠A =∠EDC =90°，
∵EF ⊥PE ，
∴∠PEF =90°，
∴∠DET =90°-∠AEP =∠APE ，
∴△APE ∽△DET ，
∴AP DE =AE DT ，即m 6=2DT ，∴DT =12m ，∴CT =CD -DT =8-12m
，∵DE ∥CF ，
∴△DET ∽△CFT ，
∴DE CF =DT CT ，即6CF =12
m 8-12m
，∴CF =4m -6，
∴DK =CF =4m -6，
∴EK =4m ，
∵∠DET =∠APE ，∠A =∠K =90°，
∴△APE ∽△KEF ，
∴EF
PE =EK AP
=4m m =4；过点M 作GH ⊥AD ，交AD 于G ，交BC 于H ，如图：
∵AD ∥CB ，GH ⊥AD ，
∴GH ⊥BC ．
在△EGM 和△FHM 中，∠MGE =∠MHF ∠GME =∠FMH EM =FM
，∴△EGM ≌△FHM (AAS )，
∴MG =MH ．
∴点M 的运动轨迹是一条平行于BC 的线段，
当点P 与A 重合时，BF 1=AE =2，
当点P 与点B 重合时，∠F 2+∠EBF 1=90°，∠BEF 1+∠EBF 1=90°，
∴∠F 2=∠BEF 1．
∵∠EF 1B =∠EF 1F 2，
∴△EF 1B ∽△∠EF 1F 2．
∴BF 1EF 1=EF 1F 1F 2，即：28=8F 1F 2
，∴F 1F 2=32，
∵M 1M 2是△EF 1F 2的中位线，
∴M 1M 2=12
F 1F 2=16，即点M 运动的路径长为16；故答案为：4；16．11如图，
在▱ABCD 中，AB =6，BC =10，∠B =60°，点E 在线段BC 上运动(含B 、C 两点)．连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值为
2
3　．【分析有据】在BC 上取点P ，使BP =AB ，作射线PF 交AD 于点M ，过点D 作DH ⊥PF 于H ，证明△BAE ≌△PAF (SAS )，得∠ABE =∠APF =60°，∠BPM =∠APB +∠APF =120°，可得△APM 是等边三角形，即得AM =6，DM =4，由DH ⊥PM ，∠DMH =∠AMP =60°，可得DH =DM •sin60°=2，根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，DF 的值最小，最小值为23．
【解题有法】解：在BC 上取点P ，使BP =AB ，作射线PF 交AD 于点M ，过点D 作DH ⊥PF 于H ，如图：
∵AB =BP ，∠B =60°，∴△ABP 是等边三角形，
∴AB =AP ，∠BAP =60°，
∵线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，∴∠EAF =60°，AE =AF ，
∴∠BAE =∠PAF ，
在△BAE 和△PAF 中，AB =AP ∠BAE =∠PAF AE =AF
，∴△BAE ≌△PAF (SAS )，
∴∠ABE =∠APF =60°，
∴∠BPM =∠APB +∠APF =120°，
∵AM ∥BP ，
∴∠AMP =180°-120°=60°，
∴△APM 是等边三角形，
∴AM =AP ，
∵AB =AP =6，
∴AM =6，
∴点F 在射线PM 上运动，
∵BC =10，
∴DM =AD -AM =BC -AM =4，
∵DH ⊥PM ，∠DMH =∠AMP =60°，
∴DH =DM •sin60°=4×32
=2，根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，DF 的值最小，最小值为23，
故答案为：23．
12如图，
在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，
点P 是线段BC 上一动点，将线段PA 绕点P 顺时针转90°得到线段PA ′，连接DA ′，则DA ′的最小值为22　．
【分析有据】根据旋转的性质，确定A '在线段GH 上运动，当DA '⊥GH 时，DA ′有最小值．
【解题有法】解：当点P 与点B 重合时，A '在BC 上，且A 'B =AB =6，
∵BC =8，
∴CG =2，
当点P 与点C 重合时，A '运动到H 处，
∴点A'在线段GH上运动，
当点A'在CD上时，
∵∠APA'=90°，
∴∠APB+∠CPA′=90°，
∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPA′=∠PAB，
∵AP=A'P，
∴△ABP≌△PCA′(AAS)，
∴AB=PC，BP=A′C，
∵AB=6，BC=8，
∴A'C=2，
∴A'D=4，∵CG=A'C=2，
∴∠DA′H=45°，过点D作DM⊥GH，
∴DM=22，∴DA′的最小值为22，故答案为：22．
13如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A(4，0)，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是　22　．
【分析有据】①当P点纵坐标≥0时，过点B作BC⊥y轴于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC= AO，设OP长度为x由两点距离公式建立二次函数，再由二次函数的性质求值即可；②当P点纵坐标<0时，过点B作BC⊥y轴于C，同理可得OB的表达式，再由二次函数的性质求值即可．
【解题有法】解：①当P点纵坐标≥0时，如图1，过点B作BC⊥y轴于C，
∠CBP +∠CPB =90°，∠OPA +∠CPB =90°，
则∠CBP =∠OPA ，
由旋转的性质可得：PB =PA ，
在△BPC 和△PAO 中，
∠PBC =∠APO ∠BCP =∠POA PB =PA
，∴△BPC ≌△PAO (AAS )，
∴BC =PO ，PC =AO ，
设OP 长度为x ，则PC =AO =4，BC =x ，B (x ，x +4)，
∴OB =x 2+(x +4)2=2(x +2)2+8，
∵x ≥0，∴x =0时OB 最小，最小值为4；
②当P 点纵坐标<0时，如图
3，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，
同理可得△BPC ≌△PAO (AAS )，BC =PO ，PC =AO ，
设OP 长度为x ，则PC =AO =4，BC =x ，B (-x ，4-x )，
∴OB =x 2+(4-x )2=2(x -2)2+8，∵x >0，
∴x =2时OB 最小，最小值为22，
综上所述：OB 最小值为22，故答案为：22．
14如图，
在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，且OA =33，点M 为x 轴上的一个动点，连接AM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转60°至线段AN ，连接ON ，则ON 的最小值为　332
　．
【分析有据】以OA 为边作等边△OAC ，利用等边三角形的性质和旋转的特性，可证△OAM ≌△CAN (SAS )，点N 在直线CG 上运动，当ON ⊥CG 时，ON 最小，由含30°的直角三角形的性质，求解即可．
【解题有法】解：以OA 为边作等边△OAC ，作直线CN 交OM 于G ，过C 作CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OM 于E ，如图，
∵△OAC 是等边三角形，将线段AM 绕点A 逆时针旋转60°至线段AN ，
∴OC =OA =33，∠OAC =∠MAN =∠ACO =60°，AM =AN ，
∴∠OAM =∠CAN ，∴△OAM ≌△CAN (SAS )，
∴∠ACN =∠AOM =∠ACG =90°，
∴∠OCG =∠ACG -∠ACO =90°-60°=30°，
当点M 在x 轴上运动时，点N 在直线CG 上运动，
当ON ⊥CG 时，ON 最小，过O 作ON ⊥CG 于N ，如图，
则∠CNO =90°，∵∠OCG =30°，∴ON =12OC =332，故答案为：332
．15如图，
平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (2，0)，P 为y 轴正半轴上一个动点，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为Q ，则线段BQ 的最小值是　322
　．
【分析有据】设P(0，m)，则OP=m，作QM⊥y轴于M，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根
据勾股定理得到BQ=2m-1 2
2+92，即可求得当m=1时，BQ有最小值322．【解题有法】解：∵A(1，0)，
∴OA=1，设P(0，m)，则OP=m，
过点Q作QM⊥y轴于M，
由于将线段PA绕点P逆时针旋转90°到PQ，
∵∠APQ=90°，∴∠OAP+∠APO=∠APO+∠QPM，
∴∠OAP=∠QPM，
在△AOP和△PMQ中，∠AOP=∠PMQ ∠OAP=∠QPM PA=PQ
，
∴△AOP≌△PMQ(AAS)，
∴MQ=OP=m，PM=OA=1，
∴Q(m，m+1)，∵B(2，0)，
∴BQ=(m-2)2+(m+1)2=2
m-12
2+92，∵2>0，
∴当m=1
2时，BQ有最小值32
2，故答案为：
32
2．。