高中数学 第二章 函数 4.2 二次函数的性质课时作业 北师大版必修1

4.2 二次函数的性质
[学业水平训练]
1．(2014·太原五中月考)如果函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )
A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)
B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)
C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)
D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)
解析：选D.函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )
图像的对称轴为x ＝1
2，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.
2．如果函数y ＝x 2
＋(1－a )x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥5
B ．a ≤－3
C ．a ≥9
D ．a ≤－7
解析：选C.由题意知对称轴x ＝－1－a
2
≥4，∴a ≥9.
3．若函数y ＝x 2
－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(2,4) C ．[0,4] D ．[2,4] 解析：
选D.由图像知对称轴为x ＝2，f (0)＝－4，f (2)＝－8，f (4)＝－4， 若函数在[0，m ]上有最小值－8， ∴m ≥2.
若函数在[0，m ]上有最大值－4， ∵f (0)＝f (4)＝－4，∴m ≤4. 综上知：2≤m ≤4.
4．(2014·辽宁省实验中学一诊)若函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2
＋bx 在(0，＋∞)上( )
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先增后减
D ．先减后增
解析：选B.由于函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上均为减函数，故a ＜0，b ＜0，故二次函数f (x )＝ax 2
＋bx 的图像开口向下，且对称轴为x ＝－b
2a ＜0，故函数f (x )＝ax 2
＋bx
在(0，＋∞)上单调递减．
5．函数y ＝－x 2
＋2x ＋3 的单调减区间为( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[1,3]
解析：选D.令y ＝u ，u ＝－x 2
＋2x ＋3≥0，则x ∈[－1,3]，
当x ∈[－1,1]时，u ＝－x 2
＋2x ＋3增加，y ＝u 增加；
当x ∈[1,3]时，u ＝－x 2
＋2x ＋3减小，y ＝u 减小．
6．函数f (x )＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是________．
解析：∵f (x )＝|x |(1－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋x x
，x 2－x x ＜，∴可得函数f (x )在区间(－∞，0)
及⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12上为增函数． 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 7．(2014·西安中学月考)如果函数f (x )＝ax 2
－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．
解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋4，函数在定义域R 上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝3
2a
.因为f (x )在区间(－∞，6)
上单调递减，所以a ＞0，且32a ≥6，解得0＜a ≤14.综上所述，0≤a ≤1
4
.
答案：0≤a ≤1
4
8．已知二次函数f (x )的二次项系数a ＜0，且不等式f (x )＞－x 的解集为(1,2)，若f (x )的最大值为正数，则a 的取值范围是________．
解析：由不等式f (x )＞－x 的解集为(1,2)， 可设f (x )＋x ＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，
∴f (x )＝a (x －1)(x －2)－x ＝ax 2
－(3a ＋1)x ＋2a
＝a (x －3a ＋12a )2－a ＋2
4a
＋2a ，
其最大值为－a ＋2
4a
＋2a ，
若－a ＋24a ＋2a ＞0，可得8a 2＜(3a ＋1)2
，
即a 2
＋6a ＋1＞0，
解得a ＜－3－22或a ＞－3＋2 2.
答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，0)
9．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )的最小值为1； x ＝－5时，f (x )的最大值为37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2
的图像对称轴为x ＝－a ， ∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.
10．某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元．经预测知，当售出这种产品t 百件时，0＜t ≤5，则销售所得的
收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫5t －12t 2万元；若t ＞5，则销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫18t ＋232万元． (1)若该公司的这种产品的年产量为x 百件(x ＞0)，请把该公司生产并销售这种产品所
得的年利润y 表示为当年年产量x 的函数；
(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？
(3)当年产量为多少时，当年公司不会亏本？(取21.562 5为4.64)
解：(1)当0＜x ≤5时，f (x )＝5x －0.5x 2－(0.5＋0.25x )＝－0.5x 2
＋4.75x －0.5.
当x ＞5时，f (x )＝18x ＋23
2
－(0.5＋0.25x )＝－0.125x ＋11.
∴f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－0.5x 2
＋4.75x －0.5，0＜x ≤5，
－0.125x ＋11，x ＞5.
(2)当0＜x ≤5时，f (x )＝－0.5x 2
＋4.75x －0.5＝－0.5(x －4.75)2
＋10.781 25，
∴当x ＝4.75时，f (x )max ＝10.781 25.
当x ＞5时，f (x )＝－0.125x ＋11＜－0.125×5＋11＝10.375＜10.781 25.
∴当年产量为4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大利润为10.781 25万元．
(3)由题意知f (x )≥0，当0＜x ≤5时，－0.5x 2
＋4.75x －0.5≥0，即－21.562 5＋4.75≤x ≤21.562 5＋4.75，
∴0.11≤x ≤9.39，又0＜x ≤5，∴0.11≤x ≤5. 当x ＞5时，－0.125x ＋11≥0，∴5＜x ≤88. 综上可得，∴0.11≤x ≤88.
[高考水平训练]
1．(2014·人大附中期中考试)已知函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋1(a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m ＋2)与1的大小关系为( )
A ．f (m ＋2)＜1
B ．f (m ＋2)＝1
C ．f (m ＋2)＞1
D ．f (m ＋2)≥1
解析：选C.二次函数的对称轴为x ＝－1，∵f (m )＝f (－2－m )＜0，且f (0)＝1＞0，∴－2－m ＜0，∴2＋m ＞0.∵二次函数在区间(0，＋∞)上为增函数，故f (2＋m )＞f (0)＝1，故选C.
2．(2014·衡水高一检测)若函数f (x )满足下列性质： (1)定义域为R ，值域为[1，＋∞)． (2)图像关于x ＝2对称．
(3)对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)． 请写出函数f (x )的一个解析式
________________________________________________________________________ (只要写出一个即可)．
解析：函数最小值为1，图像关于x ＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，∴f (x )＝(x －2)2＋1(f (x )＝a (x －2)2
＋1(a ＞0)均可)．
答案：f (x )＝(x －2)2＋1(f (x )＝a (x －2)2
＋1(a ＞0)均可)
3．已知二次函数f (x )＝x 2
－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，(t ∈R )，试求f (x )的最小值g (t )．
解：∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1，
①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2
＋1； ②当1<t ＋1≤2即0<t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(见图(2))；
③当t ＋1>2，即t >1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g (t )＝f (t )＝t 2
－2t ＋2.
综上可知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
t 2
＋1， t ≤0，1， 0<t ≤1，
t 2－2t ＋2，t >1.
4．已知函数f (x )＝ax 2
－4x －1.
(1)若a ＝2，求当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域；
(2)若a ＝2，当x ∈(0,1)时，f (1－m )－f (2m －1)＜0恒成立，求m 的取值范围； (3)若a 为非负数，且函数f (x )是区间[0,3]上的单调函数，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x 2－4x －1＝2(x －1)2
－3. 所以f (x )在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增， 所以f (x )的最小值是f (1)＝－3. 又因为f (0)＝－1，f (3)＝5， 所以f (x )的值域是[－3,5]．
(2)因为a ＝2，所以由(1)可知：f (x )在[0,1]上单调递减． 因为当x ∈(0,1)时，f (1－m )－f (2m －1)＜0恒成立， 所以f (1－m )＜f (2m －1)，可得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ＞2m －1，0＜1－m ＜1，0＜2m －1＜1，
解得12＜m ＜2
3
.
所以m 的取值范围是12＜m ＜2
3.
(3)因为f (x )＝ax 2
－4x －1，
①当a ＝0时，f (x )＝－4x －1. 所以f (x )在[0,3]上单调递减；
②当a ＞0时，f (x )＝a (x －2a )2－4
a
－1.
因为f (x )为[0,3]上的单调函数，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≤0，a ＞0
或⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≥3，
a ＞0，
解得0＜a ≤2
3
.
由①②可知，a 的取值范围是[0，2
3
]．。