普通高等学校招生2024届全国统一考试压轴卷(T8联盟)-数学试题(二)

2024年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟)数学试题(二)
试卷满分:150分
考试用时：120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位数为A.8
B.12
C.22
D.24
2.函数()(0,1)x
f x a a a a =->≠的零点为A.0
B.1
C.(1,0)
D.a
3.已知向量(1,2),(3,1)=-=-a b ,则a 在b 上的投影向量为
A.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
B.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
C.,55⎛- ⎝⎭
D.1010⎛⎫
- ⎪⎝⎭
4.抛物线2
y x =的焦点到双曲线
22
124
x y -=的渐近线的距离为
A.
12
B.
6
C.
12
D.
6
5.2024年1月1日,第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集,每个小区至少去一名普查员,若甲不去城东,则不同的安排方法共有A.36种
B.60种
C.96种
D.180种
6.已知函数()lg ()x b
f x x a b x a
+=≠+为偶函数,若1b >,则a 不可能为
A.-2024
B.-2
C. D.-1
7.如图,已知函数
()cos()f x x ωϕ=+,点A,B 是直线12
y =与函数()y f x =的图象的两个交点,若||3
AB π
=
,则函数
()f x 的单调递减区间为
A.2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦Z B.,()36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦C.22,()33k k k πππ
π⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z D.42,()3
3k k k π
ππ
π⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z 8.已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形,圆锥的底而半径为a ,圆锥内有一个内接圆柱,则圆柱体积的最大值为A.2
tan a
θ
B.3
tan23a πθ C.3
2tan 9a πθ D.
3
4tan 27
a πθ二、选择题:本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知集合{2},{5}M x x N x y x =<==-+∣∣,则
A.M N
⊃ B.M N M
⋃= C.M N M
⋂= D.
(){25}R
M N x
x ⋂=∣ ð10.已知正方体1111ABCD A B C D -外接球的体积为3,P π是空间中的一点,则下列命题正确的是A.若点P 在正方体表面上运动,且2AP =,则点P 轨迹的长度为2πB.若P 是棱11C D 上的点（不包括点11,C D ),则直线AP 与1CC 是异面直线C.若点P 在线段1BC 上运动,则始终有11D P A D
⊥D.若点P 在线段1BC 上运动,则三棱锥11A B PD -体积为定值
11.平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线C 是到两定点
12(2,0),20)F F 的距离之积为常数2的点的轨迹,设(,)P m n 是曲线C 上的点,给出下列结论,其中正确
的是
A.曲线C 关于原点O 成中心对称
B.1
1n - C.121
PF F S D.12PF F 周长的最小值为4
2
三、填空题:本题共3小题，毎小题5分,央15分.
12.复数
z 满足(2)7z i i +=+,则||z =___________.
13.已知圆2
2
:250C x y ax ay ++--=恒过定点A,B,则直线AB 的方程为___________.14.在ABC 中,角A,B,C 的对边分别为,,,cos ,2b c a b c C BAC a a
=
+∠的平分线AD 交BC 于点D .若1AD =,则ABC 周长的最小值为___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足()*144n n a a n n N ++=+∈,且13a =.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设(2)n a n b =-,数列{}n b 的新n 项和为n S ,渃2024n S <-,求n 的最小值.16.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,PAD 是等边三角形,且//,,BC AD AB AD PB AB ⊥=2,AD BC E ==为PD 的中点.
(1)证明:CE//平面PAB;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.17.(本小题满分15分)
中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米,共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间,铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录,统计分析,得到下表(单位:人):
下车站
上车站
卡拉旺站
帕达拉朗站
德卡鲁尔站
总计
哈利姆站5
201540卡拉旺站10
2030帕达拉朗站
3030总计
5
30
65
100
用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
（1）在运营期间,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量X ,求X 的分布列及其数学期望;
（2）已知A 地处在哈利姆站与卡拉㕵站之间,A 地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡拉旺站乘本的概率为0.6(A 地居民不可能在卡拉旺站下车).在高铁离开卡拉旺站时,求从哈利姆站上车的乘客来自A 地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自A 地的概率的比值.18.(本小题满分17分)
椭圆2222:1(3)x y a b a b Γ+=> 的离心率为22
3
,左、右顶点分别为A,B,过点(3,0)M 的动直线l 与椭圆Γ
相交于P,Q 两点,当直线l 的斜率为1时
,||5
PQ =.(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)设直线AP 与直线x t =的交点为N ,是否存在定实数t ,使Q,B,N 三点共线?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分17分)
广州小蛮腰是广州市的地标性建筑,奇妙的曲线造型让建筑充满了美感,数学上用曲率表示曲线的弯曲程度.设函数()y f x =的导函数为(),()f x f x ''的导函数记为()f x '',则函数()y f x =的图象在()()00,x f x 的
曲率()
()()02
0321f x K f x '''=
⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
.
(1)求椭圆
22
18
4
x y +=在处的曲率；(2)证明函数()tan ,0,
2g x x x π⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭图象的曲率()K x 的极大值点位于区间,64ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2024年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟)
数学试题(二)参考答案及多维细目表
题号1234567891011答案
C
B
A
A
D
D
B
D
CD
BCD
AC
1.【答案】C
【解析】样本数据12,8,32,10,24,22,12,33,按从小到大排序为8,10,12,12,22,24,32,33.
860% 4.8,⨯=∴ 样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数,即22.
2.【答案】B
【解析】由()0x
f x a a =-=,得1x =.3.【答案】A
【解析】a 在b
上的投影向量为||||a b b b b ⋅=
131,222b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
.4.【答案】A
【解析】抛物线2
y x =的焦点坐标10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
,双曲线
22124x y -=
02y ±=,
±0,y =∴
距离312
d ==.
5.【答案】D
【解析】先安排甲有3种方法,再安排其余4人.分两类:一是甲去的小区安排2人,其余3人每人去一个小区,
不同的安排方法共有13
43C A 24=种;二是甲去的小区只安排1人(甲),其余4人分三组(211),再安排到各小区,有23
43C A 36=种.
∴不同的安排方法有3(2436)180+=.6.【答案】D
【解析】函数()lg
x b f x x x a +=+为偶函数,则()lg x b
g x x a
+=+为奇函数,()()g x g x -=-,即()()0,lg lg 0x b x b
g x g x x a x a
+-+-+=+=+-+,即2
2
2
2
2222
lg 0,1b x b x a x a x --=∴=--,得2,i a b a =∴=b -,或a b =(舍去).又1
,1b a >∴<-7.【答案】B 【解析】设1211,
,,22A x B x ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,由||3AB π=,不妨设0ω>,可得213x x π-=,由1cos 2
x =可知,23
x k π
π=-
+或2,3
x k k π
π=
+∈Z ,由图可知,()2123x x k πωϕωϕπ⎛
⎫
+-+=+
- ⎪⎝
⎭
2233k πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()21
2,23x x πωω-=⋯=.55cos 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,结合图象,得56π
+
32,2k k πϕπ=+
∈Z ,即22,3k k π
ϕπ=+∈Z .22()cos 22cos 233f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫
∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
.由2222,3k x k k ππππ+
+∈Z ,得3k ππ- ,6
x k k π
π+∈Z .故()f x 的单调递减区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z .8.【答案】D
【解析】圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形,圆锥的底面半径为a ,则圆锥的高为tan a θ,设圆锥内接圆柱的底面半径为r ,高为h ,则
r a =tan , tan a h
a θθ
-即()tan ,h a r θ=-2V r h π∴==圆柱2()tan r a r πθ-=()
23tan ,(0,),ar r r a πθ-∈()
223tan V ar r πθ'=-圆柱(23)tan ,r a r πθ=-由0V '
=圆柱,得23
a r =
,当203a r <<时,V '>圆柱0；当23a r a <<时，0;V '
<∴
圆柱当23a r =时，3324tan tan 327a a πθθ⎤⎛⎫=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦
.9.【答案】CD
【解析】{{5}N x y x x ==
=∣∣ ,M N ∴⊂,选项A 错误;{5}M N x
x ⋃==∣ N ,选项B 错误;M N M ⋂=,选项C 正确;(){2},{25}R R M x x M N x x =⋂=∣∣ 痧,选项D 正确.
10.【答案】B C D
【解析】正方体1111ABCD A B C D -外接球的体积为.设外接球的半径为R ,则343
R π=,解得
R =
设正方体的棱长为a ,2R ==2a ∴=.对于A ,在平面11ABB A 中,点P 的轨迹为以A 为圆心,2
为半径的
14圆弧;同理,在平面ABCD 和平面11ADD A 中,点P 的轨迹都是以A 为圆心,2为半径的1
4
圆弧.故点P 的轨迹的长度为21
3234
ππ⨯⨯=.故A 错误；对于B,利用异面直线的判定定理可以判断直线AP 与
1CC 是异面直线.故B 正确;
对于C ,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1111,.,A D AD A D AB AD AB A AB
⊥⊥⋂= ⊂平面
111,ABC D AD ⊂平面111,ABC D A D ∴⊥平面111.ABC D D P ⊂ 平面111,ABC D D P ∴⊥1A D .故C 正确;
对于D ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//A B 平面11111111,A B PD B APD A APD ABC D V V V ---∴===
1111111
232322
APD S A D ⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 43=为定值.故D 正确.11.【答案】A C
【僻析】设(,)M x y 为曲线C 上的任一点,则122PF PF ⋅=,2=,
化简,得4
4
2
2
2x y x y ++-2
2
440x y +=,以,x y --替换x,y,方程不变,∴曲线C 关于原点O 成中心对称,选项A 正确;
将方程化为:()
()2
22
2
4
2
244x y x y y +-++=0,由()()2
2
4
2
24440y y y ∆=--+ ,得22
y -
,选项B 错误；
1212121sin 2PF F S PF PF F PF =
∠ 121
12
PF PF =,当且仅当1290F PF ︒∠=时,等号成立,选项C 正
确;12PF F 的周长2212PF PF F F ++ 12F F +=+=,当且仅当
12PF PF =时,取等号.又当12PF PF =时,P 在12F F 的垂直平分线上,即0x =上,由0x =,得
0y =,即P
为坐标原点,此时,12,,P F F 三点共线,不构成三角形,选项D 错误.
12.
【解析】7i (7i)(2i)
3i 2i 5
z ++-=
==-+,||z ∴=.13.【答案】20
x y -=【解析】圆2
2
:250C x y ax ay ++--=的方程化为()22
(2)50a x y x y -++-=,由22
20,
50,x y x y -=⎧⎨
+-=⎩
得2,1,x y =⎧⎨
=⎩或2,
1.
x y =-⎧⎨=-⎩故圆C 恒过定点(2,1),(2,1)A B --.
直线AB 的方程为1(1)
1(2)2(2)
y x ---=---,即20x y -=.
14.【答案】4+【解析】cos ,2cos 22b c C a C b c a a
=
+∴=+ ,2sin cos 2sin sin A C B C ∴=+,
即2sin cos 2sin()sin A C A C C =++,
2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A C A C A C C =++,
2cos sin sin ,sin 0A C C C ∴=-≠ ,
12cos ,(0,),23
A A A π
π∴=-∈∴=
.1,1sin 602ABD ACD ABC S S S c ︒+=∴⨯⨯+ 11
1sin 60sin12022
b b
c ︒︒⨯⨯=,得b c bc +=,
由bc b c =+ ,得4bc
,当且仅当b =2c =时,等号成立.又22222cos 3
a b c bc π=+-⋅=
22,b c bc a ABC ++∴=
∴ 的周长a b c bc ++=
++4bc +
当且仅当2b c ==时,等号成立.
15.解:(1)解法1:由144n n a a n ++=+,得1n a +-()2(1)121,n n a n +-=---12(1)1n a n +∴-+-=
()1(1)21n a n ---=[]21(1)2(1)1n a n -----== ()1(1)2110,
n a --⨯-=故210,21n n a n a n --=∴=+.…………………………7分解法2:由144n n a a n ++=+,得21n n a a +++=4(1)4n ++,
两式相减,得24n n a a +-=,
∴数列{}n a 的奇数项与偶数项都是公差为4的等差数列，
又123,5a a ==,
∴当n 为奇数时,213(1)4n a n -=+-⨯=2(21)1,21n n a n -+∴=+;
当n 为偶数时,25(1)422n a n n =+-⨯=⨯+1,21n a n ∴=+.综上,21n a n =+.……………………………………7分
(2){}21(2)24,n n n n b b +=-=-⨯是以-8为首项,4为公比的等比数列,
()()8148
1414
3
n n n S --∴=
=
--.由2024n S <-,即
()8
1420243
n -<-,4760,5n n >∴ .
故n 的最小值为5.……………………………………13分16.解:(1)取PA 的中点M ,连接BM,EM.
E 为PD 的中点,1
////,2
EM AD BC EM AD BC ∴=
=,∴四边形BCEM 为平行四边形,//CE BM ∴,
CE ⊂/ 平面,PAB BM ⊂平面PAB,
//CE ∴平面.
..6PAB 分
(2)设22PB AB AD BC ====,取AD 的中点N ,连接CN,PN,则四边形ABCN 为矩形,2CN AB ==.
PAD 是等边三角形,,PN AD PN ∴⊥=,
,,,CN AD PN CN N PN CN ⊥⋂=⊂ 平面,PCN AD ∴⊥平面PCN,//,BC AD BC ∴⊥ 平面,PCN BC PC ∴⊥.
在Rt P B C 中,PC PN ===.
BC ⊂ 平面ABCD,
∴平面P C N
⊥平面ABCD.
取CN 的中点O ,则P O C N ⊥,PO ∴⊥平面ABCD.
.10PO ==
分
取CD 的中点F ,以O 为坐标原点,以OC,OF,OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,
则(1,1,0),(1,0,0),(1,1,0),(0B C D P --,2(2(2,1,0)CP CD =-=-
,设平面PCD 的法向量为
(,,)n x y z =,则0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即20,20.x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪
⎩令1z =,得平面PCD 的一个法向量为n =2,22,1).又(1,1,2)PB =-
,
设直线PB 与平面PCD 所成角为θ,则sin θ=||222
|cos ,|11||||211
PB PB PB ⋅〈〉===
⨯
n n n .故直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为22
11
.…………………………………………15分
17.解：(1)从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率202303
P =
=,∴根据频率估计概率,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数
33221~3,,()C ,0,1,2,3.
333k
k
k X B P X k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其概率分布列如下：
X 0123
P 1272949827
2
()3 2. 3
E X =⨯
=……………………………………7分（2）由表中数据可知，在高铁离开卡拉旺站时，在哈利姆站上车的有35人,在卡拉旺站上车的有30人.记事件A :该乘客来自A 地；记事件1B :该乘客在哈利姆站上车;记事件2B :该乘客在卡拉旺站上车.
()()12357306,,65136513
P B P B ∴=
===()()120.4,0.6.
P B A P B A ==∣∣
从哈利姆站上车的乘客中是来自A 地的概率为()1P A B ∣,从卡拉旺站上车的乘客中是来自A 地的概率为
()2P A B ∣,
()()()111()||P B A P A P A B P B =∵()()()222()||P B A P A P A B P B =，
()()()()()()111222()
()
||||P A B P B P B A P A P A B P B P B A P A ∴
=
()0,
P A >∴()()()()()()112221|6
0.4||4137|7
0.613
P A B P B A P B P A B P B A P B ⨯
∴==
=⨯∴在高铁离开卡拉旺站时,所求概率的比值为47
.………………………………15分
18.解：（1）设()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 的斜率为1时,直线方程为30x y --=.联立22
2230,1,x y x y a b --=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
消去y ,得
()2
222222690a
b x a x a a b +-+-=.
212226,a x x a b ∴+=+222
12229.
a a
b x x a b
-=
+
||PQ ∴=
=
22
2,5
a b
=+即(
)22
1027a b
=+.
又离心率22222
8
,39
c c a b e a a a -==∴==,3a b
∴=.()2230279,
b b b ∴=+解得2
29,81b
a =∴=.
∴椭圆Γ的标准方程为22
1819
x y +=.7 分
(2)由题意知(9,0),(9,0)A B -,当直线l 与
x 轴垂直时
,(3,(3,P Q -,
则AP
的方程为(9)6
y x =-
+,令x t =,
得(,6t N t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
,(9,,(6,6t BN t QB ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭
,
,,Q B N 三点共线,(9)2
(9)66
t t +-
-∴=
,解得27.10t = 分当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为(3)y k x =-.
联立椭圆与直线方程22
1,819
(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y ,得()()
2222
19548110k x k x k +-+-=.()22
121222
81154,1919k k x x x x k k
-∴+==++.AP 的方程为11(9)9y y x x =++,令27x =,得113627,9y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,113618,,
9y BN x ⎛⎫= ⎪+⎝
⎭ ()229,,BQ x y =- ()1221361899y y x x -
-+ ()()()()211121183936399
k x x k x x x -+---=+()121211815819k x x x x x --++⎡⎤⎣⎦=
+()22
22
18115418158119199k k k k k x ⎡⎤---⋅+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦=+222
2
181818108172918190.
9k k k k k x --++-⋅
+==+,BN BQ ∴
共线,即Q,B,N 三点共线.
故存在定实数27t =,使Q,B,N 三点共线.…………………………………………………………17分
19.解:(1)当y>0时,由
22184x y +=,得y
=,
则3
2
2
1.418y y x '
''==-
⎛⎫- ⎪
⎝
⎭22(2),(2),22
f f '''∴=-
=
()
()(
)033
22
2
0221112f
x K f x ''
'∴=
=
=
⎡⎤
⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭
即椭圆
22
18
4x y +=
在.…………………………………………8分(2)由sin ()tan cos x
g x x x
==
,得2222cos sin 1
()cos cos x x g x x x
'
+==,
432cos (sin )2sin (),
cos cos x x x
g x x x
''--=
=()33
3
22
2
42sin ()
cos K()11()1cos x g x x x g x x ''
'=
=
⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝
⎭∴33
42
42sin cos ,cos 1cos x x x x =
⋯⋯⋯⋯⋯⎛⎫+ ⎪⎝⎭
12分
()22662334444sin 4sin cos cos ()cos 1cos 1cos K x x x x x x x x ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭
∴()()2634
41cos cos ,cos 1x x x -=+令2
cos ,(0,1]t x t =∈,则()
3
2
3
2
4(1)()1t t K x t
-=
+,
令()
3
3
2
4(1)(),[0,1)1t t h t t t
-=
∈+,()
()
2324
2
42343()1t t t t h t t
'--+=
+.
令32
2
()2343,()66m t t t t m t t t '
=--+=-40,()m t <∴在区间[0,1)上单调递
减,113270,022432m m ⎛⎫⎛⎫=>=-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,故存在013,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()00m t =,且当01,2t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0m t >,即()0h t '>;当03,4t t ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
时,()0m t <,即()0h t '<.
0t ∴为()h t 的极大值点,由013,24t ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭,
知2
13cos ,,cos 2422x x ⎛⎫⎛⎫∈∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,64x ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,即()K x 的极大值点位于区间,64ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.………………………………17分
多维细目表
题型题号分值必备知识
学科素养预估难度数
学
抽
象
逻
辑
推
理
数
学
建
模
直
观
想
象
数
学
运
算
数
据
分
析
易中难
选择题15百分位数√√√
选择题25零点√√√
选择题35平面向量√√√√
选择题45抛物线，双曲线√√√
选择题55排列组合√√√
选择题65函数的性质√√√√
选择题75三函数图像与性质√√√√
选择题85圆锥，导数√√√√选择题95集合的运算√√√
选择题105立体几何√√√√
选择题115曲线与方程√√√√√填空题125复数√√
填空题135直线与圆√√√√
填空题145解三角形√√√√解答题1513数列√√√
解答题1615立体几何√√√√
解答题1715概率统计√√√√
解答题1817椭圆，存在探索√√√√解答题1917导数的应用，曲率，三角恒等变换√√√√。