计算的基本规律和技巧 (1)

计算的基本规律和技巧
计算是个很大的话题，也有很多的基本方法和技巧，每道题基本都离不开计算，这里，我只能抛砖引玉，讲些要点，或者从一些具体例子入手，必有疏漏，希望能对大家有些帮助就好。

一. 计算的基本规律
1. 加法交换律：a+b=b+a；例如4+6=6+4
2. 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)；例如18+73+27=18+(73+27)
3. 减法的性质: a-b-c=a-(b+c)；例如150-78-22=150-(78+22)
4. 乘法交换律：a×b=b×a；例如5×4=4×5
5. 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)=(a×b)×c；例如7×4×25=7×(4×25)
以上的性质都可以认为是带符号搬家的法则，应用的条件是对于同级运算中适用。

6. 乘法分配律：左分配律a×(b+c)=a×b+a×c；例如4×(25+4)=4×25+4×4
右分配律(b+c)×a=b×a+c×a；例如(25+4)×4=25×4+4×4
7. 除法分配律：右分配律(b+c)÷a=b÷a+c÷a；例如(24+16)÷8=24÷8+16÷8，注意此处经常存在反用的题目，例如70÷11+18÷11=(70+18)÷11=8
除法没有左分配律，48÷(8+16)不等于48÷8+48÷16
二. 计算基本方法技巧(从一些具体题目入手，大家看看寻求和要求类似的方法)
1. 凑整之互补数：137+49+144+51+263+56=_________
2. 凑整之尾数相同：5374-2362-1734+362=_________
3. 凑整之补数，补成整数：1999+999+98+97+9= _________
4. 凑整之补数，补成互补数：435+2789+564+210=_________(温鑫提示：435+210=434+211)
5. 位值原理：1234+2341+3412+4123=_________(温鑫提示：个十百千每位和都是10，再考虑进位，答案是11110)
6. 等差数列相关，分组法：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+……-20+21=_________ 1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+97+98-99=
7. 基准数法：54+52+53+48+47+49+51+46= (温鑫提示：以50为基准数，那么题目可以变为4+2+3-2-3-1+1-4，然后再加上400即可)
8. 乘法分配率：50+(2+3)×5的括号脱掉等于什么样的形式?50-(2+3)×5的括号脱掉等于什么样的形式?
9. 提公因数法：
7×22+7×35-7×17=________(显含公因数)
28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62= (不显含公因数)
55×66+66×77+77×88+88×99=_______
72÷4+72÷8+24÷4+24÷8=_______ (易错题，应该怎么提？)
10. 头同尾和十：对于前面的头相同，而尾数相加为十的问题，两个因数十位上的数乘本身加1的和的积写在得数的前两位或前一位上；两个因数个位上数的积写在得数的后两位上，如果两个个位上数的积不满10，就要在前面添0
12×18=216 75×75=5625 111×119=13209
45×45= ？121×129= ？
11. 一些特殊乘积的记忆
2×5=10；4×25=100；8×125=1000；16×625=10000
2×142857=285714，3×142857=428571 4×142857=571428
5×142857=714285 6×142857=857142 7×142857=999999
7×11×13=1001 37×3=11 27×37=999 12345679×9=111111111(九个1)
ababab=ab×10101 abcabc=abc×1001=abc×7×11×13 abcdabcd=abcd×10001(其中连续字母都表示数字位数，并非乘积)
11×11=121 12×12=144 13×13=169 14×14=196 15×15=225
16×16=256 17×17=289 18×18=324 19×19=361
12. 平方差，平方和和立方和公式，公式在论坛上实在不好打出，这里就不写了。

记住平方差就是和乘差，相邻两数平方差就是和，平方和就是最大数乘以最大数加一，再乘以前两个数之和除以6即可。

温鑫提示：祝您走美考试顺利！
数字谜问题技巧浅谈
走美杯临近，有家长问道数字谜问题的解法，我这里罗列一些，以飨读者吧^_^
对于基本的数字谜问题和更一般的竖式问题，针对不同的题目有很多不同的处理技巧，但是总计来，无外乎就是三个字——突破口。

突破口的选择有很多情况，一一罗列基本可能性不大，这里就罗列一些本人认为主要的部分，有什么情况大家可以填补。

由于插图格式不太好操作，有些就没有特别形象，大家忍了吧……B_B（ps：下面如果没有特别说明，相同字母表示相同数字，不同字母表示不同）
先看一下九九乘法表的尾数部分
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
×0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0出现十次)
×1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (0-9各出现一次)
×2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 (0,2,4,6,8各出现，同样数字乘数隔五)
×3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 (0-9各出现一次)
×4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 (0,2,4,6,8各出现，同样数字乘数隔五)
×5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 (0,5各间隔出现五次)
×6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4 (0,2,4,6,8各出现，同样数字乘数隔五)
×7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3 (0-9各出现一次)
×8 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2 (0,2,4,6,8各出现，同样数字乘数隔五)
×9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (0-9各出现一次)
从里面还可以看出×1，×9是倒序，而且×9进位是0-8（不算0的话，算0写在最后应该是0-9）
可以总结一下这个表格，得到我们的第一个突破口
（1）基本尾数分析
尾数分析是很大的一块，这里只给出基本的尾数分析，特殊的情况在后面交代
【1】×1，×3，×5，×7 乘数有一种可能；
例如：…1×□=…4，…1×□=…3 第一个方框里面只能填4，第二个方框里面只能填3。

【2】×2，×4，×6，×8 乘数有两种可能，两种可能间差5，这种情况尤为关键，大家很可能忽略一种
，注意不要遗漏；
例如：…2×□=…4 方框里面乘数有两种可能，2或7，差5
【3】×5，乘数有五种可能
例如：…5×□=…0，…5×□=…5，第一个框为0,2,4,6,8，第二个框为1,3,5,7,9
（2）其他尾数分析
1)…B×…B=…B 对于B×B尾数为B，答案是B=0,1,5,6
2)AB×CB=DDD 37×27=999
3)AB×A=CCC 37×3=111
4)我爱学在高思×思=牛牛牛牛牛牛142857×7=999999
其他的一些大家可以记忆的
12345679×9=111111111（9个1）
7×11×13=1001
（3）黄金三角
□□□-□□=□，则必为10□-9□=□
□□□□-□□□=□，则必为100□-99□=□
写成竖式比较容易看清
□□□
- □□———
□
（4）首位估算
AB×A=□□，由于两位数乘以一位数，得到两位数，A不能过大，只能尝试0,1,2,3，首位不能为0，只能
用1,2,3，再尝试，需要计算的就很少了
（5）位数分析
一个数乘以8得到两位数，乘以9得到三位数
AB×8=□□
AB×9=□□□
AB不能太大，要乘以9得到三位数从12开始尝试，得到只能取12,13×8=104，不合适
同样可以记忆的是13×8=104,13×7=91；14×8=112,14×7=98；15×7=105，15×6=90 （6）特殊一类
□□B□□
-□□B□□
——————
□□B□□
对于…B…-…B…=…B…的情况，B只能取0或9，其中0对应不借位，9对应借位
（7）加数相加时每进一位，和的数字都比加数的数字和少9
例如18+12=30 加数为18和12，数字和为1+8+2+1=12，和的数字和为3，进位一次，和少12-3=9 这个思路在解决数字和最大问题里面十分有用，就是尽量进位才能使数字和最大ps：数字和很有用，3的倍数的数，数字和也是3的倍数，9的倍数的数数字和也是9的倍数这是数论的知识，现在掌握也不算早例如15（1+5=6）,18（1+8=9）
（8）除数必须比余数大，被除数可以大于等于余数。

如果余数为8，除数为一位数，则除数为9
如果余数为98，除数为两位数，则除数为99
如果余数为998，除数为三位数，则除数为999
以此类推
（9）多位数乘除法，可以拆成多个一位数和多位数的乘法，然后想加减，再找规律（10）与各个数位有关的数字谜问题，往往就是在明确突破口的情况下，多次尝试，敢于尝试，才能出来结果。

温鑫提示：祝您走美考试顺利！。