MATLAB人口数量预测

MATLAB人口数量预测
实验报告
一，实验目的：
1.、学会用matlab软件进行数据拟合；
2、了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握用数据拟合法寻找最佳拟合曲线的方法；
3、了解多元函数的机制在数据拟合法中的应用；
4、通过对实际问题进行分析研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法。

二．问题分析及建立模型
1.多项式拟合
对于已知数据点，如果选用拟合基函数为幂函数类1，x，x2，x3….xm，则拟合函数为一个m次多项式函数。

y=f（x）=a m*x m+a m-1*x m-1+…a1*x+a0
根据最小二乘法你和思想，问题归结为求m+1元函数
Q（a0，a1，…a m）=∑（a m*x i m a m-1*x i m-1+…+a1*x+a0）2
的最小值问题，同样的，利用多元可微函数求得极值的必要条件
得到法方程组
∂Q(a0,a1,…a m)/∂a k=0; k=0,1,2,3…m;
此时，矩阵G为一范德蒙矩阵，解此方程可以求的多项式系数a=[a m，a m-1，a0]T
模型
假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=e a+bt，a,b为待定常数，
根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数∑
=-
=
n
i
i
i
x t
f
b
a
E
1
2
)
)
(
(
)
,
(的最小值点。

其中x i是t i时刻美国的人口数。

这是第一种模型。

3．Logistic模型
上述模型可以在短时间内较好地拟合实际人口数量，但也存在问题。

即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。

一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。

这是因为自然资源环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。

而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，假设人口
的静增长率为r(1-x(t)/x )，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t 时，静增长率趋于零。

按照这个假设，得到
⎪⎩⎪⎨⎧=-=∞00
)()1(x t x x x r dt
dx (1) 这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的logistic 模型。

人口的变化规律为：
r t e x x x )1790(3910)1(1--∞∞-+=
(2)
具体实验中应使用这种模型进行拟合。

4.为了更好地比较2000，2005，2010，2015，2020年美国人口数，需将其画入一个图中。

三．程序
（1）x=1790:10:1980;
y=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];
plot(x,y,'k.','markersize',25); axis([1790 1990 3 230]);
p2=polyfit(x,y,2)
p3=polyfit(x,y,3)
t=1790:10:1980;
s=polyval(p2,t);
s1=polyval(p3,t);
hold on
plot(t,s,'r-','linewidth',2)
plot(t,s1,'b-','linewidth',2)
grid
（2）function f=nihehanshu(x,xdata) f=exp(x(1)+x(2)*xdata);
xdata=1790:10:1980;
ydata=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];
x0=[0,0];
[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu3,x0,xdata,ydata)（3）function y=nihehanshu(x,xdata)
y=1./^(-1)+exp(-x(1)-x(2)*xdata))
xdata=1790:10:1980;
ydata=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];
x0=[0,0];
[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)（4）f=inline('1./(450^(-1)+exp')
fplot(f,[1790,2020])
hold on
g=inline('exp( +*x)');
fplot(g,[1790,2020])
hold on
f=inline(' *x+*x^2') fplot(f,[1790,2020]) hold on
grid
四．实验结果
（1）
p2 =
+004 *
p3 =
+003 *
（2）x = resnorm =
+003（3）x =
resnorm = +003（4）
五．结果分析
（1）在第一问多项式拟合方法中，通过对多项式次数的改变，当多项式次数大于3时结果误差较大。

最好的多项式拟合次数应为2和3.
（2）使用malthus模型模拟方法，f= exp( +*x)
（3）使用logistic模型模拟方法，f=1./(450^(-1)+exp（4）经过三个图线的比较可以得出结论：logistic模型模拟的人口数量增长比较准确。

六．实验心得
不仅要学会熟练使用软件工具，而且要善于使用软件工具，但不能迷信软件工具。

它可以大大提高你的工作效率，多数情况下，它都能给出正确的答案。

但它在处理复杂问题时，也有不足之处，因为许多算法并非是无条件的，并非适合于任何情形，有时收敛，有时奇异，有时收敛太慢。

这就要求你对结果进行检验，看是否合乎实际，是否合理。

若不合理，应找原因，针对不同情况，想出解决问题的办法，进行实验、验证，直到结果满意为止。