上8 河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试数学(理)试题
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D 解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）A ．3B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因（2）求cos 2sin 22B --⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以的分布列为()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AACC 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)ABAA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为 20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125tt t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =， 所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：1212524y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年度高三级第一学期八模考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ，其中）A. B.【答案】B【解析】,B.视频2. ）A. 31B. 12C. 13D. 52【答案】C【解析】由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质有：即：.本题选择C选项.3. 某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题：甲：我不会证明乙：丙会证明丙：丁会证明丁：我不会证明根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。
易得出答案：A.4. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）【答案】D【解析】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．故选D．5. ）C. D.【答案】C【解析】∵故选C6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】D【解析】由三视图还原该几何体如图故选：D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. ）A. -14B. -9C. 9D. 14【答案】D的中点，，故选D学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...8. ，时，）。
2018届河北省衡水第一中学高三上学期分科综合考试数学(理)试题 Word版含解析
2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，选A.2. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：，所以实部为，则，因此复数，则，在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限。
考点：复数的运算。
3. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.选C.4. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，，，则（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则=.本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则，．A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】根据二分法，程序运行中参数值依次为：，，，，，，，，此时满足判断条件，输出，注意是先判断，后计算，因此输出的，故选B．8. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（）A. 定义域为B. 偶函数C. 周期函数D. 在定义域内为减函数【答案】C【解析】由于表示不超过的最大整数，如，，则，所以定义域为错误；当时，，，，，是偶函数错误，由于，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取，则，，则，则，选C.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（）A. 3B.C.D. 4【答案】B10. 已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图像过，则，，则或，又距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则，，过，则，，，，取，得，则，其对称轴为，即，当时，该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是，选B.11. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中，，平面，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中，，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径，，，平面，则，则球的半径，外接球的表面积为，选A. 【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设正的外接圆圆心为，连接，则，角是与平面所成的角为，由正的边长为可知，所以在中，球的表面积为，故答案为.14. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．【答案】2【解析】的展开式中，，令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为；令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为2；综上可知：取最小值为2；15. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为__________．【答案】3【解析】，，，，，，，则，又，则，；当且仅当时取等号，则的最小值为3.16. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则__________．【答案】【解析】设，则,将代入可得:,即,由题意直线与抛物线相切,则其判别式,即，所以切线的方程为,即.同理可得: .所以，即.又两切线都经过点可得,则是方程的两根,故,所以,因又因为,同理可得,即共线,而,则,即,故在中,高,应填答案。
2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)
6•设x,y满足约束条件3x y 620,0, 若目标函数z ax by (a,b 0)的最大值是12,则x,y 0,a2 b2的最小值是(6A.—13 36D.36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()A . 16B . 4 &已知函数f x C. 8 D. 22sin( x ) ( 0,的一部分(如图所示)，则与的值分别为(11 5_ 10’ 67 _10, 6)图像)4 _5' 3 2B . 1,一双曲线C的左右焦点分别为F1,F2 ,且F2恰为抛物线的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )A .10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式X1f(xj X2f(X2) X1f(X2)X2f(xJ 恒成立，则不等式f(1 x) 0 的解集为(9.y2 4x1 2C. 1 3D. 2A,若ARF2是以河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题12小题，每小题5分，共60分)3 ，则图中阴影部分表示的集合是4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x 3 :②标准差|S 2 :③平均数x 3且标准差S 2 ；④平均数x 3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于A .①②B .③④C.③④⑤D .④⑤5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E A1BC 1 的()A .垂心B.内心2 x 1 B . X2x21 x2 D . X X 2”是2•设a R,i是虚数单位，则为纯虚数”的(A.充分不必要条件C.充要条件3. 若｛a n｝是等差数列，首项和S n 0成立的最大正整数A. 2011B. 2012B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件0,31 0, 32011 32012n是( )C. 4022a2011a20120，则使前n项D. 4023一、选择题(本大题共1.设全集为实数集R, xx2 4 , N1。
河北省衡水第一中学2018届高三数学上学期分科综合考试试题理
2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合3{0}1x M xx -=≤+，{3,1,1,3,5}N =--，则M N =（ ）A ．{1,3}B ．{1,1,3}-C ．{3,1}-D ．{3,1,1}-- 2．已知复数4()1biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若2cos()2πα-=cos(2)πα-=（ ） A ．29-B ．29C ．59-D ．594．已知实数,x y 满足约束条件332434120y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．55．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边,AB AD 分别交于点,E F ，且交其对角线AC 于点M ，若2AB AE =，3AD AF =，(,)AM AB AC R λμλμ=-∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ． 1C ． 32D ．3- 6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若2(,)XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．A ．906B ．1359C ． 2718D ．34137．二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入121,2,0.01x x d ===，则输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ． 8D ．98．已知函数()lg([])f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于函数()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞ B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则()E ξ=（ ） A ． 3 B ．72 C ． 185D ．4 10．已知函数sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为2(0,)2和(1,0)，则该函数图像距离y 轴最近的一条对称轴方程是（ ）A ．3x =-B ．1x =-C ．1x =D ．3x = 11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．11πB ．12πC ． 13πD ．14π 12．已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e<C ． 002ln 0x x +=D ．002ln 0xe x += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分， 共20分．133的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为60︒，则球O 的表面积为 ． 14．若36(2)(n x x x x-+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为3S =，则c 的最小值为 ． 16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，若3,4PA PB ==，则PF = ．三、解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22/23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知等比数列{}n a满足21523572,2a a a a--=⋅⋅=，数列{}n b满足111,n n nb b b a+=+=()n N*∈，2nnnbca=，nS为数列{}n c的前n项和．（1）求数列{}n b的前11项和；（2）求32nn nS b-⋅．18．如图所示，在四棱锥A BCDE-中，平面BCDE⊥平面ABC，BE EC⊥，6,43BC AB==，30ABC∠=︒．（1）求证：AC BE⊥；（2）若二面角为B AC E--为45︒，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．19．某市为了制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：百千瓦时），将数据按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中m的值；（2）设该市有100万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的人数及每户居民月均用电量的中位数；（3）政府计划对月均用电量在4百千瓦时以下的用户进行奖励，月均用电量在[0,1)内的用户奖励20元/月，月均用电量在[1,2)内的用户奖励10元/月，月均用电量在[2,4)内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算．20．已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴与短轴的一个端点，,E F 是椭圆的左、右焦点，以E 点为圆心、3为半径的圆与以F 点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆C 上，且5AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：2AN BM OA ⋅=．21．已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a R =+--∈． （1）求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；（2）若112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是函数()f x 图像上不同的三点，且1202x x x +=，试判断'0()f x 与1212y y x x --之间的大小关系，并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22/23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ==,曲线2:(cos 4)cos C ρρθθ=⋅+⋅．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为12232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同的四点，这四点在C 上排列顺次为,,,H I J K ,求||||||HI JK -的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知,a b 为任意实数．（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数()4224|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值．试卷答案一、选择题1-5: ACCBA 6-10: BBCBB 11、12：AC 二、填空题13．16π 14．2 15．3 16．125三、解答题17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由153572a a a -⋅⋅=，得552a -=， 因为222a -=，所以332q -=，即12q =． 故212n n n n b b a a q -++==⋅22112()()22n n --=⋅=．所以1231011b b b b b +++++1231011()()b b b b b =+++++24101111()()()222=++++ 5511414133414-==-⨯-140951365310241024=⨯=． （2）由（1）可知122n nn n nb c b a -==⋅． 则3222n n n n n n n S b S S b -⋅=+-21123222n nb b b b -=++++23112312222n n b b b b --+++++2112232()2()+b b b b b =++++313412)+2()n n n b b b b --+++（．因为11a =，12()1nn n b b ++=，所以()32111n n n S b n n -=+-⨯=．18．（1）证明：在ACB 中，应用余弦定理得2223cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得23AC =222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥．因为平面BCDE ⊥平面ABC ,平面BCDE ⋂平面ABC BC =,BC AC ⊥, 所以AC ⊥平面BCDE ．又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥．（2）解：因为AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，所以AC CE ⊥． 又BC AC ⊥,平面ACE ⋂平面ABC AC =,所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=． 因为,,BE EC AC BE EC AC C ⊥⊥⋂=,所以BE ⊥平面ACE ． 所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角． 因为在Rt BCE 中，sin 4532BE BC == 所以在Rt BAE 中，6sin BE BAE AB ∠==． 19．解（1）由题得11(0.040.080.210.25-⨯+++0.060.040.02)2m +++=，所以0.15m =．（2）200户居民月均用电量不低于6百千瓦时的频率为0.060.040.020.12++=，100万户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的户数有10000000.12120000⨯=； 设中位数是x 百千瓦时，因为前5组的频率之和0.040.080.150.210.250.730.5++++=>，而前4组的频率之和0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以45x <<． 由0.50.4840.25x --=，解得 4.08x =．（3）该市月均用电量在[0,1),[1.2),[2,4)内的用户数分别为200008.2000016.2000072⨯⨯⨯，所以每月预算为()20000820161072220000464⨯⨯+⨯+⨯=⨯元，故估计政府执行此计划的年度预算为200004641211136⨯⨯=万元 1.1136=亿元．20．解：（1）由题意得2223145aa b=+=⎧⎨+=⎪⎩，解得2,1a b==，所以椭圆C的方程为2214xy+=．（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令()()2,0,0,1A B．设00(,)P x y，则220044x y+=．令0x=，得022Myyx=--，从而02|||1||1|2MyBM yx=-=+-；直线PB的方程为11yy xx-=+，令0y=，得01Nxxy=-，从而0|||2||2|1NxAN xy=-=+-．所以00002|||||2||1|12x yAN BMy x⋅=+⋅+--22000000000044484||22x y x y x yx y x y++--+=--+000000004488||422x y x yx y x y--+==--+．当x=时，1,||2,||2y BM AN=-==,所以||||4AN BM⋅=,综上可知2||||||AN BM OA⋅=．21．解：（1）()()1212f x ax ax'=+--=()22121ax a xx+--()()211ax xx+-=．当[]0,1,2a x=∈时，()10xf xx-'=>，()()max22ln2f x f==-；当[]0,1,2a x >∈时，()()()2110ax x f x x+-'=>，()()max 22ln 2f x f ==-； 当0a <时，由()0f x '=，得121,12x x a=-=，又[]1,2x ∈，则有如下分类： ①当122a -≥，即104a -≤<时，()f x 在[]1,2上是增函数，所以()()max 222ln 2f x f ===-．②当1122a <-<，即1124a -<<-时，()2f 在1[1,]2a -上是增函数，在1(,2]2a-上是减函数，所以()()max 11()1ln 224f x f a a a=-=-+-． ③当112a -≤，即12a ≤-时，()f x 在[]1,2上是减函数，所以()()max 11f x f a ==-．综上，函数()f x 在[]1,2上的最大值为()()max12ln 2,41111ln 2,42411,2a f x a a aa a ⎧-≥-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≤-⎪⎩．（2）由题意得1112121y y x x x x -=--2212[()(12)a x x a -+-1221()ln ln ]x x x x -+- 12()(12)a x x a =++-+2112ln ln x x x x --，()()0001212f x ax a x '=+--=12122()(12)a x x a x x ++--+， ()122101212ln ln y y x x f x x x x x --'-=--121221x x x x +=+-，1221122()[(ln ln )]x x x x x x --++221212112(1)1(ln )1x x x x x x x x -=--+．令21x t x =，()()21ln 1t g t t t -=-+， ()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()0,+∞内是增函数，又()10g =， 当12x x <时，1t >，1210x x <-，()()10g t g >=，故12012()y y f x x x -'<-；当12x x >时，01t <<，1210x x >-，()()10g t g <=，故12012()y y f x x x -'<-．综上知：12012()y y f x x x -'<-．22．解：（1）因为cos x ρθ=，cos y ρθ=，22x y ρ=+，由2cos ρθ=，得22cos ρθ=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． 由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin 4cos ρθρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为,,,H I J K ,它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1C J ,则1C IJ 为正三角形，所以||1IJ =,故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+1414|||||1||()1|t t t t =-+=-++．把12232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，得23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 11||||||3HI JK -=． 23．（1）证明：42242264()a a b b ab a b ++-+2222222()4()4a b ab a b a b =+-++2224(2)()a b ab a b =+-=-．因为()40a b -≥，所以42242264()a a b b ab a b ++≥+． （2）解：()4224|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-=4224|2(16)|x a a b b -+--+33|22(221)|x a b ab -+-≥33|[22(221)]x a b ab -+--4224[2(16)]|x a a b b -+--4|()1|1a b =-+≥，即()min 1f x =．。
河北省衡水市衡水一中2018届高三文数八模考试试卷及解析
第1页，总17页河北省衡水市衡水一中2018届高三文数八模考试试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若 z =1+2i ，则 4i zz ¯−1= （ ）A.1B.-1C.iD.-i2.在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，实轴长为8，离心率为 54 ，则它的渐近线的方程为（ ） A.y =±43xB.y =±√32xC.y =±916xD.y =±34x3.设 a =log 123 ， b =(13)0.2 ， c =213 ，则（ ）A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <a <c4.ΔABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为1， 2AO ⇀=AB ⇀+AC ⇀，且 |OA ⇀|=|AB ⇀| ，则向量 CA ⇀在向量 CB ⇀方向上的投影为（ ） A.12 B.−32答案第2页，总17页C.−12D.325.等比数列 {a n } 中， a 1=2,a 8=4 ，函数 f(x)=x(x −a 1)(x −a 2)⋯(x −a 8) ，则 f ′(0)= （ ） A.26 B.29 C.212 D.2156.已知函数 f(x)=2sin(ωx +φ) (0<φ<π2) 与 y 轴的交点为 (0,1) ，且图象上两对称轴之间的最小距离为 π2 ，则使 f(x +t)−f(−x +t)=0 成立的 |t| 的最小值为（ ） A.π6 B.π3 C.π2 D.2π37.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的 a =891 ，则输出的 n 为（ ）第3页，总17页…外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…A.2B.3C.4D.58.如图所示，长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，AB =AD =1,AA 1= √2 面对角线 B 1D 1 上存在一点 P 使得 A 1P +PB 最短，则 A 1P +PB 的最小值为（ ）A.√5B.√2+√62C.2+√2D.29.已知三棱锥 S −ABC 外接球的表面积为32 π ， ∠ABC =90° ，三棱锥 S −ABC 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）答案第4页，总17页○…………外…………○…………装…………○…………线…………○※※请※※不※※※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………线…………○A.4B.4√2C.8D.4√710.在 △ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 的面积为 S ，且 4S =(a +b)2−c 2 ，则 sin(π4+C) 等于（ ）A.1B.−√22C.√22D.√3211.如图，函数 f(x) 的图象为折线 ABC ，则不等式 f(x)≥xe x 的解集是（ ）A.[−3,0]B.[−3,1]第5页，总17页…………外…………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班级…………内…………○…………装…………○ C.[−3,2] D.[−∞,1]第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）12.已知实数 x,y 满足 {y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则目标函数 z =2x −y 的最大值为 ．13.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取 20% 的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是 ．14.已知抛物线 y =14x 2 与圆 C:(x −1)2+(y −2)2=r 2 (r >0) 有公共点 P ，若抛物线在 P 点处的切线与圆 C 也相切，则 r = ． 15.已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =n 2cosnπ2 ，前 n 项和为 S n ，则 S 20212020= ．三、解答题（题型注释）16.已知函数 f(x)=asin(π4x) （ a >0 ）在同一半周期内的图象过点 O ， P ， Q ，其中 O 为坐标原点， P 为函数 f(x) 图象的最高点， Q 为函数 f(x) 的图象与 x 轴的正半轴的交点， △OPQ 为等腰直角三角形.（1）求 a 的值；（2）将 △OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 α(0<α<π4) ，得到 △OP ′Q ′ ，若点P ′ 恰好落在曲线 y =3x（ x >0 ）上（如图所示），试判断点 Q ′是否也落在曲线 y =3x（ x >0 ）上，并说明理由.答案第6页，总17页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○17.如图，底面为等腰梯形的四棱锥E−ABCD中，EA⊥平面ABCD，F为EA的中点，AB//CD，AB=2CD，∠ABC=π3.（1）证明：DF//平面EBC；（2）若AE=AB=2，求三棱锥E−BCF的体积.18.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮(Ⅰ)求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；(Ⅰ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种第7页，总17页投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题： ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值. 19.已知圆 O:x 2+y 2=r 2(r >0) 与直线 3x −4y +15=0 相切. （1）若直线 l 2y =−2x +5 与圆 O 交于 M,N 两点，求 |MN| ；（2）设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A ，过点 A 作两条斜率分别为 k 1,k 2 的直线交圆 O 于 B,C 两点，且 k 1,k 2=−3 ，试证明直线 BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.20.已知函数 f(x)=ke x −x 2 （其中 k ∈R,e 是自然对数的底数） （1）若 k =2 ，当 x ∈(0,+∞) 时，试比较 f(x) 与2的大小；（2）若函数 f(x) 有两个极值点 x 1,x 2(x 1<x 2) ，求 k 的取值范围，并证明： 0<f(x 1)<1.21.在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π3)=3 ，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4acosθ(a >0) .（1）设 t 为参数，若 y =−2√3+12t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P,Q ，设 M(0,−2√3) ，且 |PQ|2=|MP||MQ| ，求实数 a 的值.22.已知 f(x)=|x −a 2|+|x +2a +3| ． （1）证明： f(x)≥2 ；（2）若 f(−32)<3 ，求实数 a 的取值范围．答案第8页，总17页参数答案1.C【解析】1. 4i zz ¯−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=i ，所以答案是：C ．2.D【解析】2.渐近线的方程为 y =±ba x ，而 54=ca ,2a =8⇒a =4,b =3 ，因此渐近线的方程为 y =±34x ，选D.根据实轴长得出a=4，由离心率得到c=5，从而解得b=3，不难得出渐近线的方程. 3.A【解析】3.∵ 213>1>(13)0.2>0>log 123 ，∴ a <b <c ，故答案为：A 由指数，对数的运算，即可得出相互的大小关系. 4.D【解析】4.由题意可得： (AB ⇀−AO ⇀)+(AC ⇀−AO ⇀)=0⇀，即： OB ⇀+OC ⇀=0⇀,OB ⇀=−OC ⇀, 即外接圆的圆心 O 为边 BC 的中点，则 △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形 结合 |OA ⇀|=|AB ⇀|=1 有： ∠ACB =π6,|CA|=√3 ，则向量 CA ⇀在向量 CB ⇀方向上的投影为 |CA ⇀|cos π6=√3×√32=32.故答案为：D.由题意可得OB →+OC →=0→，即外接圆的圆心O 为BC 的中点，△ABC 是以 B C 为斜边的直角三角形，从而得到∠ACB，不难得出答案. 5.C【解析】5.因为函数 f(x)=x(x −a 1)(x −a 2)⋯(x −a 8) ，f ′(x)=x(x −a 1)(x −a 2)⋯(x −a 8)+x[(x −a 1)(x −a 2)⋯(x −a 8)]′ ，则 f′(0)=a 1⋅a 2⋅⋯a 8=(a 1⋅a 8)4 =212 ． 故答案为：C ．对f （x ）进行求导，得到导函数，f ＇（0）=a 1a 2a 3···a 8 ， 再由等比中项即可得出答案. 6.A第9页，总17页【解析】6.由题意：函数f （x ）与y 轴的交点为（0，1），可得：1=2sinφ，sinφ= 12 ， ∵0＜φ＜ π2 ，∴φ= π6 ，两对称轴之间的最小距离为 π2 可得周期T=π，解得：ω=2． 所以：f （x ）=2sin （2x+ π6 ），由f （x+t ）﹣f （﹣x+t ）=0，可得：函数图象关于x=t 对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值， ∵f（x ）=2sin （2x+ π6 ）的对称轴方程为：2x+ π6 = π2+kπ （k∈Z）， 可得：x= π6 时最小，故答案为:A .由题意函数与y 轴的交点为（0,1），可得sinφ的值，解出φ，根据两对称轴的最小距离得出周期，解得ω，从而得到f （x ）的解析式，由f （x+t ）-f （-x+t ）=0，可得函数关于x=t 对称，可得最小值. 7.C【解析】7.由题意知：输入的 a =891 ，则程序运行如下： 当 n =1 时， m =981 ， t =189 ， a =792 ， 当 n =2 时， m =972 ， t =279 ， a =693 ， 当 n =3 时， m =963 ， t =369 ， a =594 ， 当 n =4 时， m =954 ， t =459 ， a =495 ， 此时程序结束，输出 n =4 ，故答案为：C ． 读程序框图，模拟运行可得输出结果. 8.A【解析】8.把对角面 BD 1 及面 A 1B 1D 1 展开，使矩形 BDD 1B 1 ，直角三角形 D 1A 1B 1 在一个平面上，则 A 1P +PB 的最小值为 A 1 B ，在三角形 A 1B 1B 中， ∠A 1B 1B =∠A 1B 1D 1+∠D 1B 1B =π4+π2=3π4,A 1B 1=1,B 1B =√2 由余弦定理得 A 1B =√12+(√2)2−2×1×√2cos 3π4= √5故答案为：A将对角面BD 1及面A 1B 1D 1展开，使矩形BDD 1B 1 ， 直角三角形D 1A 1B 1在一个平面上，在三角形A 1B 1B 中使用余弦定理可求得A 1B 的大小.答案第10页，总17页………外…………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※………内…………○…………装…………○……9.A【解析】9.由外接球的表面积，可知三棱锥外接球半径 r =2√2 ；据三视图可得 SC ⊥平面ABC ，取 SA 的中点 O ，可证 O 为外接球的球心，且 SA 为外接球的直径且 SA =4√2 ，所以 SC =4 ．侧视图的高为 SC =4 ，侧视图的底等于底面 △ABC 的斜边 AC上的高，设为 a ，则求侧视图的面积的最大值转化为求 a 的最大值，当 AC 中点 O ，与 BD 与 AC 的垂足重合时， a =2 有最大值，即三棱锥的侧视图的面积的最大值为12×4×2=4 ．故答案为：A ．根据外接球的表面积得出外接球半径，由三视图不难得出SC⊥面ABC ，取SA 的中点O ，可证O 为外接球的球心，则SA 为外接球直径，根据勾股定理得出SC ，设底面ABC 的斜边AC 的高为a ，则求出a 的最大值即可得到侧视图面积的最大值. 10.C【解析】10.∵ S =12absinC,cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴ 2S =absinC,a 2+b 2−c 2=2abcosC ，代入已知等式得： 4S =(a +b)2−c 2=a 2+b 2−c 2+2ab ， 即 2absinC =2abcosC +2ab ，∵ab ≠0，∴ sinC =cosC +1 ， ∵ sin 2C +cos 2C =1 ，∴ (cosC +1)2+cos 2C =1, 解得：cos C =−1(不合题意,舍去)，cos C =0， ∴sin C =1， 则 sin(π4+C)=√22(sinC +cosC)=√22.所以答案是：C.【考点精析】关于本题考查的余弦定理的定义，需要了解余弦定理:;;才能得出正确答案．11.B○…………装…………○…………订………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_______○…………装…………○…………订………○…………线…………○…【解析】11.构造函数 g(x)=xe x ， g ′(x)=(x +1)e x , 故 g(x),(−∞,−1)↓,(−1,+∞)↑g(x) 的图像可以画在以上坐标系中，由图像知只要保证 f(x) 在 g(x) 上方即可； f(x)=g(x) 在 (0,+∞) 上有交点 (1,0) ，故得到答案为： [−3,1] 。
2018届河北省衡水中学高三考前适应性考试数学(理)试卷及解析
2018届河北省衡水中学高三考前适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，且，若集合，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出实数a的取值范围．【详解】集合A={x||x|≤3}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|y=lg（a﹣x），且x∈N}={x|x＜a，x∈N}，若集合A∩B={0，1，2}，则实数a的取值范围是2＜a≤3．故选：C．2. 已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（）A.在复平面内对应的点落在第四象限B.C. 的虚部为1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出．【详解】复数=+3i﹣1=﹣i﹣1+3i﹣1=2i﹣2，则z在复平面内对应的点（﹣2，2）落在第二象限，=﹣2﹣2i，===﹣1+i其虚部为1，=．因此只有C正确．故选：C．3. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．4. 据统计一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出该公司职员在一次性饮酒4.8两和7.2两时未诱发脑血管病，将事件“某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病”表示为：该公司职员在一次性饮酒 4.8两未诱发脑血管病的前提下，一次性饮酒7.2两也不诱发脑血管病，然后利用条件概率公式计算出该事件。
衡水第一中学2018届高三数学上学期分科综合考试试题 理
2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合3{0}1x M x x -=≤+,{3,1,1,3,5}N =--，则MN =（）A ．{1,3}B ．{1,1,3}-C ．{3,1}-D ．{3,1,1}-- 2．已知复数4()1bi z b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ）A ．29- B ．29C ．59- D ．594．已知实数,x y 满足约束条件332434120y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩,则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．5 5．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边,AB AD 分别交于点,EF ，且交其对角线AC 于点M ，若2AB AE =，3AD AF =，(,)AM AB AC R λμλμ=-∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ． 1C ． 32D ．3-6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若2(,)XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．A ．906B ．1359C ． 2718D ．3413 7．二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图,若输入121,2,0.01xx d ===,则输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ． 8D ．98．已知函数()lg([])f x x x =-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于函数()f x 的性质表述正确的是( ） A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞ B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ，则()E ξ=( ) A ． 3 B ．72C ．185D ．410．已知函数sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为2(0,)2和(1,0)，则该函数图像距离y 轴最近的一条对称轴方程是( ）A ．3x =-B ．1x =-C ．1x =D ．3x = 11．某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( ）A ．11πB ．12πC ． 13πD ．14π 12．已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根,则关于实数0x 的判断正确的是( ） A ．0ln 2x≥B ．01xe<C ． 002ln 0x x +=D ．002ln 0x ex +=二、填空题:本题共4小题，每小题5分， 共20分． 13．已知边长为ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为60︒，则球O 的表面积为 ． 14．若36(2)(n x x-+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+,若ABC ∆的面积为S =，则c 的最小值为 ．16．已知抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ，准线为l ,过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ，若3,4PA PB ==,则PF =．三、解答题 :共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22/23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分． 17．已知等比数列{}na 满足21523572,2aa a a --=⋅⋅=,数列{}nb 满足111,n n n b b b a +=+=()n N *∈，2nn nb c a =，nS 为数列{}nc 的前n 项和．（1)求数列{}nb 的前11项和；（2）求32n nn Sb -⋅．18．如图所示，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ,BE EC ⊥，6,43BC AB ==，30ABC ∠=︒．(1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角为B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成的角的正弦值．19．某市为了制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查,通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：百千瓦时），将数据按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中m 的值；（2)设该市有100万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的人数及每户居民月均用电量的中位数;（3）政府计划对月均用电量在4百千瓦时以下的用户进行奖励，月均用电量在[0,1)内的用户奖励20元/月，月均用电量在[1,2)内的用户奖励10元/月，月均用电量在[2,4)内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算．20．已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴与短轴的一个端点，,E F 是椭圆的左、右焦点，以E 点为圆心、3为半径的圆与以F 点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆C上，且AB =（1）求椭圆C 的方程;(2）设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:2AN BM OA⋅=．21．已知函数2()(12)ln ()f x axa x x a R =+--∈．(1）求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；（2）若1122(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是函数()f x 图像上不同的三点，且122x x x+=，试判断'()f x 与1212yy x x --之间的大小关系，并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22/23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．在极坐标系中,曲线1:2cos C ρθ==，曲线2:(cos 4)cos C ρρθθ=⋅+⋅．以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． (1)求12,C C 的直角坐标方程；(2）C 与12,C C 交于不同的四点，这四点在C 上排列顺次为,,,H I J K ，求||||||HI JK -的值． 23．选修4-5:不等式选讲 已知,a b 为任意实数． (1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；(2）求函数()4224|2(16)|f x x aa b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值．试卷答案一、选择题1-5: ACCBA 6-10: BBCBB 11、12:AC 二、填空题13．16π 14．2 15．316．125三、解答题17．解:（1）设等比数列{}na 的公比为q ，由153572a a a-⋅⋅=，得552a -=，因为222a -=,所以332q -=,即12q =． 故212n n n n bb a a q -++==⋅22112()()22n n --=⋅=． 所以1231011b b b b b +++++1231011()()b b b b b =+++++24101111()()()222=++++ 5511414133414-==-⨯-140951365310241024=⨯=． （2)由（1）可知122n nnn nb c b a -==⋅． 则3222n n n n n n n S b S S b -⋅=+-21123222n nb b b b -=++++23112312222n n b b b b --+++++2112232()2()+b b b b b =++++313412)+2()n n n b b b b --+++（．因为11a=，12()1n n n b b ++=，所以()32111nnn Sb n n -=+-⨯=． 18．(1）证明：在ACB 中,应用余弦定理得222cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得AC =222ACBC AB +=,所以AC BC ⊥．因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ．又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥．(2）解：因为AC ⊥平面BCDE ,CE ⊂平面BCDE ，所以AC CE ⊥． 又BC AC ⊥，平面ACE ⋂平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=．因为,,BE EC AC BE EC AC C ⊥⊥⋂=，所以BE ⊥平面ACE ． 所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角． 因为在Rt BCE 中,sin 4532BE BC ==所以在RtBAE 中，sin 4BE BAE AB ∠==．19．解（1）由题得11(0.040.080.210.25-⨯+++0.060.040.02)2m +++=，所以0.15m =．（2)200户居民月均用电量不低于6百千瓦时的频率为0.060.040.020.12++=，100万户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的户数有10000000.12120000⨯=；设中位数是x 百千瓦时，因为前5组的频率之和0.040.080.150.210.250.730.5++++=>,而前4组的频率之和0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以45x <<．由0.50.4840.25x --=，解得 4.08x =．（3)该市月均用电量在[0,1),[1.2),[2,4)内的用户数分别为200008.2000016.2000072⨯⨯⨯,所以每月预算为()20000820161072220000464⨯⨯+⨯+⨯=⨯元，故估计政府执行此计划的年度预算为200004641211136⨯⨯=万元 1.1136=亿元．20．解:（1）由题意得2223145a ab =+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)由（1）及题意可画图，如图,不妨令()()2,0,0,1A B ．设00(,)P x y ，则220044x y +=．令0x =，得0022My y x =--，从而002|||1||1|2M y BM y x =-=+-；直线PB 的方程为011yy x x -=+， 令0y =，得001Nx xy =-，从而00|||2||2|1N x AN x y =-=+-． 所以00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+--22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++--+=--+000000004488||422x y x y x y x y --+==--+．当00x=时，01,||2,||2y BM AN =-==，所以||||4AN BM ⋅=,综上可知2||||||AN BM OA ⋅=． 21．解：（1）()()1212f x ax a x '=+--=()22121ax a x x +-- ()()211ax x x +-=．当[]0,1,2a x =∈时，()10x f x x -'=>，()()max 22ln 2f x f ==-; 当[]0,1,2a x >∈时，()()()2110ax x f x x +-'=>，()()max 22ln 2f x f ==-;当0a <时,由()0f x '=，得121,12xx a =-=，又[]1,2x ∈，则有如下分类： ①当122a -≥，即104a -≤<时,()f x 在[]1,2上是增函数,所以()()max 222ln 2f x f ===-． ②当1122a <-<，即1124a -<<-时,()2f 在1[1,]2a -上是增函数,在1(,2]2a-上是减函数， 所以()()max 11()1ln 224f x f a a a=-=-+-． ③当112a -≤，即12a ≤-时，()f x 在[]1,2上是减函数，所以()()max 11f x f a ==-．综上，函数()f x 在[]1,2上的最大值为()()max 12ln 2,41111ln 2,42411,2a f x a a aa a ⎧-≥-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≤-⎪⎩． （2）由题意得1112121y yx x x x -=--2212[()(12)a x x a -+-1221()ln ln ]x x x x -+-12()(12)a x x a =++-+2112ln ln x x x x --，()()0001212f x ax a x '=+--=12122()(12)a x x a x x ++--+， ()122101212ln ln y y x x f x x x x x --'-=--121221x x x x +=+-, 1221122()[(ln ln )]x x x x x x --++221212112(1)1(ln )1x x x x x x x x -=--+． 令21x t x =，()()21ln 1t g t t t -=-+， ()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++， 所以()g t 在()0,+∞内是增函数，又()10g =，当12x x <时，1t >，1210x x <-,()()10g t g >=，故12012()y y f x x x -'<-； 当12x x >时,01t <<，1210x x >-,()()10g t g <=,故12012()y y f x x x -'<-． 综上知：12012()y y f x x x -'<-． 22．解:（1）因为cos x ρθ=,cos y ρθ=,ρ=由2cos ρθ=，得22cos ρθ=,所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅,得22sin 4cos ρθρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为,,,H I J K ,它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1C J ,则1C IJ 为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+1414|||||1||()1|t t t t =-+=-++．把1223x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=,得23824t t =-,即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以11||||||3HI JK -=．23．（1）证明：42242264()a a b b ab a b ++-+2222222()4()4a b ab a b a b =+-++2224(2)()a b ab a b =+-=-．因为()40a b -≥,所以42242264()a a b b ab a b ++≥+．（2)解：()4224|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-=4224|2(16)|x a a b b -+--+33|22(221)|x a b ab -+-≥33|[22(221)]x a b ab -+--4224[2(16)]|x a a b b -+--4|()1|1a b =-+≥，即()min 1f x =．。
河北省衡水第一中学2018届高三上学期分科综合考试数学(理)试题
2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，选A.2. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：，所以实部为，则，因此复数，则，在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限。
考点：复数的运算。
3. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.选C.4. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，，，则（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则=.本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则，．A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】根据二分法，程序运行中参数值依次为：，，，，，，，，此时满足判断条件，输出，注意是先判断，后计算，因此输出的，故选B．8. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（）A. 定义域为B. 偶函数C. 周期函数D. 在定义域内为减函数【答案】C【解析】由于表示不超过的最大整数，如，，则，所以定义域为错误；当时，，，，，是偶函数错误，由于，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取，则，，则，则，选C.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（）A. 3B.C.D. 4【答案】B10. 已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图像过，则，，则或，又距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则，，过，则，，，，取，得，则，其对称轴为，即，当时，该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是，选B.11. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中，，平面，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中，，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径，，，平面，则，则球的半径，外接球的表面积为，选A. 【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设正的外接圆圆心为，连接，则，角是与平面所成的角为，由正的边长为可知，所以在中，球的表面积为，故答案为.14. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．【答案】2【解析】的展开式中，，令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为；令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为2；综上可知：取最小值为2；15. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为__________．【答案】3【解析】，，，，，，，则，又，则，；当且仅当时取等号，则的最小值为3.16. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则__________．【答案】【解析】设，则,将代入可得:,即,由题意直线与抛物线相切,则其判别式,即，所以切线的方程为,即.同理可得: .所以，即.又两切线都经过点可得,则是方程的两根,故,所以,因又因为,同理可得,即共线,而,则,即,故在中,高,应填答案。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m x ACm y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
(完整word版)2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)
河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集为实数集R ，{}24M x x =>，{}13N x x =<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ) A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>,201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤;②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A ．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤5。
在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E,则点E 为△A 1BC 1的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6。
设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ． 365C ．65D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( ） A ．16πB ．4π C ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ )A ．115,106π-B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9。
(河北省衡水金卷一模)2018届高三毕业班模拟演练数学(理)(附答案)
（河北省衡水金卷一模）2018届高三毕业班模拟演练数学（理）（附答案）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．已知,为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（）A. B. 2 C. -2 D. 03．已知等比数列中，，，则（）A. B. -8 C. 8 D. 164．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A. B. C. D.5．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈6．已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A. B.C. D.7．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A. B. C. D.8．若运行如图所示的程序框图，输出的的值为127，则输入的正整数的所有可能取值的个数为（ ）A. 8B. 3C. 2D. 19．已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）A. 2B. 4C.D.10．已知函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）A. B. C. D.11．若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题13．已知，则__________．14．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．15．已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为__________．16．在中，为的中点，与互为余角，，，则的值为__________．三、解答题17．已知数列的前项和恰好与的展开式中含项的系数相等.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.18．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：，，，，，.统计结果如下表所示：该市高中生压岁钱收入可以认为服从正态分布，用样本平均数（每组数据取区间的中点值）作为的估计值.（1）求样本平均数；（2）求；（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于的获赠两次读书卡，压岁钱不低于的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：现从该市高中生中随机抽取一人，记（单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，.20．已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.21．已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范数学（理）答案1．A【解析】集合集合,则,故选A.点睛:(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2．B【解析】复数为纯虚数，则,解得x=2,故选B.3．C【解析】由题意可得, ,又同号,所以,则,故选C.4．D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.5．B【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积.详解：由算法可知，刍童的体积，立方长,\故选：B点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可.6．D【解析】,故, 又,故,故选D.7．C【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为D;不可能为C,故选C.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．B【解析】令,可得n=7,故输入n=7符合,当输入的n满足n>7时,输出的结果总是大于127,不合题意,当输入n=6,5,4时,输出的n值分别为,均不合题意,当输入n=3或n=2时,输出的n=127符合题意,当输入n=1时,将进入死循环不符,故输入的所有的n的可能取值为2,3,7,共3个,故选B.点睛:本题考查程序框图的应用,属于中档题.算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．C【解析】,又因为,,当且仅当x=y时取等号,,即的最大值为,故选C.10．A【解析】由题意得=,则,由图知,则,由,得,解得的值为,故选A.11．A【解析】函数的图象可由的图象向左平移1个单位,再向上平移m个单位得到,故函数f(x)的图象关于点A(-1,m)对称,如图所示,由图可知,当时,点A到函数f(x)图象上的点(-4,m-27)或(2,m+27)的距离最大,最大距离为,根据条件只需,故,应选A.12．A【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得,又,又,,双曲线C的方程为,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.13．【解析】=,故填.14．【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.15．【解析】令t=2x,则x=,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,故,所以的最大值与最小值之和为,故填.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值16．或【解析】设,则由+可知,为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时,,在△ACD中,,综上可得,的值为或.17．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据数列的前项和等于展开式中含项的系数,以及的关系,求出数列的通项公式;(2)由(1)求出,根据裂项相消法得出结果.试题解析:（1）依题意得，故当时，，又当时，，也适合上式，故.（2）由（1）得，故.18．(1)见解析(2)【解析】试题分析: (1) 当时，点是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性质定理证得平面,进而证得结论;(2) 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果.试题解析:（1）当时，点是的中点.∴，.∵，∴∵，，，∴.∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.则，，.取的中点，∵，∴，∴ 易证得平面，∵，∴，∴.∴，，.设平面的一个法向量为，则令，则.设与平面所成的角为，则，解得或（舍去）∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.19．(1)68.5(2)0.8185（3）【解析】试题分析:(1)根据表中数据以及平均数公式代入计算即可;(2) 由（1）得的值,根据概率的计算公式计算即可;(3) 的所有可能取值为1,2,3,4,分别求出概率写出分布列,并求出期望即可.试题解析:（1），（2）由（1）得，.∴.（3）易知.∴的所有可能取值为1,2,3,4.；；；.∴的分布列为∴.20．(1) (2) 与之积为定值，且该定值是【解析】试题分析:(1)，可得,将坐标代入求出点E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可得椭圆方程;(2) 设，,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程并写出韦达定理,根据三点共线得出M,N的坐标,求出与之积得出定值.试题解析:（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为.∵，可得，又，，∴代入可得，又，解得，，即椭圆的标准方程为.（2）设，，，，.由题意可设直线的方程为，联立消去，得，∴根据三点共线，可得，∴.同理可得，∴的坐标分别为，，∴.∴与之积为定值，且该定值是.点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．(1) (2)见解析【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数，，则函数的两个相异零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.试题解析（1）由题意知的定义域为，且.①当时，，在区间上单调递增，又，，∴，即函数在区间有唯一零点；②当时，，令，得.又易知函数在区间上单调递增，∴恰有一个零点.③当时，令，得，在区间上，，函数单调递增；在区间上，，函数单调递减，故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.若恰有一个零点，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）记函数，，则函数的两个相异零点为不妨设，∵，，∴，，两式相减得，两式相加得.∵，∴要证，即证，只需证，只需证，即证，设，则上式转化为，设，∴在区间上单调递增，∴，∴，即，即.点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.22．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.试题解析:（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为.由得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.23．（1）（2）【解析】分析：(1)讨论x的取值范围，把不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集；（2）对于任意的，都存在，使得成立即的值域为值域的子集.详解：（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为.点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}na满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a-======-，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因22⎪⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，21162πB ⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：121254y yy y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学(理)试卷及答案
河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<<I B ．M N R =U C ．{|24}M N x x =<≤I D ．{|2}M N x x =>U2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为( )A ．2C.2 D 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=( )A ．．3-7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )A ．19?n <B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )A ．b a c <<B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x x πωϕωϕπ=+<∈的部分图象如图所示，其中5||2MN =.记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+的图象.则以下判断正确的是( )A.p q ∧为真B.p q ∨为假C.()p q ⌝∨为真D.()p q ∧⌝为真 11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612．926910+ D ．832612+12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)n n n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-u u u r u u u r u u u r ，(1,2)AB =u u u r，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=.（1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21. 已知函数，()(1)(,)xf x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡水金卷2018届全国高三大联考理科参考答案及评分细则一、选择题1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB 二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 24π- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos cos 2f x x x =-，1cos 21222x x +=-， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈.（2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==.故1sin 2ABC S bc A ∆==18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==.∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，3)E .当1λ=时，有EF FA =u u u r u u u r，∴可得13(0,2F . ∴(1,1,0)BD =u u u r ，(3)CE =-u u u r ，33(1,2BF =u u u r . 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即0,330,2x y y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令3z =1y =-，1x =.即(1,3)n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin |cos |CE n θ=<⋅>=u u u r r 1555=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人），偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+.此时MN = 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+，此时PQ =. 故||||MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又1212(1)(1)x x my my =--，21212()1m y y m y y =-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减；当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11b a-+中较小的数， 所以1c ≤-，且11b c a -≤+. 则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0x f c e a c b e b b -=-+-≤---<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥，即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.令22()ln (0)g x x x x x =->，则'()(12ln )g x x x =-.令'()0g x >，得0x <<令'()0g x <，得x >故()g x 在区间内单调递增，在区间)+∞内单调递减.故max ()2e g x g e e ==-=，即当11a a +=⇒=时，max ()2e g x =. 所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤. 所以(1)24b a e +≤. 而3e <， 所以(1)324b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.曲线C 上的点到直线l 的距离，d ==|)3|πα+-， 当sin()14πα+=-时，max 22d +==， 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为22+. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立，)3αϕ-<（其中1tan tϕ=）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为(0,.23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号，∴[3,)M =+∞. 原不等式等价于2331t t t-+-， 22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>. ∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.。
河北省衡水中学2018届上学期高三年级二调考试(理数)
河北省衡水中学2018届上学期高三年级二调考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|x x A ，1|ln()02B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则=)(B C A R A ．∅B ．1(1,]2-C ．1[,1)2D ．(1,1]-2．已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S = A ．63或120 B ．256C ．120D ．634．42()(1x x+的展开式中x 的系数是A ．1B ．2C ．3D ．125．已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形6．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，15a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n项和，则2163n n S a ++的最小值为A ．3B ．4C．2D ．927．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A ．83B ．163C ．323D ．168．已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点2(,0)3π对称 C ．关于点(,0)3π对称D ．关于直线6x π=对称9．设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为 A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞10．已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ11．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x <时，()f x 满足2()'()()f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为A ．5B ．3C ．1或3D ．112．已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知1211sin()2sin()0510πθπθ++-=，则2tan()5πθ+= ． 14．已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则BA BC ⋅ 的取值范围为 ．15．数列{}n a 满足1(2|sin |1)22n n n a a n π+=-+，则数列{}n a 的前100项和为 ． 16．函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共60分。
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2017-2018学年度高三年级第一学期八模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
下列每个小题所给选项只有一项符合题意。
） 1.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且639S =，则34a a +=（ ）A.31B.12C.13D.523.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题： 甲：我不会证明乙：丙会证明丙：丁会证明丁：我不会证明根据以上条件，可以判定会证明的人是（ ）A.甲B.乙C. 丙D.丁4. 在如图的各图中,每个图的两个变量具有线性相关关系的图是( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③5.已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m=（ ）A.74B.12764C.94D.129646.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）正视图左视图俯视图A.83B.43C.4D. 67.已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的中点，163,62AB AC AE ED ===，,则AE EB ⋅=（ ） A. -14 B.-9 C.9 D.148.已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠的图象经过点()1,3P ,()2,5Q ,当*n N ∈时，()()()11n f n a f n f n -=⋅+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1033n S =时，n 的值为（ ） A. 7B. 6C.5D.49.若下图程序框图在输入1a =时运行的结果为P ，点M 为抛物线22y px =-上的一个动点，设点M 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A.5B.C. 2D.A.136B.118C.112D.1911.长方形1111ABCD A B C D -中，18,4,DC CC CB AM MB +===,点N 是平面1111A B C D上的点，且满足1C N 1111ABCD A B C D -的体积最大时，线段MN 的最小值是（ ）A.B. C. 8D. 12.已知实数0a >，函数()()112,0,21,0,22x x ae xf x a a e x a x x --⎧+<⎪⎪=⎨⎪+-++⎪⎩≥若关于x 的方程()2a a f f x e --=+⎡⎤⎣⎦有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 21,2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B. 22,2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 12,2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷（解答题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分。
）13.计算定积分21-=⎰ .14.设变量,x y 满足不等式组403301x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≥，则z =的取值范围是 .15.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠成立，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 16. 用g （n ）表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g （9）=9，10三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）PAD ⊥平面ABFE ；19. （本题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费。
为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位：吨),将数据按照[0,2],(2,4],…,(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图。
(Ⅰ)假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况。
(i)现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；(ⅱ)试估计全市居民用水价格的期望(精确到0.01)；(Ⅱ)如图2是该市居民李某2016年1∼6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图,其拟合的线性回归方程是y=2x+33.若李某2016年1∼7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数。
21. （本题满分12分）已知函数()()()ln ,x f x e x a x a x a R =-+++∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数. ①求a 最大整数值；②证明：23341ln 2ln ln ln 231nn e n e +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过M （2，0），倾斜角为α（α≠0），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=4cosθ. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|MA|=2|MB|，求直线l 的斜率k.2017-2018学年度高三年级第一学期八模考试 数学（理科）试卷答案1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.D8.D9.B10.B11.B12.B13. 43π14. ⎣15.)11，16. 2015413-17.解：（1）由图知2=4126πππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得=2ω， sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()=262k k Z ππϕπ∴++∈，即()=23k k Z πϕπ+∈由于22ππϕ-<<，因此=3πϕ.()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，sin 2sin 24436fx x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即函数()y g x =的解析式为()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1cos 1sin 22A B C π⎛⎫∴-+=++ ⎪⎝⎭()cos cos ,sin 2cos 22A B C C C π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，cos cos2C C =，即2cos 2cos 1C C =-，所以1cos 2C =-或1（舍），2=3C π. 由正弦定理得24sin cR C==，解得c = 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab+-=-=，22122,4a b ab ab ab ∴+=-≥≤（当且仅当a b =等号成立）1sin 2ABCS ab C ∆∴==ABC ∴∆.18. (1)证明：正三棱柱ADE −BCF 中，AB ⊥平面ADE ，所以：AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB AF A =, 所以：AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ， 所以：平面PAD ⊥平面ABFE ….(6分)（2）由（1）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB,AE,AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P-ABCD 的高为h ，AE=AD=2，则A （0,0,0），F （2,2,0），C （2,0,2），P （1，-h ，1），()()()2,2,0,2,0,2,1,,1A F A C AP h ===-.设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则1111220220m AF x y m AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，则11=z 1y =-，所以()1,1,1m =--. 设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =，则222222200n AF x y n AP x hy z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21x =，则22=1,z 1y h -=--，所以()111n h =---，，，. 二面角C-AF-P ，所以cos ,3m n m n m n ⋅<>===⋅， 解得h=1.1ne-+ ++=ln n n +⎛++⎝的参数方程为x⎧⎨。