中考数学专项训练 图形的轴对称(含解析)(1)(2021年整理)

2017年中考数学专项训练图形的轴对称（含解析）(1)
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图形的轴对称
一、选择题
1．下列图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）
A．等边三角形B．矩形C．菱形D．正方形
4．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（)
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为（）
A．8B．4C．8 D．6
二、填空题
6．如图，矩形ABCD中，AB=1,E、F分别为AD、CD的中点,沿BE将△ABE折叠,若点A恰好落在BF上，则AD= ．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为．
8．如图1,正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2,则S1S2（用“＞"、“＜"或“=”填空）．
9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0,），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（，）．
10．如图，在△ABC中,AB=AC，BC=8，tanC=,如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC 的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．
三、解答题（共50分)
11．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画的三个图形不能重复)
12．作图题：（不要求写作法）如图,△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A(﹣2，1）,B（﹣4,5)，C(﹣5,2）．
(1）作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
13．如图(1)，矩形纸片ABCD,把它沿对角线BD向上折叠，
（1)在图（2)中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
14．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1)求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a,ED=b,DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
15．（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下:作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中,AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为．
（2）实践运用
如图（3)：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为．
(3）拓展延伸
如图（4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M,点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
图形的轴对称
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、符合轴对称的定义，故本选项正确；
故选D．
【点评】此题考查了轴对称图形的判断，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的定义．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．
【解答】解：A、B、D都是轴对称图形，C不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的定义，正确找到对称轴．
3．下列四种图形都是轴对称图形,其中对称轴条数最多的图形是（）
A．等边三角形B．矩形C．菱形D．正方形
【考点】轴对称图形．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数,继而可得出答案．
【解答】解:A、等边三角形有3条对称轴；
B、矩形有2条对称轴；
C、菱形有2条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．
4．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（)
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】生活中的轴对称现象;平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称,则能求出∠1的度数．
【解答】解:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故选:C．
【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．
5．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）
A．8B．4C．8 D．6
【考点】翻折变换(折叠问题)．
【专题】数形结合;整体思想．
【分析】首先由正方形ABCD的对角线长为2,即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM,D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为:A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线长为2，
即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
由折叠的性质:A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．
故选：C．
【点评】此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中,注意数形结合思想与整体思想的应用．
二、填空题
6．如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt
△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
【解答】解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点,
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL）,
∴A′F=DF=，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，
在Rt△BCF中，BC==．
∴AD=BC=．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 5 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求,可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BP,
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3,
∴BP==5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为:5．
【点评】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出DQ+PQ的最小值时Q点位置是解题关键．
8．如图1,正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1,阴影部分的面积记作S2,则S1＜S2（用“＞”、“＜”或“="填空)．
【考点】轴对称的性质；实数大小比较；正方形的性质．
【分析】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积,首先利用勾股定理算出OD的长，进而得到OA的长,再算出AC的长，即可表示出矩形ACDF的面积；图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的是，计算出结果后再比较S1与S2的大小即可．
【解答】解：∵OE=1，
∴由勾股定理得OD=，
∴AO=OD=，
∴AC=AO﹣CO=﹣1，
∴S阴影=S矩形=（﹣1）×1=﹣1，
∵大圆面积=πr2=π
∴阴影部分面积=π．
∵﹣1＜π，
∴S1＜S2，
故答案为:＜．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及正方形性质，根据已知得出AC=AO﹣CO=﹣1，进而得出矩形DCAF的面积是解题关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0,）,点A在第一象限且AB⊥BO，点E 是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ 1 ，
)．
【考点】轴对称的性质;坐标与图形性质;解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出AO 的长度,然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦值列式求出AM的长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可．
【解答】解：∵点B（0，)，
∴OB=,
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称，
∴OB=OE=,
∵点E是线段AO的中点,
∴AO=2OE=2，
根据勾股定理，AB===3，
cosA==，
即=,
解得AM=2,
∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，
∴点M的坐标是（1，）．
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质,解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中,AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC 的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵AB=AC，BC=8，tanC=，
∴=，QC=BQ=4,
∴AQ=6,
∵将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点处，
过B′点作B′E⊥BC于点E,
∴B′E=AQ=3，
∴=，
∴EC=2，
设BD=x，则B′D=x,
∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，
∴x2=（6﹣x）2+32，
解得：x=,
直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．
故答案为:．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．
三、解答题（共50分）
11．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合,并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】作图题．
【分析】可分别选择不同的直线当对称轴,得到相关图形即可．
【解答】解：
【点评】考查利用轴对称设计图案；选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点．
12．（2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2,1），B（﹣4，5），C(﹣5，2）．
（1)作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A1B1C1,其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
(2)写出点A1、B1、C1的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可．
【解答】解：(1）△A1B1C1如图所示；
（2）A1（0，1），B1（2,5),C1(3，2）．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
13．如图（1），矩形纸片ABCD,把它沿对角线BD向上折叠,
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)折叠后重合部分是什么图形?说明理由．
【考点】翻折变换(折叠问题）．
【分析】（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD,则可求得折叠后的图形．（2）由折叠的性质,易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD,即可证得∠FDB=∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．
【解答】解：(1）做法参考:
方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC,连接BE；
方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC,连接DE；
方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE．
∴△DEB为所求做的图形．
（2)等腰三角形．
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴∠FDB=∠CDB，
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠FDB=∠ABD，
∴△BDF是等腰三角形．
【点评】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定,折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合,折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE=a，ED=b,DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【考点】翻折变换（折叠问题）;全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1)由矩形ABCD与折叠的性质,易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；
(2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,
∴∠AEF=∠EFC，
由折叠的性质,可得:∠AEF=∠CEF,AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF,
∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AFCE为菱形；
（2)a、b、c三者之间的数量关系式为:a2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得:CE=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，
∴CE=AE=a，
在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为:a2=b2+c2．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
15．（1）观察发现
如图（1)：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小,做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图（2)：在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE 的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．
（2）实践运用
如图（3）:已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．
（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
【考点】圆的综合题；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】压轴题．
【分析】（1)观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°，BE=1,再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；
(2)实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；
由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；
（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．
【解答】解：（1）观察发现
如图（2),CE的长为BP+PE的最小值,
∵在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案为：；
（2）实践运用
如图（3）,过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点,连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD,
∴CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，
∵的度数为60°,点B是的中点,
∴∠BOC=30°,∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°,
∴∠AOE=60°+30°=90°,
∵OA=OE=1,
∴AE=OA=，
∵AE的长就是BP+AP的最小值．
故答案为:；
(3)拓展延伸
作法：1、作点P关于直线AB的对称点E，
2、作点P关于直线BC的对称点F，
3、连接EF交AB于M,交BC于N，
则PM+PN+MN的值最小;
如图（4）
【点评】本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．。