河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题(2)

唐山一中 2014— 2015 学年度第一学期高二年级第二次月考
数学试题（理科）
试卷Ⅰ（共 60分）
一、选择题（此题共12个小题 , 每题只有一个正确答案，每题 5分，共 60分。

请把答案填涂在答题卡上）
1.以下命题是真命题的是（）
A．a＞b是ac2＞bc2的充要条件B． a＞1, b＞1是ab＞1的充足条件
C．x0R e x0
0D．若p q
为真命题，则
p q
为真
,
2. 若当方程 x2＋ y2＋ kx ＋ 2y＋ k2＝ 0 所表示的圆获得最大面积时，则直线 y＝ (k － 1)x ＋ 2 的倾
斜角α＝() 3ππ3π5π
A.4
B.4
C.2
D. 4
3.两直线 y＝ x＋ 2a,y ＝ 2x ＋ a 的交点 P 在圆 (x － 1) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 的内部 , 则实数 a 的取值范围
是()
1
B ．a＞ 1 或＜－111
A．－＜ a＜ 1
5C ．－≤ a＜ 1 D ． a≥ 1 或 a≤－
555
4. 已知 : p :
1
1 若 p 是 q 的充足不用要条件，则实数 a 的取值范围是
1.q :| x a |
x2
()
A ．(2,3]B．[2,3]C．(2,3)D．( ,3]
5.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如下图，
则该四棱锥的体积等于()
A ． 1B． 2C．3D． 4
6. 已知m, n为异面直线,m平面, n平面 .
直线 l 知足 l m, l n, l,l, 则（）
A ．//, 且l //B．, 且l
C．与订交 , 且交线垂直于l D ．与订交 , 且交线平行于l
7．正四周体 ABCD 的棱长为1， G 是△ ABC 的中心， M 在线段 DG 上，且∠ AMB ＝ 90°，则GM的长为()
123 223
6
D ．6
8. 如图在三棱锥S ABC 中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO底面 ABC ，O 为垂足，则侧棱SA与底面 ABC 所成角的余弦值为( )
A．C．
3 B ．
1
S 22
3
D．
3C 36A O B
9.
直三棱柱
A B C1A
1中，
BCA 90
0 ，
M 、 N
分别是、的中点，
1B C A1 B1 A1C1
BC CA CC1，则 BM 与AN 所成的角的余弦值为()
A ．
1B．
2
C．2D．30
105210
10. 若双曲线x
2y 21的离心率为, 则其渐近线方程为() a2 b 2
A．B． y2x C． D ．
11.已知双曲线x2y 2
1(a,b0) 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于a 2 b 2
A, B两点 , O为坐标原点 .若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为,则 p = ()
A ． 1B．3
C． 2D．3 2
12. 已知双曲线的两条渐近线均和圆C： x2＋ y2－ 6x＋ 5＝ 0 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
222222
x y x y x y
A. 5－4＝ 1
B.4－5＝1
C.3－6＝ 1
D.x2－ y 2
＝ 1
63
试卷Ⅱ（共 90 分）
二、填空题（此题共4个小题 , 每题 5分，合计 20分. 请把答案写在答题纸上）
13．假如一个水平搁置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________.
14.设直线 l 与球O有且只有一个公共点P ，从直线l出发的两个半平面, 截球O的两个截面圆的半径分别为 1 和3，二面角l的平面角为，则球 O 的表面积为.
2
15.已知椭圆 C：x
2y 2 1 (a b0)的左右焦点分别为 F
1, F2，点P为椭圆C上的随意a 2 b 2
一点，若以 F1,F2, P三点为极点的等腰三角形必定不行能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是.
16.已知直线 y=a 交抛物线 y=x2于 A,B 两点 . 若该抛物线上存在点C, 使得∠ ACB为直角 , 则 a
的取值范围为.
三、解答题（此题共 6 个小题，此中第17 题 10 分，其他各题 12 分合计70 分。

请把解答过
程写在答题纸上）
17.已知 p : 对于x的不等式 2x 3m (m0) ， q : x(x3)0 ，若p 是q 的必需不充足条件，务实数 m 的取值范围.
18.已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6 ，AB=4. 计算球的表面积与体积 .
19．如图，四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD， AB
∥DC，AB⊥ AD，AD＝ CD＝1， AA1＝ AB＝2， E 为棱 AA1的中点．
(1) 证明B1C1⊥CE；
(2) 求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3) 设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正
弦值为2
，求线段 AM的长．6
20. 已知点
P 是椭圆 x2y2M P
且垂直于 x 轴的直线上的点，
OP 167上的动点，为过OM
求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

21. .y
24x( x0)
，能否存在正数m ，对于过点
(m,0)
且与抛物线有两个交点
已知抛物线
A, B
的任向来线都有FA FB0 ?
m 的取值范围，若不存在请说明原因。

若存在求出
22. 设椭圆 E:x2y21（a,b>0）过M（2，2），N( 6 ,1)两点， O为坐标原点，
a2b2
（ I ）求椭圆 E 的方程；
（ II ）能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且
OA OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB | 的取值范围，若不存在说明原因。

答案
一选择题：BAAAB DDDDB CA
二填空：2216[21,2]
2
三解答题17.(0,3)18.54;276
19.解：(方法一)
(1)证明：如图，以点 A 为原点成立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0) ，B(0,0,2) ，C(1,0,1)，B1(0,2,2) ， C1(1,2,1) ，E(0,1,0) ．
易得 BC ＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是 B C ·CE＝0，
1 1 1 1
因此 B1C1⊥CE .
(2)B1C ＝(1，－2，－1)．
设平面 B1CE 的法向量m＝(x，y，z)，
m B1C0,x 2 y z0,
则即
y z0.
m CE0,x
消去 x，得 y＋2z＝ 0，不如令z＝ 1，可得一个法向量为m＝(－3，
－2,1)．
由(1) ， B1C1⊥CE，又 CC1⊥B1C1，可得 B1C1⊥平面 CEC1，
故 B1C1＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是 cos 〈 m ， B 1C 1 〉＝
m B 1C 1 4 2 7 ，
| m | | B 1C 1 |
14 2
7
进而 sin 〈m ， BC 〉＝
21
.
1 1
7
因此二面角 B 1－ CE － C 1 的正弦值为
21
.
7
(3) AE ＝ (0,1,0) ， EC 1 ＝ (1,1,1) ．
设 EM ＝ λEC 1 ＝ (λ， λ，λ)， 0≤ λ≤1，有 AM ＝ AE ＋ EM ＝ (λ， λ＋ 1， λ)．可取 AB ＝ (0,0,2) 为平面 ADD 1A 1 的一个法向量．
设 θ为直线 AM 与平面 ADD 1A 1 所成的角，则
AM AB
sin θ＝ |cos 〈 AM ， AB 〉 |＝
AM
AB
＝
2
.
1)2
3 2
2
(
2 2
2 1
于是
2
1
2
，解得
1 ， 3
2
6
3
因此 AM ＝ 2 .
(方法二 )
(1)证明：由于侧棱
CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1
平面 A 1B 1C 1D 1，
因此 CC 1 ⊥B 1 1
C .
经计算可得 B 1
＝
5 ，
1 1＝
2
，EC 1＝ 3 ，
E
B C
进而 B 1E 2＝ B 1C 12 EC 12 ，
因此在△B 1EC 1 中， B 1C 1 ⊥C 1E ，
又 CC 1， C 1E 平面 CC 1E ， CC 1∩ C 1E ＝ C 1，
因此 B 1C 1⊥平面 CC 1E ，
又 CE 平面 CC 1E ，故 B 1C 1⊥CE.
(2)过 B 1 作 B 1G ⊥CE 于点 G ，连结 C 1G.
由(1) ， B 1C 1⊥CE ，故 CE ⊥平面 B 1C 1G ，得 CE ⊥C 1G ， 因此∠B 1GC 1 为二面角 B 1－ CE － C 1 的平面角．
在△CC 1E 中，由 CE ＝ C 1E ＝
2 6
3 ， CC 1＝ 2，可得 C 1 G ＝
.
3
在 Rt △B 1C 1G 中， B 1G ＝ 42 ，
3
因此 sin ∠B 1GC 1＝
21 ，
7
即二面角 B 1－CE － C 1 的正弦值为
21 .
7
(3)连结
1
，过点 M作 MH ⊥ED
1 于点H，可得MH⊥平面ADD 11，连结AH，AM，则∠
D E A
MAH 为直线 AM 与平面 ADD 1A1所成的角．
设 AM ＝ x，进而在 Rt△AHM 中，有 MH ＝2
x ，AH＝34 x. 66
在 Rt △C1D 1E 中， C1D 1＝1， ED 1＝2，得 EH＝2MH 1 x . 3
在△AEH 中，∠AEH ＝ 135°， AE ＝1，
由 AH 2＝ AE2＋ EH2－ 2AE·EHcos 135 ，°得17
x21 1 x2
2
x ，
5x2－21893
整理得2x －6＝0，解得x＝ 2 .因此线段 AM 的长为 2 .
OP 2
20.设M ( x, y)，此中x4,4。

由已知22及点 P在椭圆 C上可得
OM
9x21122。

16( x2y2 )
整理得 (1629) x216 2 y2112 ，此中x4,4 。

（i ）3时。

化简得 9 y2112
4
因此点 M 的轨迹方程为y47 (4x4) ，轨迹是两条平行于 x 轴的线段。

3
（ii ）3
时，方程变形为
x2y2
1，此中x4,4 4112112
1629162
当 03
时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线知足4x 4 的4
部分。

当3
1时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆知足 4 x4的部4
分；
当 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；
21．（II）设过点M（m,0)（m0) 的直线l与曲线C的交点为A ( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) 设l的
方程为 x
x ty m
4ty 4m 0 ，16(t 2m) 0
ty m ，由得 y2，于是y24x
y1y24t
①
y1y24m
又 FA ( x11, y1 ), FB(x2 1, y2 ) ，
FAFB0( x1 1)( x2 1) y1 y2x1x2 ( x1x2 ) 1 y1 y20 ②
又x y 2
4
于是不等式②等价于
y12y22y1 y2( y12y
2
2) 1 0( y1 y2 ) 2y1 y2
1
[( y1y2 ) 22y1 y2 ] 1 0 ③
4444164
把①式代入不等式③有m26m 14t 2④
对随意实数 t ， 4 t2的最小值是0，因此不等式④对于全部t成立等价于 m26m10 ，
即 322m322
由此可知，存在正数m，对于过点M（ m,0) 且与曲线 C 有两个交点 A,B的任向来线，都有FA FB0 ,且m的取值范围是（322,3 22)
22.解 :假定存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B, 且
y kx m
得 x2m)2
OA OB ,设该圆的切线方程为y kx m 解方程组x2y22(kx8 ,即
841
(12k2 ) x24kmx2m28 0 ,
则△ = 16k2m24(12k2 )(2 m 28)8(8k 2m24)0 ,即 8k2m240
x1x2
4km
12k 2
, 2m28
x1 x212k 2
y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km( x1 x2 ) m2k2 (2m28)4k 2m2
m2
m28k 2 12k 212k212k 2
要使 OA OB ,需使 x1 x2y1 y20,即 2m28m28k20 ,因此 3m28k 28 0 ,
1 2k 212k 2
因此 k23m280 又 8k2m2 4 0,因此m22
, 因此m2
8
, 即m 2 6 或
83m2833
m
2 6
,由于直线
y kx
为圆心在原点的圆的一条切线,因此圆的半径为3m
m22
r, r2m m8, r26,所求的圆为x2y28,此时圆的
1 k
2 1 k 21 3m28333
8
切线都满足m2626,而当切线的斜率不存在时切线为
y kx m或 m
3
3
x 2 6与椭圆x2y2 1 的两个交点为( 2
6 ,
2 6
)或( 2 6 ,2
6
) 知足
3843333
OA OB,综上,存在圆心在原点的圆x2y28，使得该圆的随意一条切线与椭圆E
3
恒有两个交点 A,B, 且OA OB .。