2021版新高考数学人教B版一轮课件：9.7 抛物线

【常用结论】
1.焦半径、通径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F
( p，0) 2
的距离|PF|=x0+
p 2
，也称为抛物线的焦半径.
过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p，是过焦点最短的弦.
2.四倍关系：y2=ax的焦点坐标为 (a ，0) ，准线方程为x=- a .
1,所以点M的坐标为(1,-2).
2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动
点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值,即焦
与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则
△ABM的面积为________.
世纪金榜导学号
【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则
|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为
2
设P(x0,y0),则由抛物线定义可得|PF|=x0+
p 2
.
由已知点C为PF的中点则C的坐标为(
x
0
p 2
,
,y半0 )径r=
22
的距离d=
x
0
p
2,所以d=r,故圆C与y轴相切,故选B.
2
|PF,|故 Cx0点到p2 y轴
2
2
3.(选修2-1P61练习BT3改编)顶点在坐标原点,焦点为F(0,1)的抛物线上有一动
|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
2.(选修2-1P63例3改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上任意 一点,则以PF为直径的圆C与y轴 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对
【解析】选B.由抛物线方程得F ( p ,,0)
a
是
(0,
1 4a
)
,准线方程是y=-
1 4a
.
(3)×.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)×.例如,直线y=1与抛物线y2=4x只有一个交点,但它们相交.
(5)√.由焦半径的性质可知正确.
(6)√.由通径定义及抛物线性质知正确.
【易错点索引】
序号 1 2 3
易错警示 不会利用定义转化 联想不到利用焦点弦的有关结 论求解 运算不过关导致出错
()
4
(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线
的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a. ( )
提示:(1)×.当定点在定直线上时,轨迹为过定点与定直线垂直的一条直线,不是
抛物线.
(2)×.方程y=ax2(a≠0)可化为x2= 1 y是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标
2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的
距离之和的最小值是 ( )
A. 3 5
B.2
5
C. 11
D.3
5
3.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若
以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为
p
④弦长AB= 2p (α为AB的倾斜角).
sin 2
⑤以AB为直径的圆与准线相切.
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.
()
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ( a ,0) ,
第七节 抛 物 线
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做_抛__物__线__， 定点F叫做抛物线的_焦__点__，定直线l叫做抛物线的_准__线__.
2.抛物线的标准方程与几何性质
4
准线方程是x=- a .
()
4
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( )
(5)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F ( p ,0)的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=
2
p2 ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
典题索引 考点一、T1,2 考点二、T3 考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(选修2-1P70练习AT2改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),
Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于
()
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,根据题意可得
4
4
3.抛物线中的常用结论：直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，
交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图.
①y1y2=-p2，x1x2= p2 .
4
②|AB|=x1+x2+p，x1+x2≥2
x1x2 =p，即当x1=x2时，
弦长最短为2p.
③ 1 1 为定值 2 .
AF BF
4
则 AM 11，AF 5，所以 AM 11.
4
4
AF 5
考点一 抛物线的定义及标准方程 【题组练透】 1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得 |PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( ) A.(2,-2) B.(1,2) C.(1,-2) D.(-1,2)
()
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
பைடு நூலகம்
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为
________. 世纪金榜导学号
5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且
点A,圆(x+1)2+(y-4)2=1上有一动点M,则当|AM|+|AF|取得最小值时 AM =( )
AF
A.3
B. 11
C.2
D. 11
5
2
【解析】选B.由题知,抛物线方程为x2=4y,其准线为y=-1,
设d=|AF|为A到准线的距离,
则|AM|+|AF|的最小值等于圆心(-1,4)到准线的距离减去半径,此时A (－1, 1, )