高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2.2直线与平面平行教案新人教B版必修2

1.2.2.2 直线与平面平行
示范教案
整体设计
教学分析
教材首先归纳了直线与平面的位置关系，通过实际操作归纳出了直线与平面平行的判定定理，给出了性质定理并加以证明．值得注意的是判定定理不需证明，只需要归纳出即可．三维目标
1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，提高学生的归纳能力和抽象思维能力．2．利用判定定理和性质定理解决有关问题，培养转化与化归的数学思想．
重点难点
教学重点：归纳判定定理和两个定理的应用．
教学难点：性质定理的证明．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
设计1.(情境导入)
将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
设计2.(实例导入)
平衡木是女子竞技体操的一个项目，它需要在高1.2米、宽10公分的木板上完成各种跳步、转体、平衡、舞蹈及技巧空翻动作．运动员必须具备很好的控制身体的能力、准确的动作技术及勇敢果断的意志品质．我国平衡木一直处于世界一流水平，2000年刘璇摘取奥运平衡木金牌．你知道如何在平衡木上保持平衡吗？
推进新课
新知探究
提出问题
(1)我们知道，如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内(如下图)．在空间中，一条直线和一个平面的位置关系，除了直线在平面内，还有几种情况？
(2)若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系．
(3)用三种语言描述直线与平面平行的判定定理．
(4)直线与平面平行有什么性质？
讨论结果：
(1)直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点A叫做直线与平面的交点(如下图(1))，并记作a∩α＝A.
直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行．并记作a∥α(如下图(2))．
(1) (2)
从以上分析可知，如果直线不在平面内，还有两种情况，即平行和相交．因此，除了直线在平面内直线与平面的位置关系不是平行就是相交．
(2)直线a 在平面α外，是不是能够判定a∥α呢？
不能！直线a 在平面α外包含两种情形：一是a 与α相交，二是a 与α平行， 因此，由直线a 在平面α外，不能断定a∥α. 若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？
既然不可能相交，则该直线与平面平行． (3)直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
符号语言为：
⎭
⎬⎫a
α
b ⊂αa∥b ⇒
a∥α. 图形语言为：如下图．
(4)定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．
已知：l∥α，l ⊂β，α∩β＝m(如下图)．
求证：l∥m.
证明：因为l∥α，
所以l 和α没有公共点． 又因为m 在α内，
所以l 和m 也没有公共点．
因为l 和m 都在平面β内，且没有公共点， 所以l∥m.
在空间中，经常应用这条定理，由“线、面平行”去判断“线、线平行”． 应用示例
思路1
例1已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点(如下图)．
求证：EF∥平面BCD.
证明：连结BD.在△ABD 中，
因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 所以EF∥BD.
又因为BD ⊂平面BCD ，EF
平面BCD ，
所以EF∥平面BCD. 例2求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．
已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l(如下图)．
求证：m ⊂α.
证明：设l 与P 确定的平面为β，且α∩β＝m′，则l∥m′. 又知l∥m，m∩m′＝P ，
由平行公理可知，m 与m′重合． 所以m ⊂α. 变式训练
如下图，在△ABC 所在平面外有一点P ，M 、N 分别是PC 和AC 上的点，过MN 作平面平行于BC ，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法．
画法：过点N 在面ABC 内作NE∥BC 交AB 于E ，过点M 在面PBC 内作MF∥BC 交PB 于F ，连结EF ，则平面MNEF 为所求，其中MN 、NE 、EF 、MF 分别为平面MNEF 与各面的交线．
证明：如下图，
⎭⎬⎫BC
面MNEF
NE ⊂面MNEF BC∥NE
⇒
BC∥平面MNEF.
所以BC∥平面MNEF.
点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明
线线平行．
思路2
例3设P ，Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D ，面A 1B 1C 1D 1的中心，如下图，
(1)证明PQ∥平面AA 1B 1B ； (2)求线段PQ 的长．
(1)证法一：取AA 1，A 1B 1的中点M ，N ，如下图，连结MN ，NQ ，MP ，
∵MP∥AD，MP ＝12AD ，NQ∥A 1D 1，NQ ＝1
2A 1D 1，
∴MP∥ND 且MP ＝ND.
∴四边形PQNM 为平行四边形．∴PQ∥MN. ∵MN ⊂面AA 1B 1B ，PQ
面AA 1B 1B ，∴PQ∥面AA 1B 1B.
证法二：连结AD 1，AB 1，在△AB 1D 1中， 显然P ，Q 分别是AD 1，D 1B 1的中点， ∴PQ∥AB 1，且PQ ＝1
2AB 1.
∵PQ
面AA 1B 1B ，AB 1⊂面AA 1B 1B ，
∴PQ∥面AA 1B 1B.
(2)解：方法一：PQ ＝MN ＝A 1M 2
＋A 1N 2
＝22
a. 方法二：PQ ＝12AB 1＝2
2
a.
变式训练
如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，
F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：连结AF并延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC，
∴△AFD∽△MFB.
∴AF
FM
＝
DF
BF
.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.
∴AF
FM
＝
AE
B1E
.
∴EF∥B1M，B1M⊂平面BB1C1C.
∴EF∥平面BB1C1C.
知能训练
1．已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形，M为PC的中点，求证：PA∥平面MBD.
证明：如下图，连结AC、BD交于O点，连结MO，
∵O为AC的中点，M为PC的中点，
∴MO为△PAC的中位线．
∴PA∥MO.
∵PA⊂平面MBD，MO平面MBD，
∴PA∥平面MBD.
2. 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1A，D1C的中点．求证：MN∥平面ABCD.
分析：取CD的中点E，转化为证明线线平行MN∥AE.
证明：取CD的中点记为E，连结NE，AE.如下图．
由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点，可得 NE∥D 1D 且NE ＝1
2D 1D ，
又AM∥D 1D 且AM ＝1
2D 1D ，
所以AM∥EN 且AM ＝EN ，
即四边形AMNE 为平行四边形， 所以MN∥AE， 又AE 面ABCD ，MN 面ABCD ，
所以MN∥面ABCD. 拓展提升 如下图，已知ABCD 和
ACEF 所在的平面相交于AC ，M 是线段EF 的中点．求证：AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD＝O，连结OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形．
∴AM∥OE.
∵OE⊂平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
课堂小结
证明平行的策略是转化，即证明线面平行转化为证明线线平行．
作业
本节练习B 3,4题．
设计感想
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定．本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目．学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心．
备课资料
备选习题
下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：如下图．
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题③不正确；
l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确．
答案：B。