2019-2020学年临沂市名校数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年临沂市名校数学高二下期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．
π
6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
【答案】B 【解析】 【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】
因为()a b b -⊥，所以2
()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=2
2
||122||
a b
b b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3
π
，故选B ． 【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．
2．证明等式()()
()2222+1211+23?··6
n n n n n N *
++++=
∈ 时，某学生的证明过程如下
（1）当n=1时，2123
16
⨯⨯=
，等式成立； （2）假设n k =时，等式成立，即()()
2222k+1211+23?··6
k k k ++++=，
则当1n k =+时，
()()()
()
2
2
2222k+1211+23?··116
k k k k k ++++++=
++()()()()()212761112116
6
k k k k k k ++++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=
=
，所以当1n k =+时，等式也成立，故原
式成立.
那么上述证明（ ） A ．过程全都正确 B ．当n=1时验证不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n k =到1n k =+的推理不正确
【答案】A
【解析】
分析：由题意结合数学归纳法的证明方法考查所给的证明过程是否存在错误即可. 详解：考查所给的证明过程：
当1n =时验证是正确的，归纳假设是正确的，从n k =到1n k =+的推理也是正确的， 即证明过程中不存在任何的问题. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法的概念及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知：(
)2
X N μ,δ～，且EX 5=，DX 4=，则P(3x 7)(<≤≈
)
A ．0.0456
B ．0.50
C ．0.6826
D ．0.9544
【答案】C 【解析】
分析：由题目条件，得随机变量x 的均值和方差的值，利用375252P x P x ≤=-≤+（＜）（＜）， 即可得出结论．．
详解：由题意，52μδ==，，
3752520.682?6P x P x （＜）（＜）．
≤=-≤+≈ 故选：C ． 点睛：本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．
4．已知412(1)x a x x ⎛
⎫
++- ⎪⎝⎭
展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
【答案】B 【解析】 【分析】
通过展开式中3x 项的系数为5列方程，解方程求得a 的值.利用几何法求得定积分的值. 【详解】
()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪
⎝⎭
展开式中3x 项为()()()24323
4412x C x x aC x x ⋅-+-+- 即()3
134a x -，条件知1345a -=，则2a =；
于是
=
被积函数y =图像，0,2x x x ==轴，围成的图形是以()20，
为圆心，以2为半径的圆的1
4
，利
用定积分的几何意义可得20
1
24
ππ=⨯⨯=，
选B. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题. 5．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】
复数()133z i i i =+=-+，
所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 6．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（） A ．
35
B ．
13
C ．
45
D ．
23
【答案】A 【解析】 【分析】
求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可. 【详解】
在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：3
620C = 恰有1件次品包含的基本事件个数为12
2412C C =
在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为123205
= 故选：A 【点睛】
本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】
{}n a 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，
11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
8．在ABC ∆中，222a b c bc =+-，则角A 为（） A ．30 B ．150 C ．120 D ．60
【答案】D 【解析】 【分析】
利用余弦定理解出即可． 【详解】
2221
cos ==6022
b c a A A bc +-=⇒︒
【点睛】
本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题． 9．设曲线2y
x 及直线1y =所围成的封闭图形为区域D ，不等式组1101
x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ，在
区域E内随机取一点，则该点恰好在区域D内的概率为（）
A．1
4
B．
1
3
C．
2
3
D．
3
4
【答案】C
【解析】
分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.
详解：由题意
1
23
1
1
14
(1)()
1
33
D
S x dx x x
-
=-=-=
-
⎰，122
E
S=⨯=，
∴
4
2
3
23
D
E
S
P
S
===，
故选C.
点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．
10．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D
、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）
A．496种B．480种C．460种D．400种
【答案】B
【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21，用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22种结果，根据分类计数原理得到结果．
详解：由题意知本题是一个分类计数问题，
只用三种颜色涂色时，有C63C31C21=120（种）．
用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22=360（种）．
综上得不同的涂法共有480种．
故选：C．
点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单．
11．二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )
A ．
B ．
C ．或
D ．或
【答案】A
【解析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，
当时，.
考点：二项式定理、积分的运算.
12．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A ．144 B ．216 C ．288 D ．432
【答案】D 【解析】
先排与老师相邻的:11233218C C A = ,再排剩下的：4
4A ,所以共有4418432A = 种排法种数，选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 二、填空题：本题共4小题 13．已知函数，存在
，
，则
的
最大值为 . 【答案】 【解析】
试题分析：由题意得，
，因为存在
，
，
所以，所以令，所以，所以函数在
上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最大值，所以的最大值为．
考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答
中，先确定的范围，构造新函数，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结
论的最大值．
14．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】
先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415
355
x ++++=
==，
方差22222
2
(13)(33)(23)(53)(43)25
s -+-+-+-+-==.
【点睛】
本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.
15．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则()2P ξ=为_____. 【答案】
310
【解析】
分析：由题意，从装有3个红球和2个白球的袋中随机取出2个球的取法，再求得当2个球都是红球的取法，利用古典概型的概率计算公式，即可得到答案.
详解：由题意，从装有3个红球和2个白球的袋中随机取出2个球，共有2
510C =种方法，
其中当2个球都是红球的取法有2
33C =种方法，所以概率为3(2)10
P ξ==
. 点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中概率排列、组合的知识得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
16．已知函数()(1)ln f x ax x =+.()f x '为()f x 的导函数，若(1)3f '=，则实数a 的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】
通过对原函数求导，代入1即得答案. 【详解】
根据题意，1
'()ln ax f x a x x
+=
+，所以'(1)13f a =+=，故2a =.
本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合{|22}A x a x a =-+，{}
2
|41270B x x x =+-.
（1）求集合B 的补集
B R
；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）7{|2R
B x x =<-或1
}2x >；（2）112
a 【解析】 【分析】
（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；
（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围． 【详解】
（1）2
71
{|41270}{|}22
B x x x x x =+-=-
， 7{|2
R B x x ∴=<-或1
}2x >．
（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，
∴722122
a a
⎧
--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，
解得：11
2
a
， 即a 的取值范围是112
a ． 【点睛】
本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.
18．在直角坐标系xOy 中，()()2,0,2,0A B -，不在x 轴上的动点C 满足,AC BC CD AB ⊥⊥于点,D P 为CD 的中点。

(1)求点P 的轨迹E 的方程；
(2)设曲线E 与y 轴正半轴的交点为H ，斜率为
1
2
的直线交E 于,M N 两点，记直线,MH BN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k +是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

【答案】（1）()2
2124
x y x +=≠±；
（2）定值0
【分析】
（1）解法一：设点P 的坐标为()(),0x y y ≠，可得出点()2,C x y ，由AC BC ⊥，转化为1AC BC k k ⋅=-，利用斜率公式计算并化简得出曲线E 的方程，并标出x 的范围；
解法二：设点()(),0P x y y ≠，得出()2,C x y ，由AC BC ⊥知点C 在圆2
2
4x y +=上，再将点()
2,C x y 的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线E 的方程，并标出x 的范围； （2）先求出点H 的坐标，并设直线MN 的方程为()1
12
y x m m =
+≠±，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出
120k k +=来证明结论成立。

【详解】
（1）解法一：设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，则(),2C x y ，
AC BC ⊥，所以，1AC BC
k k ⋅=-，即22122y y x x ⋅=--+，化简得2
214
x y +=， 所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±；
解法二：依题意可知点C 的轨迹方程为()2
2
42x y x +=≠±，
设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，所以，(),2C x y ， 所以()
2
2
24x y +=，即2
214
x y +=，
所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±；
（2）依题意可知()0,1H ，设直线MN 的方程为()1
12
y x m m =
+≠±， ()11,M x y 、()22,N x y ，
由221214
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222220x mx m ++-=， 所以2840m ∆=->，122x x m +=-，2
1222x x m =-，
所以()()()
12121212121212122y x x y y y
k k x x x x --+-+=
+=--
()(
)()()()
121212
1212121112122
2222x m x x x m x x m x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭=
=-- ()()()
212221222
02m m m m x x -+-⋅--+=
=-，
所以，12k k +为定值。

【点睛】
本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。

19．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .
（1）证明：//CE 平面PAB ；
（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE . 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】
(1)先证明面//PAB 面CDE ，从而可得//CE 平面PAB .
（2）设BC 的中点为M ，以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，
z 轴，建立坐标系，设()0DE λλ=>,易知平面PAC 的法向量为()
3,3,0m BD ==-，求出平面PCE 的法向量，根据法向量垂直可求解. 【详解】
证明：（1）：∵//AB CD ，CD ⊂面CDE ，AB ⊄面CDE ， ∴//AB 面CDE .
同理//PA 面CDE ，又AB PA A ⋂=，AB 面PAB ，AP ⊂面PAB ，
∴面//PAB 面CDE ，又CE ⊂面CDE ， ∴//CE 平面PAB .
（2）∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒，∴AC AB =， 设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥.
以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -.
则()002P ,,，()3,1,0C ，()0,2,0D ，令()
0DE λλ=>，则()0,2,E λ，
()3,1,2PC =-
，()3,1,CE λ=-.
设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =，则0
0n PC n CE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩， 即11111132030
x y z x y z λ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，则()113222x z λλ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩
，
∴()2,1,232n λλ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭
. 易知平面PAC 的法向量为()3,3,0m BD ==-，
当平面PAC ⊥平面PCE 时，()()
231300232n m λλ⋅=
⨯-+⨯+⨯=--， 解之得1λ=.
所以当1DE =时，平面PAC ⊥平面PCE .
【点睛】
本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.
20．已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点.
（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标；
（Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.
【答案】（I ）2；（Ⅱ）32，220x y --=或220x y +-=. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义得出124x x +=，再利用中点坐标公式可求出线段MN 的中点Q 的横坐标；
（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty m =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式并结合条件5MN =，得出()
2225161m t t =-+，再利用韦达定理得出点Q 的横坐标关于t 的表达式，可求出点Q 的横坐标的最小值，求出此时t 和m 的值，可得出直线l 的方程．
【详解】
（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，所以1226MN x x =++=，所以1222Q x x x +=
=； （Ⅱ）设直线:l x ty m =+，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩
， 得2440y ty m --=，所以124y y t +=，124y y m =-.
所以()2212121MN t y y y y =+⋅
+-22116165t t m =+⋅+=. 所以()
2225161m t t =-+， 所以()12122x x t y y m +=++=()22225422381t m t t +=
+≥+， 所以12322Q x x x +=
≥，此时12
t =±，1m =，所以:220l x y --=或220x y +-=. 【点睛】 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的弦长的最值问题，解决这类问题的常用办法就是将直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理设而不求的思想进行求解，难点在于化简计算，属于中等题． 21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）217 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（Ⅰ）要证明AO ⊥平面BCD ，需要证明AO OC ⊥，AO BD
⊥，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面ACD 的法向量(3,1,3)n =--和斜线的方向向量13(,,0)2EC =-，代入公式EC n d n
⋅=计算
试题解析：（Ⅰ）证明：,AB AD O =为BD 的中点，AO BD ∴⊥，
2AD =,1OD =，1AO ∴=，2,3CB CD BD OC ===∴=，
又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，
BD OC O ⋂=，,BD OC 均在平面BCD 内，AO ∴⊥平面BCD
（Ⅱ）方法一：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1
3(0,0,1),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(,,0)22
A B C D E -， (0,3,1),(1,3,0)AC CD =-=--
设n 为平面ACD 的法向量，则n AC ⊥，n CD ⊥
30,
{30,y z x y -=∴+=取n (3,1,3)=--，
13(,,0)22EC =-，则点E 到平面ACD 的距离为32177
EC n d n ⋅===
方法二：设点H 在CD 上，且14DH DC =，连AH ， 2,CB CD
DB ===O 为BD 的中点，OH CD ∴⊥ AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，,AO CD ∴⊥
,,AO OH O AO OH ⋂=⊂平面AOH ，CD 平面AOH
CD ⊂平面ACD ，∴平面AOH ⊥平面ACD ，且交线为AH
过点O 作OP AH ⊥于点P ，则OP ∴⊥平面ACD
,O E 分别为,BD BC 的中点，则//,OE CD OE ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， //OE ∴平面ACD ，E ∴点到平面ACD 的距离即OP ， 31372121,,,2277
AO OH AO OH AH OP AH ⨯⋅==
=∴=== 故点E 到平面ACD 的距离为217
考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离
22．已知函数()()30f x x x a a =++->.
（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()7f x <的解集包含[],3a ，求a 的取值范围.
【答案】（1）{|3,x x <-或}1x >；（2）23a <<
【解析】
【分析】
（1）当1a =时表示出()f x ，再利用分类讨论和不等式解法求得()4f x >的解集；
（2）由题意，[],3x a ∈时，()7f x <恒成立，由a 的范围去绝对值，即可求出a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =时，()f x 31x x =++-，
()4f x >，即314x x ++->，
①当3x ≤-时，有314x x ---+>，解得3x <-；
②当31x -<<时，有314x x +-+>，不等式无解；
③当1x ≥时，有314x x ++->，解得1x >；
综上，()4f x >的解集为{|3,x x <-或}1x >；
（2）由题意，()7f x <的解集包含[],3a ，
即[],3x a ∈时，()7f x <恒成立，
因为0a >，所以()f x 33237x x a x x a x a =++-=++-=+-<， [],3x a ∈时，23x a +-的最大值为9a -，
即97a -<，解得2a >，
又3a <，所以23a <<.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.。