九年级下册数学 人教版锐角三角函数教案(二)

锐角三角函数(二)
教学目标：
1.掌握锐角三角函数的定义，会根据定义求锐角三角函数；
2.掌握四种方法求锐角三角函数；
3.掌握30°，45°，60°角的三角函数值计算。

教学重难点：
重点：锐角三角函数的定义和求锐角三角函数；特殊的锐角三角函数 难点：锐角三角函数与三角形，四边形和圆等的综合运用
知识框架图：
知识要点：
1.锐角三角函数间几个简单关系
（1）若90A B ∠+∠= 那么sin A =cos B 或sin B =cos A （2）22sin cos 1A A += （3）sin tan cos A
A A
=
（4）1cot tan =⋅A A
2. 在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
经典例题
例1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，下列等式不成立的是（ ）
A ．tan A ＝
B
B
sin cos B ．sin A ＝cos(90°-A ) C ．cos(60°＋A )＝sin(45°-A ) D ．cos 2
B ＋sin 2
B ＝1
例2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；
(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；
(3)已知：3
2
sin =A ，6=c ，求a 、b ；
(4)已知：,9,2
3
tan ==b B 求a 、c ；
(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．
例3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的3
2
，求sinB 的值。

例4、如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为E ，3sin 5
A =
，则下列结论正确的有（ ） ①6cm DE =
②2cm BE = ③菱形面积为2
60cm
④BD =
Ａ．1个
Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
例5.已知：如图，Rt △ABD 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．
例6.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离
m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．
D
C
B
E
A
C
B
A
经典练习
1.（广东汕尾，第7题4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =5
3
，则cosB 的值是（ ）
A ．
54 B ． 53
C ． 4
3
D ． 3
4
2.（毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ．已知cos ∠ACD =
5
3
，BC =4，则AC 的长为（ ） A ． 1 B ．310 C ．3 D ．3
16
3．如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°， AC ＝2
2
，则BC ＝ 。

4.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
求：sin ∠ACB 的值．
5．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ．求AD 的长．
6．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．
B
求AB 及BC 的长．
7．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
8．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°,3
1
tan =
∠B .求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
拓展探究
1.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求： (1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
2.已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的
式子表示CD 的长．
3.已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝α ． 求证：⋅⋅=
α
α2sin cos m
EB
4. （湘潭，第25题） △ABC 为等边三角形，边长为a ，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ， （1）求证：△BDF ∽△CEF ；
（2）若a =4，设BF =m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取最大值；
A
B
C
D
E
（3）已知A 、D 、F 、E 四点共圆，已知tan ∠EDF =
2
3
，求此圆直径．
巩固练习
1.等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ） A ．
13
5 B ．1312 C ．1310 D ．125
2．在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5
3
cos =
α, AB =4,则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．316
C ．320
D ．5
16
3.已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12． 求：sin ∠ACD 及AD 的长．
4.（江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达 CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248）
5.已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝30°，AB ＝2a ．求BC 、CD 的长．
6．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，⋅=5
4
cos A (1)用含m 的代数式表示BC ； (2)求m 的值；
7.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高， t a n c o s B D A C =∠， (1) 求证：AC=BD ；
(2)若12
sin 13
C =
，BC =12，求AD 的长．
备用题
1.如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA, ⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，
且交BP 于点E.
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 过点C 作CF ⊥AD,垂足为点F,延长CF 交AB 于点G,若12=⋅AB AG ,求AC 的长； (3) 在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2, GF=1，求⊙O 的半径，及ACE ∠sin 的值。