吉林省白城四中2019届高三数学第二次模拟考试题理

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吉林省白城四中2019届高三数学第二次模拟考试题 理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[2019·湘潭一模]设集合()(){}
140A x x x =+->，{}09B x x =<<，则A B 等于（ ）
A ．()1,4-
B ．()4,9
C ．()0,4
D ．()1,9-
2．[2019·郴州质检]设3
12i
i 2i
z +=--，则z 的虚部是（ ）
A ．1-
B ．45
-
C ．2i -
D ．2-
3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A ．24π
B ．36π
C ．48π
D ．60π
4．[2019·潍坊期末]
若cos π2α⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭cos2α=（ ） A ．23
-
B ．13
-
C ．13
D ．23
5．[2019·佛山质检]()()5
22x y x y -+展开式中33x y 的系数为（ ） A ．40-
B ．120
C ．160
D ．200
6．[2019·宜昌调研]已知两点()1,0A -，()1,0B 以及圆()()()2
2
2:340C x y r r -+-=>，若圆C 上
存在点P ，满足0AP PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6
B ．[]3,5
C ．[]4,5
D ．[]4,6
7．[2019·山东外国语]若函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．[2019·龙岩质检]已知定义在R 上的可导函数()f x 、()g x 满足()()263f x f x x +-=+，
()()113f g -=，()()6g x f x x ''=-，如果()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）
A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
9．[2019·泉州质检]已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，
90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为（ ）
A
．25
4
B
． C
．272
D
．252
10．[2019·辽宁期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知
()()sin sin 3sin2B A B A A ++-=
，且c =π
3
C =
，则ABC △的面积是（ ） A
B
C
D
11．[2019·湖北联考]如图，点A 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右顶点，点P 为双曲线上一点，
作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有 三个公共点，则C 的离心率为（ ）
2
A
B
C ．2
D
12．[2019·哈尔滨六中]定义域为R 的函数()()
()
2
21
2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨
=⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=，恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++ 等于（ ） A ．0 B ．2
C ．8
D ．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2019·揭阳毕业]若向量()1,x =a 、()1,2=--b 不共线，且()()+⊥-a b a b ，则⋅=a b _______． 14．[2019·荆州质检]函数()ln f x x x =在1x =处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．
15．[2019·盐城一模]设函数()πsin 3f x x ω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，其中0ω>．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．
16．[2019·湖南联考]已知直线:2l y x b =+被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为______．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若数列{}n b 是递增的等比数列且149b b +=，238b b =， 求()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++．
18．（12分）[2019·山东外国语]某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时， 每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为800元， 原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润．
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；
（2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件
产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14x =，标准差2s =，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，
记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）．
①()0.6826P x s X x s -<<+≥；②()220.9544P x s X x s -<<+≥； ③()330.9974P x s X x s -<<+≥，
评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线． 试判断该生产线是否需要检修．
3
19．（12分）[2019·牡丹江一中]在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．
（1）证明：11AC BC D ∥平面；
（2）若11AA AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D
，求三棱柱111ABC A B C -的高．
20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为1
2，
直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于不同两点M ，N ，直线FM ，FN 分别交y 轴于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：FA FB =．
4
21．（12分）[2019·河南联考]已知a ∈R ，函数()()2e 3e 32
x x a
f x a x =-++．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩
(t 为参数，
0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
222
1sin ρθ
=
+．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB
+的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·皖南八校]已知函数()224f x x x =-++． （1）解不等式：()34f x x ≥-+；
（2）若函数()f x 的最小值为a ，且()0,0m n a m n +=>>，求11
m n
+的最小值．
2019届高三第二次模拟考试卷
理科数学（三）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】由题意，集合{}14A x x =-<<，{}09B x x =<<，根据集合的交集运算， 可得{}04A B x x =<<，故选C ． 2．【答案】D 【解析】()()()()
312i 2i 12i 5i
i i i 2i 2i 2i 2i 5z +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是2-，故选D ． 3．【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半． 可得：该几何体的外接球的半径
r =(2
4π48π=⨯=，故选C ．
4
．【答案】C
【解析】cos sin 2παα⎛
⎫+=-= ⎪
⎝
⎭得到sin α=，所以211cos212sin 1233αα=-=-⋅=，故选C ．
5．【答案】B
【解析】()()5
22x y x y -+展开式中33x y 的项为
()()()3
2
3223333333
552C 2C 216040120x x y y x y x y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-=，
则展开式中33x y 的系数为120，故选B ． 6．【答案】D 【解析】
0AP PB ⋅=，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为221x y +=，
又点
P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ，151r r ∴-≤≤+， 解得46r ≤≤，故选D ． 7．【答案】D
【解析】由函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，故01a <<． 函数()log 1a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，
函数()log 1a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的，故选D ．
8．【答案】D
【解析】()()6g x f x x ''=-，()()23g x f x x c =-+，
()()113f g -=，则0c =，故()()23g x f x x =-，
()()263f x f x x +-=+，则()()22333f x x f x x -=--++，
()()()2
2333f x x f x x ⎡⎤∴-=----+⎣⎦
，()()3g x g x ∴=--+，
故()g x 的图象关于30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，322M N +∴=，3M N +=，故选D ．
9．【答案】A
【解析】设球O 的半径为R
，AB x =，AC y =，
由24π29πR =，得2429R =．又()2
22222x y R ++=，得2225x y +=． 三棱锥A BCD -的侧面积111
22222
ABD ACD ABC S S S S x y xy =++=⋅+⋅+△△△，
由222x y xy +≥，得
25
2
xy ≤
，当且仅当x y ==时取等号，
由()()2
222222x y x xy y x y +=
++≤+，得x
y +≤x y
==
时取等号，
∴12525
224
S ≤
⨯=，当且仅当x y ==时取等号．
∴三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为25
4
．故选A ．
10．【答案】D
【解析】依题意有sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=， 即sin 3sin B A =或cos 0A =．
当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3
b a =①， 由余弦定理得
2
22π
2cos 3
a b ab =+-②，解由①②组成的方程组得1a =，3b =，
所以三角形面积为1π1sin 13232ab =⨯⨯=
当cos 0A =时，π
2
A =
，三角形为直角三角形，b ==
故三角形面积为
11
22
bc=
，故选D．
11．【答案】A
【解析】由题意可得(),0
A a，A为线段OB的中点，可得()
2,0
B a，
令2
x a
=
，代入双曲线的方程可得y=，
可设()
2,
P a，由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点(),0a-，
即2
AP a
=
，即有2a=a b
=
，
c
e
a
==A．
12．【答案】C
【解析】一元二次方程最多两个解，当2
x≠时，方程()()
20
f x bf x c
++=至多四个解，不满足题意，
当2
x=是方程()()
20
f x bf x c
++=的一个解时，才有可能5个解，
结合()
f x图象性质，
可知
12345
2222210
x x x x x
++++=⨯+⨯+=，即()()
12345
108
f x x x x x f
++++==，
故答案为C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】3
【解析】由于()()
+⊥-
a b a b，故()()0
+⋅-=
a b a b，即22
=
a b，即()()
22
2
112
x
+=-+-，解得2
x=±，
当2
x=时，()
1,2
==-
a b，两者共线，不符合题意．故2
x=-．所以143
⋅=-+=
a b．
14．【答案】
1
2
【解析】()ln
f x x x
=，()ln1
f x x
'
∴=+，则()10
f=，()11
f'=，
故曲线()
f x在点()
1,0
P处的切线l的方程为1
y x
=-，
令0
x=，得1
y=-；令0
y=，得1
x=，则直线l与两坐标轴的交点为()
0,1
-和()
1,0，
所围成三角形的面积为
11
11
22
⨯⨯=，故答案为
1
2
．
15．【答案】
54
,
63
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
【解析】()
f x取零点时x满足条件()
π
3
πk
x k
ωω
=-+∈Z，当0
x>时的零点从小到大依次为
1
2π
3
x
ω
=，
2
5π
3
x
ω
=，
3
8π
3
x
ω
=，所以满足
5π
2π
3
8π
2π
3
ω
ω
⎧
⎪≤
⎨
>
⎪
⎪
⎪⎩
，解得
54
,
63
ω⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭．
16．
【答案】
【解析】（1）()
22
2
2
4420
2
y x b
x b p x b
y px
=+
⎧
⇒+-
=
+
⎨
⎩
=，
则()
22
22
2
5124
24
b p b
⎡⎤
-
⎛⎫
+-⨯
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎣⎦
=
⎥
，又直线l经过C的焦点，则
22
b p
-=，b p
∴=-，
由此解得2
p=，抛物线方程为24
y x
=，()
00
,
M x y，2
00
4
y x
∴=，
则()()()
222
22
00000
33418
MN x y x x x
=-+=-+=-+，故当
1
x=
时，MN=
即答案为
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）7
n
a n
=-；（2）2
41
7
3
n
n n
-
-+．
【解析】（1）由已知得1
2
71
2153
a d
a d
+=
+=
⎧
⎨
⎩
，
1
6
a
∴=-，1
d=，()
6117
n
a n n
=-+-⋅=-．
（2）由已知得：14
14
9
8
b b
b b⋅
+=
=
⎧
⎨
⎩
，又{}n b是递增的等比数列，故解得11
b=，
4
8
b=，2
q=，1
2n
n
b-
∴=，
∴()()()()
1133552121
n n
a b a b a b a b
--
++++++++
()()
13211321
n n
a a a
b b b
--
=+++++++
()()1
6422814164n
n-
=---++-+++++
()
()2
1462841
72
14
3
n
n n n n n --+--=
+
=-+-． 18．【答案】（1）()
()
12001000,
5 900500,
510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪
∴=⎨
+<≤∈⎪⎩*
*
N N 且且，8条生产线；
（2）见解析． 【解析】（1）由题意知：当5x ≤时，()11001001012001000y x x x =-⨯-=-， 当510x <≤时，()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+， ()
()
12001000,
5 900500,
510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨
+<≤∈⎪⎩*
*
N N 且且，
当7700y =时，9005007700x +=，8x =，即8条生产线正常工作． （2）14μ=，2σ=，由频率分布直方图得：
()()12160.290.1120.80.6826P x ∴<<=+⨯=>， ()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<， ()()8200.940.0150.00520.980.9974P X ∴<<=++⨯=<，
不满足至少两个不等式，∴该生产线需重修． 19．【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）连结1B C 交1BC 于点E ，连结DE ，则E 是1B C 的中点，
又D 为11A B 的中点，所以1DE AC ∥，且DE ⊂面1BC D ，1AC
⊄面1BC D ， 所以1A C ∥面1BC D ．
（2）取AC 的中点O ，连结1A O ，
因为点1A 在面ABC 上的射影在AC 上，且11
A A AC =， 所以1
AO ⊥面ABC ，可建立如图的空间直角坐标系O xyz -，设1A O a =， 因为2AC BC ==，120ACB ∠=︒，
则()
B -，()1,0,0
C -，()12,0,C a -
，32D a ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
()1,BC =
，()
10,BC a =
，112C D ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
设(),,x y z =n 为面1BC D
的法向量，1130
102BC az C D x
⎧⋅⎪
⎨⎪=
-+=⋅==⎩+
n n ，取y a =-
，则,,a =-n ，
由BC 与平面1BC
D
，即cos ,BC ==
n ，解得a = 所以三棱柱111ABC A B C -
20．【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析． 【解析】（1）由题意得2
221
1
2c c a a b c ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2a b ⎧==⎪⎨
⎪⎩C 的方程为22143x y +=． （2）设()11,M x y ，()()22121,1N x y x x ≠≠且．
由()
22414
3y k x x y ⎧=-+=⎪
⎨⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，
依题意()
()()2
2223244364120Δk k k =--⋅+⋅->，即2
104k <<，则2
1222
12232436412
43k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
， 因为()()()()()
1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣
⎦+=
+=+=------ ()()
22126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
==--．
所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠． 因为OF AB ⊥，所以FA FB =． 21．【答案】（1）详见解析；（2）6a <-．
【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2e e 3e 3e 31x x x x f x a a a '=-++=--． ①当0a ≤时，e 30x a -<，令()0f x '<，得0x >；令()0f x '>，得0x <，
所以()f x 在(),0-∞上单调递增，()0,+∞上单调递减． ②当0a >时，()()()()e e 11e 3e 3x x x x f x a a a ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭'，
（i ）当3
1a
=，即3a =时，因为()()2e 310x f x '=-≥，所以在(),-∞+∞上单调递增；
（ii ）当301a <
<，即3a >时，因为()()e e 31x x f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在3,ln a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增；
在3ln ,0a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在()0,+∞上单调递增； （iii ）当
31a >，即03a <<时，因为()()e e 31x x
f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝
⎭，所以()f x 在(),0-∞上单调递增；
在30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增．
（2）由（1）知当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，
要使()f x 有两个零点，只要()0302
a
f =-->，所以6a <-．（因为当x →+∞时，()f x →-∞，
当x →-∞时，()f x →-∞） 下面我们讨论当0a >时的情形： ①当
3
1a
=，即3a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②当301a <
<，即3a >时，因为()()e e 31x x
f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝
⎭，
所以()f x 在3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在3ln ,0a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在()0,+∞上单调递增；
因为()0302a f =--<，3
ln 0a
<，所以
393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫
=--+< ⎪⎝⎭
，()f x 没有两个零点；
③当
31a >时，即03a <<时，因为()()e e 31x x
f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝
⎭，
所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
()0302
a
f =--<，
393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫
=--+< ⎪⎝⎭
，()f x 没有两个零点．
综上所述：当6a <-时，()f x 有两个零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）2
212
x y +=；（2
）
11MA MB += 【解析】（1）曲线22
2
1sin ρθ
=
+，即222sin 2ρρθ+=， 2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
22x y +=，即2
212
x y +=．
（2）将1cos sin x t y t α
α
=+=⎧⎨⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=，
1222cos 1sin t t αα∴+=-+，12
21
1sin t t α
-=+⋅， 1212
11
MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴
+===-⋅⋅⋅，
12
t t -=
，2111sin 11sin MA MB
αα
+∴+=
=+． 23．【答案】（1）12x x ⎧⎫
≥-⎨⎬⎩⎭；（2）1．
【解析】（1）()32,
2
2246,
2232,2
x x f x x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩
， 可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得1
22x -≤≤；
当2x >时，3234x x +≥-+，得1
3x ≥，可得2x >．
∴不等式的解集为12x x ⎧⎫
≥-⎨⎬⎩⎭．
（2）根据函数()32,2
6,
2232,2
x x f x x x x x --<-⎧⎪
=+-≤≤⎨⎪+>⎩
， 可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =，
∵4m n +=，0m >，0n >，∴
()()111111*********n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛
⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． 当且仅当
n m m n =，即2m n ==时，取“=”，∴11
m n
+的最小值为1．。