沪教版-六年级(初一)数学-有理数章节讲义-有理数基本运算讲义教案(Word解析版)

内容 基本要求
略高要求
较高要求
有理数运算
理解乘方的意义
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主） 能运用有理数的运算解决简单问题 有理数的运算律 理解有理数的运算律 能用有理数的运算律简化运算
板块一、有理数基本加、减混合运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式. ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+- 有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；
例题精讲
中考要求
有理数基本运算
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为
只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.
例如：()(3)(0.15)9(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-， 它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.
【例1】 计算：5116
( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767
-+-+++-+-+-+-++
【巩固】 计算：11
(0.75)0.375(2)84
+-++-
【例2】 计算：()()()()3133514--++---；
【例3】 计算：312
12 1.753463
--+
【例4】 计算：413 4.5727⎛⎫⎛⎫
---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
【例5】 计算110.5 2.50.336⎡⎤
⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【例6】 计算：23132[(12)()]273424273
---+--+
【例7】 计算：212
(738)(78.36)(53)(13.64)(43)2323
+-+--+---
【例8】计算：
1111 0()()()() 3462 -----+--
【例9】计算：9.3712.84 6.24 3.12
--+-
【例10】计算：
189617
13 142114735 ++---
【例11】计算：
11 2.75(3)(0.5)(7)
42 ---+-+
【例12】计算：
1111 |||0|||()|| 2394 ---+-----
【巩固】⑴
21
(4)(3)
33
-+-⑵
21
(6)(9)|3|7.49.2(4)
55
-+-+-+++-
⑶
17
(14)(5)( 1.25)
88
-+++-⑷
111
(8.5)3(6)11
332
-++-+
⑸
5317 (9)15(3)(22.5)(15)
124412 -++-+-+-
⑹
434
(18)(53)(53.6)(18)(100)
555
-+++-+++-
⑺
1132
|1()|
3553
-----⑻ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)
--+----
⑼
1111 (3)[(3)3](3)
4444
⎡⎤-------
⎢⎥
⎣⎦
【巩固】若0
a>，0
b<，则a b
-0
【巩固】若0
a<，0
b>，则a b
-0
【巩固】若0
a<，0
b<，则()
a b
--0；
【巩固】若0
a<，0
b<，且||||
a b
<，则a b
-0.
【例13】 (第14届希望杯)有一串数：2003-，1999-，1995-，1991-，…，按一定的规律排列，那
么这串数中前 个数的和最小．
【例14】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0b
b a
，，的形式，则
20042001a b +=
【例15】 给出一连串连续整数：203202...20032004--，，，，，这串连续整数共有 个；它们的和是
【例16】 1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )
A ．至少有一个是零
B ．至少有998个正数
C ．至少有一个是负数
D ．至多有995个是负数
【巩固】 若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是( )
A ．a b c d +++一定是正数．
B ．d c a b +--可能是负数．
C ．d c b a ---一定是正数．
D ．c d b a ---一定是正数．
【例17】 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这
周的日最高气温的平均值为（ ）
A . 28ºC
B . 29º
C C . 30ºC
D . 31ºC
【例18】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千
克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8， +0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？
【例19】 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，
向西为负，他这天下午行车里程表示如下:15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+，
⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【巩固】 A 市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A 市 某出租
司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3、7.2-、 6.1-、8、9.3、 1.8-（单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？
【例20】 数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，
第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点．
① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．
② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间 才能到达？
③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？
【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位
到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．
【巩固】 在整数1，3，5，7，…，21k -，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代
数和中最小的非负数是多少？
【巩固】 在1，3，5，…，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的
绝对值最小为多少？
【巩固】 在数1，2，3，……，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？
【例21】 试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和： 1111111
(248163264128)
+++++++
【例22】 在数学活动中，小明为了求
23411111
(22222)
n +++++的值（结果用n 表示）
，设计了如图所示的几何图形
图2
图1
⑴请你用这个几何图形求23411111
(22222)
n +++++的值
⑵请你用图2，再设计一个能求231111
(2222)
n ++++的值的几何图形
【例23】 （4级）（芜湖市课改实验区中考试题）
小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下
⑴星期二收盘时，该股票每股多少元？
⑵本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
⑶已知买入股票与卖出股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？
板块二、有理数基本乘法、除法
有理数乘、除法 Ⅰ：有理数乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 有理数乘法运算律：
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =(乘法交换律)
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =(乘法结合律) ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. ()a b c ab ac +=+(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广：
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数. 【例24】 看谁算的又对又快：()()()345826-⨯--⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
【例25】 计算：4113
(3)11559211
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例26】 计算：15
71(8)16
-⨯-
【例27】 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
【例28】 计算：1
1111221114
2612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭
【巩固】 计算下列各题：()30.250.57045⎛
⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝
⎭
【巩固】 计算：()110.0333323⎛⎫⎛
⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
【巩固】 计算：735(1)(36)1246⎡⎤
-+---⨯-⎢⎥⎣⎦
【巩固】 计算：111
(0.25)(5)( 3.5)()2244
-⨯-+⨯-+-⨯
【巩固】 计算：114
()1()16845
-⨯⨯-⨯
【巩固】 计算：111
71113()71113
⨯⨯⨯++；
【巩固】 计算：111
3.55 2.87()() 6.42333
⨯-⨯-+-⨯
【巩固】 计算：11111
36()23469
⨯+---.
【例29】 计算：()()()71000.01999011⎛⎫
-⨯⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭
【例30】 计算：()()()()18120.1250.23⎛⎫
-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭
【例31】 1111
(1)(1)(1).....(1)_______1998199719961000
----=
【巩固】 计算：11111
(1)(1)(1)(1)(1)4916252500
-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
【例32】 积11111111...111324359810099101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值的整数部分是
【例33】 设()2n n ≥个正整数123...n a a a a ，，，，，任意改变他们的顺序后，记作123...n b b b b ，，，，，若
()()()()112233...n n P a b a b a b a b =----，则（ ）
A ．P 一定是奇数
B ．P 一定是偶数
C ．当n 是奇数时，P 是偶数
D ．当n 是偶数时，P 是奇数
【例34】 若a ，b ，c ，d 是互不相等的整数，且9abcd =则a b c d +++的值为( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．无法确定．
【巩固】 如果4个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么
m n p q +++的值是多少？
【例35】 如果a b c ，，均为正数，且()()()152162170a b c b a c c a b +=+=+=，
，，那么abc 的值等于 ．
【例36】 若19980a b +=，则ab 是（ ）
A . 正数
B . 非正数
C . 负数
D . 非负数
【巩固】 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.
【巩固】 如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )
A ．a 是b 的相反数
B ．a 是b -的相反数
C ．a 是b 的倒数
D ．a 是b -的倒数
【巩固】 a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）
A ．0a >，b 、c 同号
B ．0b >，a 、c 异号
C ．0c >，a 、b 异号
D ．a 、b 、c 同号
【巩固】 若a b c ，，三个数互不相等，则在a b b c c a
b c c a a b
------，，
中，正数一定有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
Ⅱ：有理数除法
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1
a b a b
÷=⋅，(0b ≠)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
【例37】 计算：111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例38】 计算：()()112103523⎛⎫⎛⎫
-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【巩固】 计算：231
(4)()324
+÷⨯÷-；
【巩固】 计算：71
()2(3)93
-÷⨯+；
【巩固】 计算：11111
()()234560
-+-÷-；
【巩固】 计算：44
192()77
÷-；
【巩固】 计算：19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷-；
【巩固】 计算：5315
()( 1.25)(3) 1.4()24423
--÷÷-⨯-÷⨯-.
【例39】 如果
0ac
b
>，0bc <，且()0a b c ->，试确定a 、b 、c 的符号.
【例40】 用“＞”或“＜”填空
⑴如果0ab
c
>，0ac <那么b 0 ；
⑵如果0a b >，0b
c
<那么ac 0 .
【巩固】 如果0a b <，0b
c
<，试确定ac 的符号.
【例41】 观察下面的式子： 224224;
31313434;2222
41414545;3333515156564444
⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=，，，，
⑴小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？
⑵请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想
【例42】 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，x 的绝对值等于它相反数的2倍.
求3x abcdx a bcd ++- 的值.
【例43】 计算：1111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)246810357911
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-
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板块三、有理数常考经典计算题型
一、应用定律
【例44】 计算：
131711010 5.2149 5.2 5.43 4.61255102⎡⎤⎛⎫-÷⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【例45】 计算：567678433322678433322567⨯+⨯+⨯+⨯
二、应用公式
【例46】 计算：1039710009⨯⨯
【例47】 计算：()()()()()()2481632212121212121++++++
三、整体代换
【例48】 计算：
1111111111...1...1 (23)
20042200322004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
四、裂项
【例49】 计算：11111111()1288244880120168224288
+++++++⨯= ．
【例50】 已知2(1)|2|0a ab -+-=，试求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++1(2004)(2004)
a b +++的值．
五、分离法 【例51】 计算：133121583132642586538
-+---+。