2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.1抛物线的标准方程对点训练理

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.1 抛物线的标准方程对
点训练 理
1.已知抛物线C ：y 2
＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 A
解析 由y 2
＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点到准线的距离
为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝5
4
x 0，解得x 0＝1，故选A.
2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－16x B ．y 2
＝12x C ．y 2＝16x D ．y 2
＝－12x
答案 C
解析 由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y 2
＝16x . 3．若抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2
－y 2
＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2
解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又p >0，所以x ＝－p 2必经过双曲线x 2－y 2
＝1的左焦点(－2，
0)，所以－p
2
＝－2，p ＝2 2.
4．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
答案 1.2
解析 建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2
＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2
＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－225x2d x ＝403，原始的最
大流量对应的截面面积为
＋
2
＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16
403
＝1.2.
5．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b(a<b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2
＝2px(p>0)
经过C ，F 两点，则b
a
＝________.
答案 1＋2
解析 由题意，知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋a 2，b .
又C ，F 在抛物线y 2
＝2px(p>0)上，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a2＝2p×a
2， ①b2＝2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋a 2，②由②÷①，得b2a2＝2b ＋a
a
，
即b 2－2ba －a 2
＝0，
解得b a ＝1±2(负值舍去)．故b
a
＝1＋ 2.
6．已知抛物线C ：y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝
5
4
|PQ|.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A 、M 、B 、
N 四点在同一圆上，求l 的方程．
解 (1)设Q(x 0,4)，代入y 2
＝2px 得x 0＝8p
.。