吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学人教A版 选修2-3课件1-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二

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知识梳理
知识点一 人教A版数学 ·必修2
两个计数原理的区别与联系 返回导航
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分类加法计数原理 相同点
分步乘法计数原理
用来计算完成一件事的方法种类 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
不同点
每类方案中的每一种方法都能 独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事
类型二 抽取(分配)问题
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例2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共 有多少种方法？
解答
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解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者 图表法. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计 数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；
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(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位臵的计数问题，一般
应优先安排特殊元素，优先确定特殊位臵，再考虑其他元素与其他位臵， 体现出解题过程中的主次思想.
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题型探究
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类型一 组数问题
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解答
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对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)明确特殊位臵或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关
键.一般按特殊位臵(末位或首位)分类，分类中再按特殊位臵(或特殊元
素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.
(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
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例1 用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ 解 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位臵
都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种).
解答
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(2)可以排成多少个三位数？ 解 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，
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第一章 计数原理
§1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)
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学习目标
巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能灵活应用这
两个计数原理解决实际问题.
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内容索引
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知识梳理 题型探究 当堂训练
引申探究
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若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多
少种？ ① ② ③ ④
解答
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涂色问题的四个解答策略
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涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类
与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类
D.20
解析
答案
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类型三 涂色与种植问题
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命题角度1 涂色问题 例3 将红、黄、蓝、白、黑五Hale Waihona Puke 颜色涂在如图所示“田”字形的4个小
方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复
使用，共有多少种不同的涂色方法？ 1 3 2 4
解答
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解答
引申探究
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由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步
定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种 方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法， 再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).
标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加
(每步中的一种方法不能独立
完成这件事)
步步相依，步骤完整
注意点
类类独立，不重不漏
人教A版数学 ·必修2 知识点二
两个计数原理的综合应用 返回导航
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解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做 到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问 题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步” 的具体标准.分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)； ②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应 按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不 干扰，并确保连续性.
若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计
算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
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跟踪训练2
从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，
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共可得到lg a－lg b的不同值的个数是
A.9
B.10
C.18
除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种).
解答
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(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
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解 被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法， 即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法， 因此有2×3×3＝18(种)排法. 因而有12＋18＝30(种)排法. 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
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跟踪训练1 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四
14 个.(用数字作答) 位数共有______ 解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2
或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个).
解析
答案
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